Толқындық теңдеу үшін бірінші бастапқы шекаралық есептің шешімі

Бірінші текті шектік шарттар

Және бастапқы шарттар

Осы есепті Фурье әдісі бойынша шешейік.

1. 
   U(x,t) функциясын былай елестетейік
   

U_xx және U_tt жартылай туындыларын тауып, (9) теңдеуге ауыстырайық:

Алынған теңдеуде сол жағы тек х-ке, ал оң жағы тек t-ге тәуелді. Негізгі лемманы пайдалана отырып, біз қорытынды жасаймыз:

сонда

Шектік шарттардан аламыз

2. 
   Штурм-Лиувилль есебін шығарайық
   

Ол өзіндік мағынаға

3. 
    Табылған λn мәндерін а) теңдеуіне қойып, оны шешеміз:
   

4. 
   Теңдеудің арнайы шешімдерін жазамыз:
   

Толқындық теңдеу үшін бұл шешімдер табиғи тербелістер деп аталады. (9) теңдеуінің сызықтылығы мен біртектілігіне байланысты осы шешімдердің сызықтық комбинациясы

бұл теңдеудің шешімі де болады және U(x,t) функциясы берілген шекаралық шарттарды (10) қанағаттандырады.

0 аймағындағы x және t-ке қатысты екі мүшесі мүшесімен дифференциялануы мүмкін деп есептейміз.

5. 
   Бастапқы шарттарды (11) пайдаланып (12) формуладағы A_n және B_n коэффициенттерін анықтаңыз. Бірінші бастапқы шарттан біз аламыз
   

(13)

(13) теңдігі бастапқы φ(x) функциясының синустар бойынша Фурье қатарына кеңейтілгенін білдіреді, бұл жағдайда Штурм-Лиувилл есебінің X_n(x) меншікті функциялары болып табылады.

Фурье коэффициенттері мына формулалар арқылы есептеледі

Екінші бастапқы шарттан B_n коэффициенттері табылады

Осы жерден B_n коэффициенті

Нақты бастапқы функциялар үшін A_n және B_n коэффициенттерін есептеп, олардың мәндерін (12) орнына қойып, бірінші бастапқы-шектік есептің шешімін аламыз.

Ескерту 2. (12) формуланы пайдаланып тербеліс теңдеуі үшін бірінші бастапқы-шектік есептің шешімін алуға болады.

Ол үшін τ=at айнымалысын өзгертіп аламыз

Соған қарамастан бастапқы шарт өзгермейді, ал мына шарт  мынадай түрге өзгереді 

Сонда (x,τ) айнымалылардағы есептің шешімі мына түрге ие болады

бұл жерде

Айнымалыларға (x,t) оралсақ, аламыз

бұл жерде

жүктеу/скачать 172,18 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: