Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

51
қанағаттандыратын шешімін іздестіруді, Коши есебі немесе бас-
тапқы шартты есеп деп атайды.
Пеано теоремасы. Егер функция 
f
D
- аумағында үзіліссіз 
болса, онда кез келген 
D
y
y
y
x
n
∈
′
−
)
,
,
,
,
(
)
1
(
0
0
0
0
…
нүктесінде 
теңдеудің (2), 
I
x
∈
0
нүктесінің қандайда бір төңірегінде 
анықталып, (3) шартты қанағаттандыратын шешімі бар.
Коши есебінің шешіміне жəне жалғыз болуына келесі теорема 
кепілдік береді.
Коши-Пикар теоремасы. Егер функция 
f
D
- аумағында үзіліс-
сіз жəне 
)
1
(
,
,
,
−
′
n
y
y
y
…
айнымалылары бойынша Липшиц шар-
тын қанағаттандырса, онда кез келген
D
y
y
y
x
n
∈
′
−
)
,
,
,
,
(
)
1
(
0
0
0
0
…
нүктесінде, теңдеудің (2) 
I
x
∈
0
нүктесінің бір төңірегінде анық-
талып, (3) шартты қанағаттандыратын жалғыз (бір ғана) ше шімі 
бар. 
Коши-Пикар теоремасының шарттары, 
f
функциясы 
D
ау-
мағында үзіліссіз жəне 
)
,
,
,
,
(
)
1
(
0
0
0
0
−
′
n
y
y
y
x
…
нүктесінің төңі-
регінде 
)
1
(
,
,
,
−
′
n
y
y
y
…
айнымалылары бойынша шектеулі дербес 
туындылы болғанда да орындалады.
D
аумағының əрбір нүктесінде, теңдеудің (2) Коши есебі 
жалғыз шешімді делік. Функция
1
2
( , , , , ),
n
y
x C C
C
ϕ
=
…
(4)
n
C
C
C
,
,
,
2
1
…
- кез келген тұрақтылар, теңдеудің (2) 
D
ау ма-
ғында жалпы шешімі деп аталады, егер:
1. 
ϕ
функциясы 
x
бойынша 
n
- ретті үзіліссіз дербес 
туындылы;
2. кез келген
D
y
y
y
x
n
∈
′
−
)
,
,
,
,
(
)
1
(
0
0
0
0
…
нүктесінде, жүйе
0
0
1
2
( , , , , ),
n
y
x C C
C
ϕ
=
…
0
0
1
2
( , , , , ),
n
y
x C C
C
ϕ
=
′
′
…
. . . . . . . . .
)
,
,
,
,
(
2
1
0
)
1
(
)
1
(
0
n
n
n
C
C
C
x
y
…
−
−
=
ϕ
n
C
C
C
,
,
,
2
1
…
- арқылы жалғыз шешімді

52
0
1
1
1
0
0
0
0
(
)
( , , , ,
),
n
C
x y y
y
ψ
−
=
′
…
0
1
2
2
0
0
0
0
(
)
( , , , ,
),
n
C
x y y
y
ψ
−
=
′
…
. . . . . . . . . (5)
0
1
0
0
0
0
(
)
( , , , ,
),
n
n
n
C
x y y
y
ψ
−
=
′
…
3) 
D
y
y
y
x
n
∈
′
−
)
,
,
,
,
(
)
1
(
0
0
0
0
…
нүктесінде, (5) теңдеулердің 
кез келген тұрақтыларында 
,
,
,
,
0
0
2
0
1
n
C
C
C
…
функция 
)
,
,
,
(
0
0
1
n
C
C
x
…
ϕ
теңдеудің (2) шешімі болса.
Егер жалпы шешім (4) 
D
- аумағында айқын емес қатынаспен
0
)
,
,
,
,
,
(
2
1
=
Φ
n
C
C
C
y
x
…
(6)
берілсе, онда (6) теңдеудің (2) 
D
-аумағында жалпы интегралы 
деп аталады.
Жалпы шешіммен (4) немесе (6), тұрақтылардың 
n
C
C
C
,
,
,
2
1
…
нақты мəнінде алынатын шешім, теңдеудің (2) дербес шешімі 
немесе дербес интегралы деп аталады. Жалпы шешім немесе
жалпы интеграл белгілі болса, 
)
1
(
−
n
-рет дифференциал-
дап, бастапқы шарттан тұрақтылар 
n
C
C
C
,
,
,
2
1
…
үшін үйлесімді 
тең деулер жүйесі алынады. Бұл теңдеулер жүйесінен табылған 
нақты мəндерді
0
0
2
0
1
,
,
,
n
C
C
C
…
шешімдерге (4) немесе (6) қою 
нəтижесінде, Коши есебінің шешімін
)
,
,
,
,
(
0
0
2
0
1
n
C
C
C
x
y
…
ϕ
=
(7)
немесе дербес интегралын 
0
)
,
,
,
,
,
(
0
0
2
0
1
=
Φ
n
C
C
C
y
x
…
табамыз.
Егер (7) теңдікте 
0
0
2
0
1
,
,
,
n
C
C
C
…
мəндерінің 
)
1
(
0
0
0
0
,
,
,
,
−
′
n
y
y
y
x
…
мəндерінен айқын тəуелділіктерін ескерсек, онда Коши түрінде 
деп аталатын жалпы шешімді аламыз:
1
0
0
0
0
(
)
( , , , , ,
).
n
y
x x y y
y
ψ
−
=
′
…

53
Егер (4) немесе (6)
1
2
1
2
( , , , , ),
( , , , , ),
n
n
x
x t C C
C
y
y t C C
C
t
T
=
⎧
⎨ =
∈
⎩
…
…
(8)
түрінде берілсе, онда (8) параметрлік түрдегі жалпы интеграл деп 
аталады.
Коши есебі теңдеу (1) үшін де, теңдеу (2) үшін де бірдей. 
Мұнда (1) берілген сандар 
)
1
(
0
0
0
0
,
,
,
,
−
′
n
y
y
y
x
…
жəне əрбір 
)
(
n
y
0
)
,
,
,
,
,
(
)
(
)
1
(
0
0
0
0
=
′
−
n
n
y
y
y
y
x
F
…
теңдігінен анықталғанда бір 
шешімді болса, онда Коши есебінің жалғыз шешімі бар.
Теорема.
(Теңдеу (1) үшін Коши есебі шешімі бар жəне
жалғыз болуы туралы )
F
функциясы
G
аумағында үзіліссіз жəне 
)
(
,
,
,
n
y
y
y
…
′
-дер 
бойынша үзіліссіз дербес туындылы болсын.
Онда 
0
)
,
,
,
,
(
,
0
)
,
,
,
,
(
)
(
0
0
0
0
)
(
)
(
0
0
0
0
≠
′
∂
∂
=
′
n
n
n
y
y
y
x
y
F
y
y
y
x
F
…
…
қатынастары орындалатын кез келген
G
y
y
y
x
n
∈
′
)
,
,
,
,
(
)
(
0
0
0
0
…
нүктесінде, 
I
x
∈
0
нүктесінің бір төңірегінде анықталып, (3)
шартты қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар.
Егер
)
(
x
y
теңдеудің (1) шешімі болса, онда жиын
{
}
,
))
(
,
(
I
x
x
y
x
∈
яғни 
)
(
x
y
y
=
шешімінің графигі, теңдеудің
(1) интегралдық сызығы деп аталады. 
Геометриялық тұрғыдан жалпы шешім (жалпы интеграл) 
жазықтықта 
n
параметрден 
n
C
C
C
,
,
,
2
1
…
тəуелді интегралдық 
сызықтар жиынтығы.
Егер 
n
- параметрлі сызықтар теңдеуі (6) берілсе, оны 
x
арқылы 
n
рет туындылап, 
)
6
(
жəне туындылап алынған тең-
деулер жүйесінен тұрақтыларды 
n
C
C
C
,
,
,
2
1
…
жою жолымен, 
бе рілген сызықтар жиынтығының дифференциалдық теңдеуін 
табамыз (теңдеудің реті 
n
-нен аспайды).
1-мысал.
Функция 
1
2
ln ,
y
C
C
x
=
+
теңдеудің 
0
=
′
+
′′
y
y
x
шешімі екендігін көрсетіңіз.
Шешуі. Функцияның туындыларын 
2
2
2
,
1
x
C
y
x
C
y
−
=
′′
=
′

54
теңдеуге қойсақ
0
2
2
2
≡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
x
C
x
C
x
тепе-теңдігі шығады, демек 
функция берілген теңдеудің шешімі.
2-мысал.
Айқын емес берілген функция
2
0
0
ln
x
t
y
y
x
e dt
− −
=
∫
теңдеудің 
2
2
1
2
(
ln )
x
y
y y
y
xye
+
+
=
′′
′
интегралы екендігін көр-
сету керек.
Шешуі. Функциядан тиісті туындыларды анықтап, теңдеуге 
қоямыз:
2
2
2
1
0
2
0
ln
,
ln
,
x
x
y
y
y
y
e
y
y
y
xe
y
′
+
− −
=
+
+
−
=
′
′
′′
′′
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
,
,
ln
ln
(ln
)
x
x
x
y
xe
e
xye
y
y
y
y
y
y
y
y
′
−
+
− ′
=
=
=
′
′′
+
+
+
2
2
2
2
2
1
2
1
(
ln )
.
(ln
)
x
x
xye
y
y
y
y
xye
y
y
− ′
+
⋅
+
≡
′
+
Демек, айқын емес беріл ген
функция теңдеудің шешімі екен.
3-мысал.
Екі параметрлі сызықтар жиынтығының 
2
1
1
2
C
e
C
y
x
C
+
=
дифференциалдық теңдеуін табу керек.
Шешуі. 
x
- бойынша екі рет дифференциалдаймыз
,
2
2
1
x
C
e
C
C
y
=
′
.
2
2
2
1
x
C
e
C
C
y
=
′′
үш теңдіктен 
x
C
x
C
x
C
e
C
C
y
e
C
C
y
C
e
C
y
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
,
,
1
=
′′
=
′
+
=
тұрақ тыларды 
2
1
,
C
C
жою нəтижесінде, ізделінді диффе рен-
циалдық теңдеуді табамыз.

55
2
1
2
2
2
1
1
1
,
,
,
C x
y
C e
y
y
C y
C
y
C
y
+
′
= −
=
−
=
=
′
′′
2
1
1
,
y
y
y
y
y
⎛
⎞ ⎛
⎞
+
′
=
−
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
+
′
.
0
)
1
(
=
+
′
′
−
′′
y
y
y
y
Теңдеуді (1) интегралдау нəтижесінде шыққан
0
)
,
,
,
,
,
,
,
(
2
1
)
(
=
′
Ψ
−
k
k
n
C
C
C
y
y
y
x
…
(9)
қатынасы, теңдеудің (1) 
k
- ретті аралық интегралы деп аталады. 
Аралық 
k
-ретті интеграл белгілі болса, 
n
- ретті теңдеуді 
оңайырақ интегралданатын 
n
k
n
<
−
теңдеуге келтіреді.
Аралық интеграл 
0
)
,
,
,
,
,
(
1
)
1
(
=
′
Ψ
−
C
y
y
y
x
n
…
(10)
бірінші интеграл деп аталады.
Егер 
k
əртүрлі бірінші интегралдар белгілі болса, онда тең-
деудің ретін
k
бірлікке төмендетуге болады.
Егер 
n
əртүрлі бірінші интегралдар белгілі болса, онда 
олардан барлық
)
1
(
,
,
,
−
′′
′
n
y
y
y
…
туындыларын жойсақ, теңдеудің 
жалпы интегралын аламыз.
Функция 
)
(
x
ξ
дифференциалдық теңдеудің (1) ерекше ше-
шімі деп аталады, егер:
1) 
)
(
x
ξ
дифференциалдық теңдеуді тепе-теңдікке айнал-
дырса;
2) кез келген 
I
x
∈
0
нүктесінде Коши есебі бастапқы шарт-
тарымен 
1
1
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
( )
( ), ( )
( ), ,
( )
( )
n
n
y x
x
y x
x
y
x
x
ξ
ξ
ξ
−
−
=
=
=
′
′
…
көп 
шешімді болса.

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: