Тұрақтыны вариациялау əдісі (Лагранж əдісі)

18
( )
( ),
p x dx
dC
e
f x
dx
−
∫
=
( )
( )
,
p x dx
dC
f x e
dx
∫
=
бұдан
( )
( )
( )
,
P x dx
C x
f x e
dx
C
∫
=
+
∫
жалпы
(
)
( )
( )
( )
p x dx
p x dx
y
e
C
f x e
dx
−
∫
∫
=
+
∫
. (5)
Сонымен, біртексіз теңдеудің (1) жалпы шешімі оған тиісті 
біртекті теңдеудің (2) жалпы шешімі 
( )
p x dx
Ce
−
∫
мен, бір тексіз 
теңдеудің (1) дербес шешімінің 
( )
( )
( )
p x dx
p x dx
e
f x e
dx
−
∫
∫
∫
қосын ды-
сына тең.
1-мысал.
x
x
yctgx
y
sin
2
=
−
′
теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Тиісті біртекті теңдеуді 
0
=
−
′
yctgx
y
шешеміз.
,
dy
ctgxdx
y
=
cos
ln ,
sin
dy
x
dx
C
y
x
=
+
∫
∫
ln
ln sin
ln ,
y
x
C
=
+
.
sin
x
C
y
=
Енді тұрақтыны вариациялаймыз: 
,
sin
)
(
x
x
C
y
=
.
cos
)
(
sin
)
(
x
x
C
x
x
C
y
+
′
=
′
Бастапқы теңдеуге қой сақ,
,
sin
2
sin
)
(
cos
)
(
sin
)
(
x
x
ctgx
x
x
C
x
x
C
x
x
C
=
−
+
′
C
x
x
C
x
x
C
x
x
x
x
C
+
=
=
′
=
′
2
)
(
,
2
)
(
,
sin
2
sin
)
(
.
sin
sin
sin
)
(
2
2
x
x
x
C
x
C
x
y
+
=
+
=
Кейбір теңдеулер сызықтық теңдеулерге оңай келтіріледі. 
Егер 
x
-ті функция, ал 
y
-ті аргумент десек 
0
( ) ( ( )
( ))
dy
A y
B y x
C y
dx
+
−
=
(6) 
теңдеуі
( )
( )
dx
y x
f y
dy
ϕ
+
=
(7)

19
түрге келеді, мұндағы, 
,
)
(
)
(
)
(
y
A
y
B
y
=
ϕ
.
)
(
)
(
)
(
y
A
y
C
y
f
=
Сызықтық теңдеуге
z= (y)
ϕ
алмастыруымен
( )
( ) ( )
( )
dy
y
y p x
f x
dx
ϕ
ϕ
+
=
′
(8)
түріндегі теңдеулер де келтіріледі.
Бернулли теңдеуі
α
y
x
f
y
x
p
y
)
(
)
(
=
+
′
1
,
0
≠
α
, 

(9)
)
(
)
(
1
x
f
y
x
p
y
y
=
+
′
−
−
α
α
(9׳) 
y
1-μ
 = z
алмастыруымен 
1
1
( )
( )
dz
p x z
f x
dx
α
+
=
−
сызықтық түрге 
келтіріледі.
Бернулли теңдеуін сызықтық түрге келтірмей-ақ,
ϑ
u
y
=
(10) 
алмастыруымен шешуге болады. Мұнда, 
u
немесе 
ϑ
еркін таң-
далады. Бұл 
Бернулли əдісі
деп аталады.
2-мысал.
Теңдеудің жалпы шешімін табу керек.
x
e
y
y
y
2
2
=
+
′
Шешуі. Бернулли теңдеуі болғандықтан 
)
2
(
=
α
, 
ϑ
u
y
=
алмас-
тыруын жасаймыз. 
Онда:
x
x
e
u
u
u
e
u
u
u
u
2
2
2
2
)
2
(
,
2
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
=
+
′
+
′
=
+
′
+
′
. (11)
Еркін таңдалатын 
ϑ
-ны 
0
2
=
+
′
ϑ
ϑ
 
теңдігі орындалатындай 
етіп аламыз: 
2
d
dx
ϑ
ϑ
= −
,
2
d
dx
ϑ
ϑ
= −
,
2
d
dx
ϑ
ϑ
= −
∫
∫
,
2
ln
,
x
ϑ
= −
 
тұрақтыны 
0
=
C
десек, 
.
2
x
e
−
=
ϑ
ϑ
-ны теңдеуге (11) қойып, 
u
-ды табамыз:
,
,
2
2
2
x
x
e
u
u
e
u
u
−
=
′
=
′
ϑ
ϑ
2
x
du
e dx
u
−
=

20
,
1
C
e
u
x
+
=
−
x
e
C
u
−
+
=
1
Сонымен берілген теңдеудің шешімі 
2
1
.
x
x
y
u
Ce
e
ϑ
=
=
+
Риккати теңдеуі 
2
( )
( )
( )
dy
p x y
q x y
f x
dx
+
+
=
(12) 
дербес бір шешімі 
)
(
1
x
y
белгілі болғанда ғана, 
z
y
y
+
=
1
(13)
алмастыруымен Бернулли теңдеуіне түрлендіріліп интеграл да-
нады.
3-мысал. 
1
(
)
dy
ay y
x
dx
+
−
=
 
теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Бұл Риккати теңдеуінің
x
y
=
шешімі болғандықтан, 
y
x
z
= +
алмастыруын жасаймыз. Онда:
0
(
)
,
dz
az x
z
dx
+
+
=
z
u
ϑ
=
десек,
0
(
)
,
du
d
u
au
x
u
dx
dx
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
+
+
+
=
2
2
0
(
)
.
du
d
axu
u
au
dx
dx
ϑ
ϑ
ϑ
+
+
+
=
)
(
x
u
үшін 
0
du
axu
dx
+
=
тең деуінің бір шешімін алсақ жеткілікті:
,
du
axdx
u
= −
2
2
ax
u
e
−
=
. 
Онда 
)
(
x
ϑ
келесі теңдіктен анықталады
2
2
2
2
0
,
ax
ax
d
e
ae
dx
ϑ
ϑ
−
−
+
=
2
2
2
0
ax
d
ae
dx
ϑ
ϑ
−
+
=
,

21
2
2
1
,
ax
a e
dx
C
ϑ
−
− +
= −
∫
2
2
1
.
x
a
C
a e
dx
ϑ
=
+
∫
Сонымен жəне 
x
y
=
Риккати теңдеуінің шешімдері.
§5. Толық дифференциалдық теңдеулер.
Дифференциалдық теңдеудің 
0
( , )
( , )
M x y dx
N x y dy
+
=
(1)
сол жағы 
)
,
(
y
x
u
функциясының толық дифференциалы болса,
( , )
( , )
( , ) ,
du x y
M x y dx
N x y dy
=
+
онда теңдеу (1) 
толық дифференциалдық
деп аталып,
0
( , )
.
du x y
=
түрге келтіріледі. Егер функция
)
(
x
y
теңдеудің шешімі болса, 
онда:
0
( , ( ))
du x y x
≡
.
Бұдан: 
C
x
y
x
u
=
))
(
,
(
(2)
жəне керісінше, егер функция 
)
(
x
y
теңдеуді (2) тепе-теңдікке 
айналдырса, онда алынған тепе-теңдікті дифференциалдау нəти-
жесінде
0
( , ( ))
du x y x
=
аламыз, бұдан
C
y
x
u
=
)
,
(
бастапқы теңдеудің жалпы интегралы екендігіне көз жеткіземіз.
Бастапқы шарттар 
0
0
)
(
y
x
y
=
берілсе, тұрақты 
C
(2) тең-
діктен
)
,
(
0
y
x
u
C
o
=
(2׳)
анықталып,
)
,
(
)
,
(
o
o
y
x
u
y
x
u
=
(3)
теңдеудің дербес шешімін береді.

22
Егер 
0
)
,
(
0
0
)
,
(
0
0
≠
=
∂
∂
y
x
N
y
u
y
x
болса, онда теңдік (3) 
у
-ті 
х
-тің айқын емес функциясы ретінде 
анықтайды.
Теңдеудің (1) сол жағы 
( , )
( , )
M x y dx
N x y dy
+
бір 
)
,
(
y
x
u
– 
функциясының толық дифференциалы болуы үшін
x
y
x
N
y
y
x
M
∂
∂
≡
∂
∂
)
,
(
)
,
(
(4)
тепе-теңдігінің орындалуы қажетті жəне жеткілікті.
Алғаш Эйлер көрсеткен бұл шарт орындалса, теңдеу (1) оңай 
интегралданады.
( , )
( , )
( , )
u
u
du x y
dx
dy
M x y dx
N x y dy
x
y
∂
∂
=
+
=
+
∂
∂
теңдіктерінен 
( , );
u
M x y
dx
∂ =
( , ),
u
N x y
dy
∂ =
( , )
( , )
( ).
u x y
M x y dx
C y
=
+
∫
Интегралды 
( , )
M x y dx
∫
есептегенде, 
y
тұрақты деп қарас-
тырылады, сондықтан
)
(
y
C
y
-тің кез келген функциясы.
)
,
(
y
x
N
y
u
=
∂
∂
теңдігінен
)
(
y
C
функциясы табылады:
(
)
( , )
( )
( , )
M x y dx
C y
N x y
y
∂
+
=
′
∂
∫
Математикалық анализден белгілі əдіспен де 
)
,
(
y
x
u
функ-
циясын толық дифференциалынан 
( , )
( , )
du
M x y dx
N x y dy
=
+
анықтай аламыз. Белгілі нүкте 
)
,
(
o
o
y
x
 
мен айнымалы нүкте
)
,
(
y
x
арасында 
( , )
( , )
M x y dx
N x y dy
+
өрнегінен қи сық сызықты 
интеграл кез келген сызық бойынша есептеледі:
0 0
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
x y
x
y
u x y
M x y dx
N x y dy
=
+
∫
. 

23
Интегралдау сызығы ретінде координаталар осьтеріне парал-
лель сынықтарды алу ыңғайлы (
1-сурет
):
oнда
∫
∫
∫
+
=
+
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Ndy
Mdx
Ndy
Mdx
немесе
∫
∫
∫
+
=
+
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Mdx
Ndy
Ndy
Mdx
.
1-мысал
. Теңдеудің жалпы шешімін табу керек:
2
1
3
0
(
)
(
)
x
y
dx
x
y
dy
+ +
+
−
+
=
.
Шешуі. 
x
y
x
y
y
x
∂
+
−
∂
≡
∂
+
+
∂
)
3
(
)
1
(
2
болғандықтан тең деу дің 
сол жағы 
)
,
(
y
x
u
функциясының толық дифференциалы.
1
,
u
x
y
x
∂ = + +
∂
2
2
( ),
x
u
xy
x
C y
=
+
+ +
'( ),
u
x
C y
y
∂ = +
∂
,
3
)
(
2
+
−
=
′
+
y
x
y
C
x
,
3
)
(
2
+
−
=
′
y
y
C
.
3
3
)
(
3
C
y
y
y
C
+
+
−
=
Сонымен теңдеудің жалпы интегралы
2
3
3
2
3
x
y
xy
x
y
C
+
+ −
+
=
немесе
2
3
1
3
6
6
2
18
x
xy
x
y
y
C
+
+
−
+
=
. 
)
,
(
y
x
u
функциясын анықтаудың басқа əдісін қолданайық:

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: