Қазақстан Республикасының ғылым және білім министрлігі
§ 2 . Көпмүшенің дәрежесі және көпмүшенің лексикографиялық түрде реті
жүктеу/скачать 1,18 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 3. Симметриялы көпмүшелер
- § 4. Симметриялы көпмүшелерді қолдану
| § 2 . Көпмүшенің дәрежесі және көпмүшенің лексикографиялық түрде реті
Анықтама. Нөлден өзгеше n n k n k k k x x a ...
... 1 1 1 бірмүшесінің дәрежесі деп k 1 + …+ k n қосындысы аталады, ал f(x 1 ,…, x n ) K[x 1 ,…, x n ] көпмүшесінің дәрежесі деп оның мүшелерінің ең үлкен дәрежесі аталады және deg(f) деп белгіленеді. Барлық бірмүшелерінің дәрежелері тең көпмүше біртекті көпмүше деп аталады. Теорема 1. Кез келген f(x 1 ,…, x n ), g(x 1 ,…, x n ) K[x 1 ,…, x n ] көпмүшелері үшін келесі қасиеттер орындалады: а) Егер f + g 0 болса, онда deg(f + g) max{f, g}. ә) Егер f∙g 0 болса, онда deg(f∙g) deg(f) + deg(g). б) Егер K біртұтастық аймақ болса, онда deg(f∙g) = deg(f) + deg(g). Біртекті көпмүшелердің қосындысы және көбейтіндісі біртекті көпмүше болатынын көрсетуге болады. Оған қоса, біртұтастық аймақтағы біртекті көпмүшерлер жиыны біртұтастық аймақ құрайтынын көрсетуге болады. Әдетте бірнеше айнымалды көпмүше мүшелерінің дәрежелері өспелі немесе кемімелі түрде жазылады. Көпмүшедегі дәрежелері тең мүшелердің қосындысы көпмүшенің берілген дәрежедегі біртекті
Көпмүшенің мүшелері лексикографиялық (сөздік) тәсілмен реттеледі. Екі A = n k n k x ax ... 1 1 және B = n j n j x bx ... 1 1 бірмүше берілсін. 1. Әуелі x 1 -дегі көрсеткіштер салыстырылады. Егер k 1 > j 1 болса, онда A бірмүшесі B-дан жорғары деп есептеледі: A > B. 2. Егер x 1 -дегі көрсеткіштер тең болса, онда x 2 -дегі көрсеткіштер қаралады және тағы сол сияқты. 3. Егер барлық x
-лердегі көрсеткіштер тең болса, онда A және B бірмүшелері ұқсас мүше деп аталады. Теорема 2. Егер K біртұтастық аймағындағы K[x 1 ,…, x n ] көпмүшелер сақинасында нөлден өзгеше екі көпмүшенің көбейтіндісінің жоғарғы мүшесі көбейткіштердің жоғарғы мүшелерінің көбейтіндісіне тең.
1 . Симметриялы көпмүшелердің қасиеттері Анықтама. Егер f(x 1 ,…, x n ) K[x 1 ,…, x n ] көпмүшесі айнымалдардың кез келген алмастыруы үшін өзгермесе, яғни 1, 2, .., n сандарының кез келген (i 1 , i 2 ,…, i n ) алмастыруы үшін f( 1
, 2 i x ,…,
n i x ) = f(x 1 ,…,
x n ) болса, онда f(x 1 ,…, x n ) симметриялы көпмүше деп аталады. Симметриялы көпмүшелердің қосындысы және көбейтіндісі симметриялы көпмүше болатынын көрсетуге болады. Оған қоса біртұтастық аймақтағы симметриялы көпмүшелер біртұтастық аймақ құрайтынын көрсетуге болады. Симметриялы көпмүшенің құрылымын былай түсінуге болады. 1, 2,…, n сандарының (i 1 , i 2 ,.., i n ) алмастыруы берілсін. Егер симметриялы көпмүшеде n k n k k x x ax ...
2 1 2 1 мүшесі болса, онда көпмүшеде n n k i k i k i x x ax ...
2 2 1 1 мүшесі де болу керек. Егер
...
2 1 2 1 мүшесі берілсе, онда S( n k n k k x x ax ...
2 1 2 1 ) деп
n k n k k x x ax ...
2 1 2 1 мүшесінің белгісіздеріне әртүрлі алмастыруларды қолданып жасалған мүшелердің қосындысы белгіленеді. Сондықтан кез келген симметриялы көпмүшесі S( n k n k k x x ax ...
2 1 2 1 ) түріндегі көпмүшелердің сызықтық комбинациясы болады. Келесі көпмүшелер элементар симметриялы көпмүшелер деп аталады:
1 = x 1 + x 2 + …+ x n , мұндағы x-тер бір-бірден алынған, бұл S(x 1 ),
2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 +…+ x n–1 x n , мұндағы x-тердің екі-екіден алынған көбейтінділері, бұл S(x 1
2 ), 3 = x 1 x 2
3 + …+ x n–2 x n–1 x n , мұнда x-тердің үш-үштен алынған көбейтінділері, бұл S(x 1
2
3 ),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = x 1
2 …x n , мұнда барлық x-тердің көбейтіндісі алынған, бұл S(x 1
2 ...x n ).
Сөйтіп, k көпмүшесі x-тердің k бойынша алынған барлық көбейтінділерінің қосындысы болады. Оны S(x 1
2 …x k ) деп те беруге болады. Элементар симметриялы көпмүшелермен бірге дәрежелік қосындылар да қаралады: s
= S(x 1
) = x 1
+ x 2
+…+ x n k . Мысалы, s 0 = x 1 0 + x 2 0 +…+ x n 0 = 1 + 1 +…+1 = n, s 1 = x 1 + x 2 +…+ x n =
1 , s 2 = x 1 2
n 2 , …. Егер f, g K[x 1 ,…, x n ] көпмүшелері үшін f-тың жоғарғы мүшесі g-ның жоғарғы мүшесінен төмен болса, онда f < g деп есептеледі.
1 , f 2 , f 3 ,… K[x 1 ,…, x n ] көпмүшелері үшін f 1 > f 2 > f 3 >… болса, онда f 1 , f 2 , f 3 ,…
көпмүшелерінің тізбегі кемімелі деп аталады. Теорема 1. 1) Егер f(x 1 ,…, x n ) симметриялы көпмүшесінің жоғарғы мүшесі m k m k k x x ax ...
2 1 2 1 болса, онда k 1
2 … k m . 2) Егер f(x 1 ,…, x n ) симметриялы көпмүшесінің жоғарғы мүшесі m k m k k x x ax ...
2 1 2 1 болса, онда m m m k m k k n k k k k a 1 3 2 2 1 1 2 1 ...
көпмүшесінің де жоғарғы мүшесі m k m k k x x ax ...
2 1 2 1 мүшесі болады. 3) K[x 1 ,…, x n ] сақинасының нөлден өзгеше симметриялы көпмүшелерінің кемімелі тізбегі ақырлы болады. 2. Симметриялы көпмүшелер туралы негізгі теорема Теорема 2 (Симметриялы көпмүшелер туралы негізгі теорема). Кез келген симметриялы көпмүше элементар симметриялы көпмүшелердің көпмүшесі түрінде бірмәнді жіктеледі. Басқа сөзбен айтқанда, симметриялы f(x 1 ,…, x n ) көпмүшесі берілсе, онда f көпмүшесі элементар симметриялы
1 , 2 , ..., n көпмүшелерінің көпмүшесі түрінде өрнектеледі: f(x 1 ,…, x n ) = g( 1 , 2 , ..., n ).
Cимметриялы f(x 1 ,…, x n ) көпмүшесін элементар симметриялы көпмүшелер арқылы өрнектеу үшін әуелі көпмүшені біртекті компоненттерге жіктеп, f = f 0 + f 1 + f 2 +... , мұндағы f i берілген көпмүшенің i- дәрежелі біртекті компоненті. Одан кейін әрбір f
компонентін элементар симеттриялық көпмүшелер арқылы жіктеуге болады: f
= g i (
1 ,
2 ,...). Онда f = g 0 (
1 ,
2 ,...) + g 1 (
1 ,
2 ,...) + g 2 (
1 ,
2 ,...) +... Кейбір S(x 1 ix
k…) симметриялы көпмүшелерінің формулалары 1 S(x 1 2 ) = 1 2 – 2 2
2 S(x 1 2 x 2 ) = 1 2 – 3 3
3 S(x
1 3 ) = 1 3 – 3 1 2 + 3 3 . 4 S(x
1 2 x 2 x 3 ) = 1 3 – 4
4 5 S(x 1 2 x 2 2 ) = 2 2 – 2 1 3 – 2 4
6 S(x
1 3 x 2 ) =
1 2 2 –
1 3 – 2 2 2 + 4 4
7 S(x
1 4 ) = 1 4 – 4 1 2 2 + 4
1 3 + 2 2 2 – 4 4
8 S(x
1 2 x 2 x 3 x 4 ) = 2 3 – 3 1 4 + 5
5 9 S(x 1 2 x 2 2 x 3 ) =
2 3 – 3 1 4 + 5
5 10 S(x
1 3 x 2 x 3 ) = 1 2 3 – 2 2 3 – 1 4 + 5
5 11 S(x
1 3 x 2 2 ) = 1 2 2 – 2
1 2 3 –
2 3 + 5 1 4 – 5
5 12 S(x
1 4 x 2 ) =
1 3 2 – 3
1 2 2 –
1 2 3 + 5
2 3 + 1 4 – 5
5 13 S(x
1 5 ) = 1 5 – 5 1 3 2 + 5
1 2 2 + 5
1 2 3 – 5
2 3 – 5 1 4 + 5
5 14 S(x
1 2 x 2 x 3 x 4 x 5 ) =
1 5 – 6 6
15 S(x 1
x 2 2 x 3 x 4 ) =
2 4 – 4 1 5 – 2
6 16 S(x
1 2 x 2 2 x 3 2 ) = 3 2 – 2 2 4 + 2 1 5 – 2
6 17 S(x
1 3 x 2 x 3 x 4 ) = 1 2 4 – 2
2 4 – 1 5 + 6
6 18 S(x
1 3 x 2 2 x 3 ) =
1 2 3 – 3 1 2 4 – 3
3 2 + 4 2 4 + 7 1 5 – 12
6 19 S(x
1 4 x 2 2 ) = 1 2 2 2 – 2 1 3 3 – 2
2 3 + 4 1 2 3 + 2 1 2 4 – 3
3 2 + 2 2 4 – 6 1 5 + 6
6 20 S(x
1 4 x 2 x 3 ) = 1 3 3 – 3 1 2 3 – 1 2 4 + 3
2 3 + 2 2 4 + 1 5 – 6
6 21 S(x
1 5 x 2 ) =
1 4 2 – 4
1 2 2 2 – 1 3 3 + 2
2 3 + 7 1 2 3 – 1 2 4 – 3
3 2 – 6 2 4 – 1 5 + 6
6 22 S(x
1 6 ) = 1 6 – 6 1 4 2 + 9
1 2 2 2 + 6 1 3 3 – 2
2 3 – 12 2 2 3 – 6 1 2 4 + 3
3 2 + 6 2 4 + 6 1 5 – 5
6 Осы формулаларда n < k болғанда k = 0 деп алу керек. Қосымша тағы бір формуланы берейік: s
=
1
k–1 –
2
k–2 +
3
k–3 – … + (–1) k–1 k k . Оны k бойынша индукциямен дәлелдеуге болады.
3.1. Виет формулаларын қолдану Теорема 3. Егер f(x) = x n + a 1
+ a 2
+ …+ a n–1 x + a 0 көпмүшесінің түбірлері x 1 , x 2 ,…, x n болса, онда, Виет формулалары бойынша,
a 1 = –(x 1 + x 2 +…+ x n ),
a 2 = x 1 x 2 + …+ x n–1 x n ,
(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . a n = (–1)
n x 1
2 …x n . Керісінше, x 1 , x 2 ,…, x n сандары (1)-жүйенің шешімдері болса, онда олар x n + a 1
+ a 2
+ …+ a n–1 x + a 0 көпмүшесінің түбірлері болады. Бұл a 1 , a 2 ,…, a n коэффициенттері x 1 , x 2 ,…, x n түбірлерінің элементар симметриялы функциялар арқылы өрнектелетінің көрсетеді, атап айтқанда, a 1 = – 1 , a 2 =
2 ,…, a n = (–1)
n n . 3.2. Теңдеулер жүйелерін шешу Симметриялы көпмүшелер теориясын теңдеулер жүйесі шешкенде пайдалануға болады. Атап айтқанда, f i (x 1 ,…, x n ) = 0, i = 1,2,..., n, теңдеулер жүйесі берілсін, мұндағы f i симметриялы көпмүшелер. Әрбір f i
көпмүшесін элементар симметриялы 1 , 2 , ..., n көпмүшелері арқылы өрнектеп, одан кейін элементар симметриялы көпмүшелерге қатысты теңдеулер жүйесіне келеміз. Оның с 1 , с 2 , ..., с n шешімдерін табамыз. Ақырында, 3-теореманы қолданып, t
– c 1
+ c 2
+...+ (–1) n–1 c n–1 t + (–1)c n = 0 теңдеуі шешіледі. 3-Теорема бойынша, осы теңдеудің түбірлері x 1 ,…, x n болса, онда жүйенің шешімі (x 1 ,…, x n ) векторы болады. 3.3. Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу Егер симметриялы f(x 1 ,…, x n ) көпмүшесі элементар симметриялы көпмүшелер арқылы g( 1 , 1 ,…, n ) көпмүшесі түрінде өрнектелсе және g( 1 , 1 ,…, n ) көпмүшесі екі көбейткішке жіктелсе: g( 1 , 1 ,…, n ) = g 1 (
1 ,
1 ,…, n )g 2 (
1 ,
1 ,…, n ), онда f(x 1 ,…, x n ) көпмүшесі де көбейткіштерге жіктеледі: f(x 1 ,…, x n ) =
f 1 (x 1 ,…, x n )f 2 (x 1 ,…, x n ). Мұнда f i көпмүшесін табу үшін g i көпмүшелерінде 1 , 2 ,… көпмүшелерінің орнына сәйкесінше x 1 + x 2 + …+ x n , x 1
2 + x 1 x 3 +…+ x n–1 x n , ... өрнектерін қою керек. 3.4. Қайтымды теңдеулер
0
n + a 1
+ … + a n көпмүшесі үшін a 0 0 және a 0 = a n , a 1 = a n–1 , a 2 = a n –2 ,…
болса, онда f(z) көпмүшесі қайтымды көпмүше деп аталады. Сәйкесінше f(z) = 0 теңдеуінде f(z) қайтымды көпмүше болса, онда теңдеу де қайтымды теңдеу деп аталады. Мысалы, z 5 – 3z 4 + 2z 3 + 2z 2 – 3z +1, 2z 8 + z 7 – 6z 5 – 6z 3 + z + 2, z 2 + 1 көпмүшелері қайтымды болады. Теорема 4. Кез келген 2k-дәрежелі f(z) = a 0
2k + a 1
2k–1 + … + a 2k көпмүшесі f(z) = z
жіктеледі, мұндағы = z + z 1 және h( ) деп айнымалының k-дәрежелі көпмүшесі белгіленеді. Кез келген тақ дәрежелі қайтымды көпмүше z + 1 екімүшесіне бөлінеді, сонымен бірге, бөлінді жұп дәрежелі қайтымды көпмүше болады. Осыдан s k , s k–1 , ... дәрежелік қосындыларына 1-кестедегі формулалар бойынша, 2-кестеде берілген.
2-Кесте. z k +
k z 1 екімүшелерінің формулалары 1 z + z 1 = 6 z 6 + 6 1 z =
6 – 6
4 + 9
2 – 2 2 z 2
2 1
= 2
7 z 7 + 7 1 z =
7 – 7
5 + 14
3 – 7 3 z 3
3 1
= 3
8 z 8 + 8 1 z =
8 – 8
6 + 20
4 – 16
2 + 2 4 z 4
4 1
= 4
2 + 2
9 z 9 + 9 1 z =
9 – 9
7 + 27
5 – 30
3 + 9 5 z 5
5 1
= 5
3 + 5 10 z 10 +
10 1
= 10
8 + 35
6 – 50
4 + 25
2 – 2
жүктеу/скачать 1,18 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|