Қазақстан Республикасының ғылым және білім министрлігі

Жорамал  бөлігі  нөл  болатын  комплекс  сан,  a  +  0i  түріндегі  сан,  нақты  a  санымен  теңестіріледі,  ал 

нақты бөлігі нөл болатын сан, 0 + bi түріндегі сан, таза жорамал сан деп аталады.  

Комплекс санын z = a + bi түріндегі жазуы z санының алгебралық тұлғасы деп аталады.  

Комплекс сандардың қосындысы (a

1

 + b

1

i) + (a

2

 + b

2

i) = (a

1

 + a

2

) + (b

1

 + b

2

)i және көбейтіндісі 

(a

1

 + b

1

i)(a

2

 + b

2

i) = (a

1

b

1

 – b

1

b

2

) + (a

1

b

2

 + a

2

b

1

)i формулаларымен анықталады. 

Көбейту формуласынан i

2

 = ii = (0 + 1i)(0 + 1i) = –1 екені шығады. Сөйтіп, i

2

 = –1. 

Теорема 1. Комплекс сандардың C жиыны анықталған қосу және көбейту операцияларына қатысты өріс 

құрайды. 

Анықтама. Сандық өріс деп өзі өріс болатын комплекс сандар өрісінің кез келген ішжиыны аталады. 

Сан ұғымы қазір  былай кеңейтіледі. Әуелі натурал сандар N = {1, 2,…} жиынында қосу және көбейту 

операциялары беріледі. Одан кейін бүтін сандар Z сақинасы натурал сандар жиынын қамтитын ең кіші 

сақина деп  анықталады. Одан кейін рационал сандардың Q өрісі  бүтін сандар сақинасын қамтитын ең 

кіші өріс деп анықталады. Атап айтқанда, рационал сандар өрісі бүтін сандар сақинасының бөлінділер 

өрісі болады. Енді нақты сандар рационал сандардан құралған жинақталатын тізбектердің шектері  деп 

анықталады. Ол математикалық анализ курсында қаралады.  

1-Теоремада  нақты  сандар  өрісі  комплекс  сандар  С  өрісіне  дейін  кеңейтілді.  Сөйтіп,  сан  ұғымының 

дамуын N  Z  Q  R  C тізбекшемен көрсетуге болады. Ал сан ұғымын одан әрі кеңейтуге бола ма 

деген  сұрақ  туады.  XIX  ғасырда  ағылшын математиктері  Гамильтон мен  Кэли  комплекс  сандар  өрісін 

екі  түрде  ғана  кеңейтуге  болады.  Бірінші  жол  кватерниондар  K

4

  денесіне  дейін,  екінші  жол  Кэли 

алгебрасына  немесе  октавалар  алгебрасына  деп  аталатын  алгебраға  дейін  кеңейтілсе  де, 

кватерниондарға  көбейту  коммутатив  операция  болмайды,  ал  октаваларға  көбейту  коммутатив  және 

ассоциатив операция болмайды.   

0.2. Комплекс санның түйіндесі және модулы 

Анықтама. Комплекс z = a + bi саны үшін 

z  = a – bi саны түйіндес сан деп аталады. 

z пен 

z

 бір-біріне түйіндес екенін көруге болады. 

Анықтама. z = a + bi саны үшін | z |= 

2

2

b

a 

 шамасы z санының модулі деп аталады. 

Теорема 1. Кез келген комплекс z, z

1

, z

2

 сандары үшін келесі қасиеттер орындалады. 

1) 

2

1

z

z 

 = 

1

z

 + 

2

z

; 

2) 

)

( z



= –

z ; 

3) 

2

1

z

z 

 = 

1

z

  

2

z

; 

4) z  R болғанда, сонда ғана 

z  = z болады; 

5) z

z  = | z |

2

; 

6) | z |  0 және z = 0 болғанда, сонда ғана | z | = 0; 

7) 

2

1

z

z 

= 

2

1

z

z 

; 

8) | z

1

 + z

2

 |  | z

1

 | + | z

2

 | (үшбұрыш теңсіздігі); 

9) | z

1

 | – | z

2

 |  | | z

1

 | – | z

2

 | |  | z

1

 | + | z

2

 |. 

0.3. Комплекс санның тригонометриялық тұлғасы 

Комплекс z = x + yi санының алгебралық тұлғасы деп аталған, мұндағы x, y  R. 

Кез  келген  z  =  x  +  yi  комплекс  саны  координаталық  жазықтықта  M(x,  y)  нүктесімен  немесе  OM





 

векторымен  кескінделеді.  Комплекс  сандардың  және  жазықтықтың  нүктелері  арасындағы  сәйкестік 

өзара  бірмәнді  болады.  Сондықтан  комплекс  сандарды  оларға  сәйкес  нүктелермен  теңестіреді  және 

координаталық жазықтықты комплекс жазықтық деп атайды. 

OX осі нақты ось, OY осі жорамал ось деп аталады. 

OM кесіндінің ұзындығы оған сәйкес z санының модуліне тең: | OM | = | z | = 

2

2

y

x 

. 

Енді  z  =  x  +  yi  комплекс  саны  координаталық  жазықтықта  M(x,  y)  нүктесімен  кескінделсін.  Ал  ОМ 

кесіндісі  OX  осімен  жасайтын  бұрыш 

  болсын  (оң  бағытта,  яғни  сағат  тіліне  қарсы  бағытта).  Осы   

бұрышы z санының аргументі деп аталады және Arg z деп белгіленеді. 

Одан әрі | OM | = | z | = 

2

2

y

x 

, cos 

 = 

z

а

, sin 

 = 

z

b

. Ал cos 

 және sin  функциялары периодты 

және олардың периоды 2

 болғандықтан Arg z =  + 2k, k  Z. Әдетте, 0    < 2  болса, онда   мәні 

аргументтің  бас  мәні  деп  аталады  және  arg  z  деп  белгіленеді. 

Осыдан 

z = x + yi = | z |cos 

 + | z | sin i = |z|(cos  + isin ). 

Сөйтіп,  

z = | z |(cos 

 + isin ). 

 

(1) 

Бұл z санының тригонометриялық тұлғасы деп аталады. 

Түйіндес  z  =  a  +  bi  және 

z   =  a  –  bi  сандары  нақты  оське  қатысты 

симметриялық 

нүктелермен, 

қарама-қарсы 

z, 

–z 

нүктелері 

координаталар 

басына 

қатысты 

симметриялы 

нүктелермен 

кескінделеді. 

 

 

Комплекс z

1

 = a + bi, z

2

 = c + di сандары M

1

(a, b), M

2

(c, d) нүктелерімен кескінделсе, онда z

1

 + z

2

 = (a + c) 

+  (b  +  d)i  саны  M

3

(a  +  c,  b  +  d)  нүктесімен  кескінделеді.  Бұл 

1

OM   және 

2

OM   векторларын  қосқанда, 

3

OM  векторы параллелограмм ережесімен анықталады.  

 

0.4. Комплекс сандарды тригонометриялық тұлғада көбейту және дәрежеге шығару 

Теорема 1. Комплекс сандары тригонометриялық тұлғасында берілсін:  z = | z |(cos 

 + isin ), z

1

 = | z

1

 

|(cos 



1

 + isin 



1

), z

2

 = | z

2

 |(cos 



2

 + isin 



2

). Онда 

1) z

1

∙z

2

 = | z

1

 |∙| z

2

 |∙[cos (



1

 + 



2

) + isin (



1

 + 



2

)]; 

2) 

2

1

z

z

 = 

2

1

z

z

[cos (



1

 – 



2

) + isin (



1

 – 



2

)]; 

3) z

n

 = | z |

n

(cos n

 + isin n), n  N; 

4) (cos 

 + isin )

n

 = (cos n

 + isin n), n  N (Муавр формуласы). 

0.5. Бірден түбірлер 

Анықтама. Натурал n саны үшін z

n

 = 1 болатын z комплекс саны  бірдің n-дәрежелі түбірі деп аталады. 

Бірдің n-дәрежелі түбірлерінің жиыны U

n

 деп белгіленеді. 

Теорема 1. Бірдің n дәрежелі барлық түбірлерінің саны дәл n-ге тең болады және олар  

x 

 

y 

b 

М 

O 



k

 = cos

n

k



2

 + isin

n

k



2

, k = 0, 1, …, n – 1,   (1) 

формуласымен беріледі. 

Салдар.  Бірдің  n-дәрежелі  түбірлеріне  сәйкес  нүктелер  комплекс  жазықтықта  центрі  координаталар 

басында жататын бірлік шеңберге іштей сызылған дұрыс көпбұрыштың төбелерінде жатады. 

Теорема  2.  Бірдің  n-дәрежелі  түбірлерінің  U

n

  жиыны  көбейту  операциясына  қатысты  коммутатив  топ 

құрайды. 

Анықтама.  Егер  бірдің  n-дәрежелі  n-нан  кем  оң  дәрежелі  түбір  болмаса,  онда  ол  бірдің  n-дәрежелі 

алғашқы түбірі деп аталады. 

Басқа сөзбен айтқанда, комплекс z саны n-дәрежелі бірдің алғашқы түбірі болады, егер z

n

 = 1 және кез 

келген k, 0 < k < n, саны үшін z

k

 ≠ 1 болса. 

Теорема  3.  1.  Комплекс  z  саны  бірдің  n-дәрежелі  алғашқы  түбірі  болады,  сонда  тек  сонда  ғана  1,  z, 

z

2

,…, z

n–1

 сандары әртүрлі болады. 

2.  Егер  комплекс  z  саны  бірдің  n-дәрежелі  алғашқы  түбірі  болса,  онда  z

k

  саны  бірдің  n-дәрежелі 

алғашқы түбірі болады, сонда тек сонда ғана k мен n сандары өзара жай болады. 

3. Бірдің n-дәрежелі алғашқы түбірлерінің саны 

(n) болады, мұндағы (n) Эйлер функциясы, яғни n-

нан кем және n-мен өзара жай сандардың саны. 

0.6. Кез келген комплекс санның түбірлері 

Анықтама. Комплекс z саны үшін u

n

 = z болатын u саны z санының n-дәрежелі түбірі деп аталады. 

Теорема 4. Нөлден өзге комплекс z санының n-дәрежелі түбірлерінің саны дәл n болады. Егер ол сан z = 

|  z  |(cos 

  +  isin  )    тригонометриялық  тұлғасында  болса,  онда  z  санының  n-дәрежелі  түбірлері  келесі 

формуламен анықталады: 

z

k

 = 

n

z |

|

(cos

n

k





2



 + isin

n

k





2



, k = 0, 1, …, n – 1.  (2) 

Теорема  5.  Комплекс  u  саны  z  санының    n-дәрежелі  түбірі  және 

    бірдің  n-дәрежелі  алғашқы  түбірі 

болсын. Онда z санының барлық n-дәрежелі түбірлері u, u

, u

2

,..., u



n–1

 сандары болады. 

I-Тарау. Бірнеше айнымалды көпмүшелер 

§ 1. Бірнеше айнымалды көпмүшелер сақинасы 

Алдыңғы тарауда берілген K коммутатив сақинасындағы бір айнымалды көпмүшелердің K[x] сақинасы 

қаралған.  Осыған  ұқсас  K  сақинасында  бірнеше  x

1

,…,  x

n

  айнымалды  көпмүшелердің  K

n

  =  K[x

1

,…,  x

n

] 

сақинасы құрылады. Ол n саны бойынша индукциямен анықталады. 

K коммутатив сақинасы берілсін. n = 1 үшін K

1

 = K[x

1

] бір x

1 

айнымалды көпмүшелердің сақинасы деп 

анықталады.  Егер  n  >  1  болса  және  K

n–1

  =  K[x

1

,…,  x

n–1

]  сақинасы  анықталса,  онда  K

n

  =  K

n–1

[x

n

]  деп 

анықталады, яғни K

n

 жиыны K

n–1

 сақинасындағы x

n

 айнымалының көпмүшелер сақинасы болады.  

K[x

1

,…,  x

n

]  сақинасы  K  сақинасындағы  x

1

,…,  x

n

  айнымалдарының  көпмүшелер  сақинасы  деп  аталады. 

Оның элементтері K сақинасындағы x

1

,…, x

n

 айнымалдарының көпмүшесі деп аталады. 

Теорема 1. Егер K сақинасы  біртұтастық аймақ болса, онда K[x

1

,…, x

n

] сақинасы да  біртұтастық аймақ 

болады. 

Теорема  2.  K[x

1

,…,  x

n

]  сақинасының  кез  келген  f(x

1

,…,  x

n

)  көпмүшесі 



n

n

n

k

k

k

k

k

k

x

x

a

,...,

1

1

1

1

1

...

...

  түрінде 

жіктеледі, мұндағы 

n

k

k

a ...

1

  K және k

1

,…, k

n

 теріс емес бүтін сандарды жүріп өтеді. 

f(x

1

,…,  x

n

)  = 



n

n

n

k

k

k

k

k

k

x

x

a

,...,

1

1

1

1

1

...

...

  көпмүшесінің  мүшесі  деп 

n

n

k

n

k

k

k

x

x

a

...

...

1

1

1

  қосылғышы,  ал 

n

k

k

a ...

1

    K 

элементі коэффициенті деп аталады. Ал 

n

n

k

k

k

k

x

x

a

1

1

...

...

1

1

 түріндегі көпмүше бірмүше деп аталады. 

Анықтама. Екі f(x

1

,…, x

n

) и g(x

1

,…, x

n

) көпмүше үшін кез келген k

1

, k

2

,…, k

n

  теріс емес бүтін сандары 

үшін 

n

k

k

x

x

1

1

...

1

  көбейтіндісіндегі  f  және  g  көпмүшелерінің  коэффициенттері  тең  болса,  онда    f  және  g 

көпмүшелері тең деп аталады. 

жүктеу/скачать 1,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: