Ќазаќстан Республикасы
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
| Лекция мәтіні
1. Бүтін функциялар. Ерекше нүктенің сипатына байланысты әр түрлі функциялар класын анықтауға болады. Мәселен, шектеулі жазықтықта ерекше нүктесі болмайтын аналитикалық f(z) функциясы бүтін функция деп аталатыны белгілі. Мұндай функция үшін тек шектеусіз алыстаған нүкте ғана ерекше нүкте болуы мүмкін . Егер шексіздікте бүтін функцияның жөнделінетін ерекше нүктесі болса, шектеусіз алыстаған нүктенің маңайындағы оның f(z)=C0+C1z+C2z2+…+Cnzn+… (1)
Егер z=∞ бүтін функция үшін m-ретті полюс болса, яғни Cm≠0, Cm+1=Cm+2=…=0, (1) жіктеуден f(z)= C0+C1z+…+Cmzm теңдігіне келеміз . Демек f(z)бүтін рационалдық функция болады. Одан әрі жинақтылық радиусы R=∞ шексіз дәрежелі қатармен кескінделетін функцияны біз бүтін транценденттік функция деп атаймыз. Осындай функцияның елеулі ерекше нүктесі бола алатын шексіздікте бір ерекше нүктесі бар . Керісінше де, шексіздікте өзінің елеулі ерекше нүктесі болатын бір ерекше нүктесі бар кез -келген бір мәнді f(z) фунция бүтін трансценденттік функция болатындығын көру қиын емес . Барлық баяндалғанды біріктіре отырып, біз шектеусіз алыстаған нүктеден басқа , барлық жазықтықта анлитикалық кез- келген функцияны бүтін функция деп атаймыз, сонымен қатар бұл функция шектеусіз алыстаған нүктенің жөнделінетін , полюс, елеулі ерекше нүкте болуына байланысты тұрақты сан, көпмүшелік транецендентті болады. 2. Мероморфты фунциялар. Мероморфты функция деп , жазықтықтың шектеулі бөлігінде полюстен басқа ерекше нүктесі болмайтын кез келген бір мәнді функцияны атайды . Дербес жағдайда , кез келген рационалдық функция осы класқа жатады. Шынында , рационалдық функцияның барлық кеңейтілген жазықтықтағы ерекше нүктелері ретінде тек қана полюстері болады. (n > m болғанда шектеусіз алыстаған нүкте n-m-ретті полюсті, n ≤ m болғанда шектеусіз алыстаған нүкте жөнделінетін ерекше нүкте болады, демек, осы нүктеде функцияны тиісті түрде анықтасақ оны дұрыс нүкте деп есептеуге болады). Бұған кері жағдайдың да бар екенін көрсетейік: егер бір мәнді функцияның кеңейтілген жазықтықта полюстерден басқа ерекше нүктелері болмаса онда ол рационалдық функция болады. Дәлелдеуі. Берілген f(z) функцияның шексіздікте тек қана полюсті болғандықтан , ол шектеусіз алыстаған нүктенің кейбір ׀z׀>R маңайында аналитикалық функция болады . Бұл функцияның ׀z׀≤R дөңгелегінен тек қана шектеулі сан полюстері ғана болуы мүмкін, өйіткені кері жағдайда , яғни функцияның шексіз көп полюстері бар болса , полюстердің шектік нүктесі полюске жатпайтын оңашаланбаған ерекше нүкте болады, ал бұл шарт бойынша мүмкім емес . Сонымен, f(z) функциясыныңбарлық мүмкін болатын полюстерінің саны шектеулі болады; оларды z1,z2,…,zn арқылы белгілейік , бұлардың реті сәйкес түрде β1, β2,…,βn болсын , сонымен бірге ,шектеусіз алыстаған нүкте де полюс болуы мүмкін . Әр полюстің маңайында f(z) функциясын Лоран қатарына жіктейміз. zJ нүктесінің маңайында Лоран жіктеуі: түрінде болады. Бұл жіктеудің бас бөлігін gJ(z) арқылы белгілейміз: (j=1,2,…,n) gJ(z) -тің рационалдық функция екендігі өзінен өзі айқын. Ал z=∞ нүктесінің маңайында Лоран жіктеуінің бас бөлігін g(z)=A1z+A2z2+…+Apzp арқылы белгілейміз . Берілген f(z) функциясынан рационалдық функциясын алып тастасақ, барлық шектеулі z≠zJ (j=1,2,…,n) нүктелерінде аниматикалық φ(z)= f(z)- R(z) болатын функциясы пайда болады. Бұл функция үшін z1,z2,…,zn және z=∞ нүктелердің әрқайсысы жөнделінетін ерекше нүкте болады, әр қайсысының маңайындағы Лоран жіктеуінде Бас бөлік болмайды. Демек, егер жөнделінетін ерекше нүктелердегі функцияның мәндерін тиісті түрде тағайындасақ , оны кеңейтілген жазықта аниматикалық деп есептеуге болады. Олай болса Лиувилль теоремасы (19-лекция) бойынша φ(z) функциясын тұрақты C санына теңбе-тең деп қортуымызға болады : φ(z)=C Демек , f(z)=R(z)+C1 яғни f(z) рационалдық функция болады, керегі де осы болатын. gJ(z) -тың рационалдық f(z) функциясының zJ полюсіне сәйкес жәй бөлшек болатындығын ескерсек , кез келген рационалдық функцияны, оның бүтін бөлігін бөліп тастау арқылы жәй бөлшектерге жіктеуге болады және де бұл оның бірден-бір жолы деуімізге болады: жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|