§ 6. Көпмүшенің нақты түбірлерін айыру

Теорема  2  (Штурм  теоремасы).  Еселі  түбірлері  болмайтын  нақты  f  көпмүшесі  және  оның  Штурм 

көпмүшелерінің f

0

, f

1

,…, f

m

 тізбегі берілсін. Егер a және b, a < b, нақты сандары f көпмүшесінің түбірі 

болмаса, онда f көпмүшесінің (a, b) аралығындағы әртүрлі нақты түбірлерінің саны w(a) – w(b) болады. 

Штурм  теорамасын  пайдаланып,  көпмүшенің  түбірлерін  бөліп  шығаруға  болады,  яғни  көпмүшенің 

жалғыз  түбірі  болатын  интервалдарды  анықтау.  Жалпы  айтқанда,  әуелі  (–,  +)  интервалын  қарауға 

болады.  f

0

(–),  f

1

(–),  …,  f

m

(–)  және  f

0

(+),  f

1

(+),  f

m

(+)  мәндері  көпмүшелердің  үлкен 

коэффициенттерінің таңбаларына тәуелді.  

Егер  g  көппмүшесінің  үлкен  коэффициентінің  оң  болса, онда  g(–)  және  g(+)  мәндерінің  таңбалары 

сәйкесінше  –  және  +  деп,  егер  үлкен  коэффициенттің  теріс  болса,  g(–)  және  g(+)  мәндерінің 

таңбалары  сәйкесінше  +  және  –  деп  есептеу  керек.  Осымен  көпмүшенің  нақты  түбірлерінің  санын 

анықтау керек. Одан кейін (–, 0), (0, +) интервалдарын қарауға болады. Сонда да көпмүшенің барлық 

түбірлері жататын шекті (a, b) интервалын тапқан жөн.  

Теорема  3.  Коэфициенттері  кез  келген  сандар  болатын  f  көпмүшесінің  түбірлерінің,  нақты  және 

комплекс,  модульдарының  жоғарғы  шекарасын  B  =  1  + 

0

а

А

  санымен  бағалауға  болады,  мұндағы  a

0

 

көпмүшенің үлкен коэффициенті, A барлық коэффициенттерінің максимумы. 

§ 7. Рационал сандар өрісіндегі көпмүшелер 

1. Көпмүшенің рационал түбірлері 

Егер рационал сандар өрісіндекгі f(x) көпмүшесі берілсе, онда оны коэфициенттерінің  бөлімдерінің ең 

кіші ортақ b еселігіне көбейтіп, онда бүтін сандар сақинасындағы g(x) = bf(x) көпмүшесі табылады. Осы 

f(x) және g(x) көпмүшелерінің біреуінің түбірі екіншінің де түбірі болады. Сондықтан рационал сандар 

өрісіндегі  көпмүшелердің  рационал  түбірлерін  іздеу  үшін  бүтін  сандар  сақинасындағы  көпмүшелерді 

ғана қарауға болады. 

Теорема  1.  Бүтін  сандар  сақинасындағы  f(х)  көпмүшесі  берілсін.  Онда  х

0

  = 

q

р

  рационал  саны  f(x) 

көпмүшесінің түбірі  болса, онда p оның бос мүшесін, ал q бас коэффициентін бөлед, мұндағы р мен q 

өзара жай бүтін сандар. 

Салдар.   Егер f(x) бүтін сандар сақинасындағы нормаланған көпмүше болса, онда оның бүтін түбірлері 

бос мүшені бөледі. 

Көп  жағдайларда  көпмүшенің  түбірі  болмайтын  бос  мүшенің  бөлгіштерін  тексермей  шығарып  тастау 

үшін келесі тәсілді қолдануға болады. 

Лемма 1. Бүтін сандар өрісіндегі f(x) көпмүшесінің рационал 

q

р

 түбірі берілсін, онда кез келген бүтін c 

саны үшін, p – cq  0, f(c)



(p – cq) , мұндағы p және q өзара жай бүтін сандар. 

2. Рационал сандар өрісінде жіктелмейтін көпмүшелер

 

Теорема  2.  Егер  бүтін  сандар  сақинасындағы  көпмүше  Z[x]  сақинасында  жіктелмесе,  онда  ол  Q[х] 

сақинасында жіктелмейді.  

Теорема 3 (Эйзенштейн критериі). Бүтін сандар сақинасындағы f (х) көпмүшесі берілсін. Егер оның бас 

коэффициенті p санына бөлінбесе, басқа коэффициенттері p-ға бөлінсе және бос мүшесі р

2

-қа бөлінбесе, 

онда f(x) көпмүшесі Q[х] сақинасында жіктелмейді. 

Салдар. Q[х] сақинасында кез келген дәрежелі жіктелмейтін көпмүшелер табылады. 

Шынында,  р  =  2  үшін  х

n

  –  p  көпмүшесі,  Эйзенштейн  критериі  бойынша,  кез  келген  n  >  1  үшін 

жіктелмейді. 

Эйзенштейн  критериі  бүтін  сандар  сақинасындағы  көпмүшенің  жіктелмейтіндігінің  жеткілікті  ғана 

шарты болады.  

Кронекер әдісі кез келген бүтін коэффиентті көпмүшеге жіктелетінін немесе жіктелмейтінін анықтауға 

арналған. 

Бүтін коэффиентті бүтін түбірі болмайтын n-дәрежелі f(x) көпмүшесі берілсін. Егер ол екі көпмүшенің 

көбейтіндісі  түрінде  се,  f(x)  =  g(x)h(x),  онда  оның  біреуінің,  айталық  g(x)-тың,  дәрежесі    m  = 













2

n

 

санынан аспайды. Енді x-қа бүтін x

0

, x

1

,…, x

m

 мәндерін берейік. Онда f(x

i

) = g(x

i

)h(x

i

) теңдіктерінен f(x

i

) 

мәні g(x

i

) мәніне бөлінетіні шығады, i = 0, 1,…, m.  Енді f(x

0

), f(x

1

),…, f(x

m

) бүтін сандарының сәйкесінше 

d

0

,  d

1

,  …,  d

m

  бөлгіштерінің  әртүрлі  жинағын  табамыз.  Енді  алынған  d

0

,  d

1

,  …,  d

m

  сандарын  g(x) 

көпмүшесінің сәйкесінше x

0

, x

1

,…, x

m

 нүктелеріндегі мәндері деп есептеп, интерполяциялық формуланы 

қолданып, дәрежесі m-нен аспайтын g(x) көпмүшесін, яғни оның коэффициенттерін,  табамыз және ол 

f(x)  көпмүшесін  бөлетінін,  не  бөлмейтінін  анықтаймыз.  Егер  интерполяциялық  формуламен  табылған 

g(x) көпмүшесінің коэффициенттері бүтін сан болмаса, онда оны тексермеуге де болады. 

Ал d

0

, d

1

, …, d

m

 сандарының бөлгіштерінің жинақтарының сан шекті  болғасын, f(x) көпмүшесінің g(x) 

бөлгіші табылатынын немесе табылмайтынын анықтауға болады. 

III ТАРАУ. Алгебралық сандар 

Осы тарауда сипаттамасы 0-ге тең өрістер қаралады. 

§ 1. Өрістің жай алгебралық кеңеюі 

1. Өрістің жай кеңеюі 

Анықтама. Егер P өрісі F өрісінің ішөрісі болса, онда F өрісі P өрісінің кеңеюі деп аталады және оны F 

/ P деп белгілейді. 

Анықтама. Өрістердің F / P кеңеюі берілсін. Егер с  F элементі P өрісінің кейбір көпмүшесінің түбірі 

болса,  онда  c  элементі  P  өрісінде  алгебралық  элемент  деп  аталады;  қарсы  жағдайда  a  элементі  P 

өрісінде трансцендент элемент деп аталады.  

Анықтама.  Алгебралық сан  деп  рационал  сандар өрісінде  алгебралық  элемент  аталады. Трансцендент 

сан деп рационал сандар өрісінде трансцендент сан аталады.  

Анықтама.  F  / P  кеңеюі  және с    F  элементі  берілсін. с  элементімен  жасалған P  өрісінің  жай  кеңеюі 

деп P өрісін және c элементін қамтитын ең кіші өріс аталады және P(c) деп белгіленеді. 

Егер  c  элементі  P  өрісінде  алгебралық  болса,  онда  P(a)  өрісі  P  өрісінің  жай  алгебралық  кеңеюі  деп 

аталады. Егер c элементі P өрісінде трансцендент болса, онда P(c) / P кеңеюі жай трансцендент кеңею 

деп аталады. 

Теорема 1. F / P кеңеюі және c  F элементі берілсін. Онда P[c] = {a

0

 + a

1

c + ...+ a

n

c

n

 | a

0

,..., a

n

  P, n = 

0, 1, 2,...} жиыны F өрісінің ішсақинасы болады. 

Теорема 2. F / P кеңеюі және c  F элементі берілсін. 

: F[x]  F[c] бейнелеуі кез келген f = a

0

 + a

1

x + 

...+ a

n

x

n

  P[x] көпмүшесіне 

(f) = a

0

 + a

1

c + ...+ a

n

c

n

 деп анықталсын. Онда: 

а) кез келген a  P элементі үшін 

(a) = a; 

ә) 

(x) = c; 

б) 

 – сақиналардың сюръектив гомоморфизмі; 

в) ker 

 = {f  P[x] | f(c) = 0}; 

г) P[x] / ker 

 фактор-сақинасы P[c] сақинасына изоморф. 

Салдар.  Егер  c  элементі  P  өрісінде  трансцендент  болса,  онда  P[c]  сақинасы  көпмүшелердің  P[x] 

сақинасына изоморф. 

2. Алгебралық элементтің минимал көпмүшесі 

Анықтама. P өрісіндегі алгебралық c элементінің минимал көпмүшесі деп түбірі c элементі болатын ең 

кіші дәрежелі f  P[x] нормаланған көпмүше аталады. Минимал көпмүшенің дәрежесі c элементінің P 

өрісіндегі дәрежесі деп аталады.  

Теорема  3.  Егер  c  элементі  P  өрісінде  алгебралық  болса,  онда  оның  P  өрісіндегі  минимал  көпмүшесі 

P[x] сақинасында жіктелмейді. 

3. Жай алгебралық кеңею 

Анықтама. Егер c элементі P өрісінде алгебралық болса, онда P(c) / P кенейтуі жай алгебралық кеңею 

деп аталады. 

Теорема 4. c элементі P өрісінде алгебралық және f  P[x] минимал көпмүшесі болсын. Онда: 

а) Егер g  P[x] көпмүшесі үшін g(c) = 0 болса, онда g



f; 

ә) P[x] / (f) фактор-сақинасы P[c] сақинасына P-изоморф болады, мұнда (f) деп f көпмүшесімен жасалған 

P[x] сақинасының бас идеалы; 

б) P[x] / (f) сақинасы өріс болады; 

в) P[c] = P(c). 

4. Жай алгебралық кеңеюдің құрылымы 

Теорема  5  (Жай  алгебралық  кеңеюдің  құрылымы  туралы  теорема).  c  элементі  P  өрісінде  алгебралық 

элемент  және  оның  дәрежесі  n  болсын.  Онда  P(c)  өрісінің  кез  келген  элементі  элементі  1,  c,...,  c

n–1

 

дәрежелерінің P өрісіндегі сызықтық комбинациясы түрінде бірмәнді еді, атап айтқанда, 

P(c) = {a

0

 + a

1

c + ...+ a

n–1

c

n–1

 | a

0

, a

1

, ..., a

n–1

  P}. 

5-теорема келесі түрдегі есепптерде қолданылады: 

α элементі P өрісінде n-дәрежелі алгебралық элемент болса, онда g, h  P[x], h(α)  0, көпмүшелері үшін 

)

(

)

(





h

g

  бөліндісі  u

0

  +  u

1

α  +  ...+  u

n–1

α

n–1

  түрінде  еді,  мұндағы  u

0

,  u

1

,  …,  u

n–1

    P.  Осындай  келтіру 

бөлшектің бөлімін иррационалықтан босату деп аталады. 

§ 2. Өрістің құрама алгебралық кеңеюі 

1. Өрістің ақырлы кеңеюі 

Өрістердің  P  /  F  кеңеюі  берілсін.  F  өрісінің  элементтерін  векторлар  және  P  өрісінің  элементтерін 

скалярлар деп қараса, онда F өрісі P өрісінде векторлық кеңістік болады. 

Шынында, F өрісінің екі элементінің (векторлардың) қосындысы F өрісіне тиісті болады және F өрісінің 

элементін  (векторды)  P  өрісінің  элементіне  (скалярға)  көбейтсе,  онда  P  өрісінің  элементі  (вектор) 

шығады. Сонымен бірге, векторлық кеңістіктің барлық аксиомалары орындалады. 

Анықтама.  Егер  F  өрісін  P  өрісінде  векторлық  кеңістік  ретінде  қарағанда  F  кеңістігінің  өлшемдігі 

ақырлы  болса,  онда  F  өрісі  P  өрісінің  ақырлы  кеңеюі  деп  аталады  және  оның  өлшемдігі  [F  :  P]  деп 

белгіленеді. 

Теорема 1. Егер 

 элементі P өрісінде n-дәрежелі алгебралық элемент болса, онда [P() : P ] = n. 

Теорема 2. Өрістің ақырлы кеңеюі алгебралық кеңею болады.  

2. Өрістің құрама кеңеюі 

Анықтама. Өрістердің P / F кеңеюі берілсін. Егер әрбір i = 1,…, k үшін L

i

 / L

i–1

 жай алгебралық кеңею 

болатын өрістердің  

L

0

 = P  L

1

  …  L

k

 = F 

тізбесі  табылса,  онда  P  өрісінің  ақырлы  F  кеңеюі  құрама  алгебралық  кеңею  деп  аталады.  Мұндағы  k 

саны тізбенің ұзындығы деп аталады. 

Егер L

i

 = L

i–1

(



i

) болса, онда F = P(



1

,…, 



n

) деп белгіленеді, i = 1,…, k. 

Анықтамадан  жай  алгебралық  кеңею  құрама  алгебралық  кеңею  болатыны  шығады  және  оның 

тізбекшесінің ұзындығы 1 болады. 

Теорема 3. F / L және L / P кеңеюлері ақырлы болсын, онда F / P кеңеюі де ақырлы болады және  

[ F : L ][ L : P ] = [ F : P ]. 

Салдар. Өрістің құрама алгебралық кеңеюі ақырлы кеңею болады. 

Салдар,  3-теореманы  қолданып,  құрама  алгебралық  кеңеюдің  тізбесінің  ұзындығы  бойынша 

индукциямен дәлелденеді. 

Теорема 4. Егер K / F және F / P алгебралық кеңеюлер болса, онда K / P – алгебралық кеңею. 

3. Өрістің құрама алгебралық кеңеюдің жай алгебралық кеңею болу 

Теорема  5  (Қарапайым  элемент  туралы  теорема).  Өрістің  құрама  алгебралық  кеңеюі  жай  алгебралық 

кеңею болады. 

§ 3. Өрістің алгебралық тұйықтамы 

Теорема  1.  Егер  P  өрісінде  оң  дәрежелі  жіктелмейтін  f  көпмүшесі  берілсе,  онда  f  көпмүшесінің  кем 

дегенде  бір  түбірін  қамтитын  P  өрісінің  кеңеюі  табылады,  сонымен  бірге  көпмүшенің  түбірімен 

тудырылған P өрісінің кеңею P-изоморфизмге дейін дәлдікпен анықталады.  

Егер F өрісінде кез келген оң дәрежелі көпмүшенің F өрісінде түбірі табылса, онда F өрісі алгебралық 

тұйық өріс деп аталады. 

Анықтама. Жартылай реттелген жиын деп элементтерінің арасында  реттік қатынасы берілген және 

келесі шарттар орындалатын M жиыны аталады: 

1) Кез келген x  M элементіне x  x (рефлексивтік қасиет). 

2) Кез келген x, y  M элементтеріне x  y және y  x болса, онда x = y болады (ассимметриялы қасиет). 

3) Кез келген x, y, z  M элементтеріне x  y және y  z болса, онда x  z (транзитивтік қасиет). 

Жартылай реттелген M жиынындағы  қатынасы жартылай реттік қатынас деп аталады. 

Егер жартылай реттелген M жиынынның кез келген x, y элементтеріне x  y немесе y  x болса, онда M  

жиыны сызықтық реттелген жиын деп аталады. Кей кезде сызықтық реттелген жиынды тізбе деп те 

атайды.  

Натурал  сандар  жиыны  кәдімші  реттік    қатынасы  бойынша  сызықтық  реттелген  жиын  болады.  Ал 

натурал сандар жиыны бөлінгіштік 



 қатынасы бойынша сызықтық реттелген жиын болмайды, өйткені 

20   36 және 36   20. 

Жартылай  реттелген  M  жиынының  A  ішжиыны  және  x    M  элементі  берілсін.  Егер  A  жиынының  кез 

келген y элементіне y  x болса, онда x элементі A жиынының жоғарғы шені деп аталады. 

Жартылай  реттелген  M  жиыны  және  оның  x  элементі  берілсін.  Егер  x    y  және  x    y  болатындай    M 

жинының y элементі табылмаса, онда x элементі M жиынының максималь элементі деп аталады.  

Цорн  леммасы.  Егер жартылай  реттелген M жиынының  кез  келген  сызықтық реттелген  ішжиынының 

жоғарғы шені табылса, онда M жиынының максималь элементі табылады. 

Цорн  леммасы  таңдау  аксиомасына  пара-пар.  Ал  таңдау  аксиомасы  жиындар  теориясының  негізгі 

аксиомаларының бірі болады. Сондықтан Цорн леммасы аксиома ретінде алынады. 

Анықтама. Егер F өрісінде кез келген оң дәрежелі көпмүшенің F өрісінде түбірі табылса, онда F өрісі 

алгебралық тұйық деп аталады. 

Мысалы, алгебраның негізгі теоремасы бойынша, комплекс сандар өрісі алгебралық тұйық болады. 

Анықтама. P өрісінің алгебралық тұйықтамы деп оның алгебралық тұйық болатын алгебралық кеңеюі 

аталады және 

P

~

 деп белгіленеді. 

Мысалы, көмплекс сандар C өрісі нақты сандар R өрісінің тұйықтамы болады, өйткені комплекс сандар 

өрісі алгебралық тұйық және нақты сандар өрісінің алгебралық кеңеюі болады. 

Теорема  2.  Кез  келген  P  өрісінің  алгебралық  тұйықтамы  табылады  және  P  өрісінің  кез  келген  екі 

алгебралық тұйықтамы P-изоморфты болады. 

§ 4. Көпмүшені жіктелу өрісі және нормальдық кеңеюлер 

Анықтама.  Өрістердің  F  /  P  кеңеюуі  берілсін.  Егер 

,        F  элементтері  P  өрісінде  жіктелмейтін 

көпмүшенің түбірі болса, онда олар P өрісінде (алгебралық) түйіндес деп аталады. 

Анықтама. P өрісінде f көпмүшені жіктелу өрісі деп оның барлық түбірлерімен тұдырылған P өрісінің 

кеңеюі аталады. 

Сөйтіп,  P  өрісінде  f  көпмүшесінің  барлық  түбірлері 



1

, 



2

,..., 



n

    F  болса,  онда  көпмүшені  жіктелу 

өрісі F = P(



1

, 



2

,..., 



n

) болады.  

Теорема  1.  Егер  P  өрісінде  f  көпмүшесі  берілсе,  онда  f  көпмүшесін  жіктелу  өрісі  болатын  P  өрісінің 

кеңеюі табылады. Сонымен бірге, f көпмүшесінің кез келген жіктелу өрісі P-изоморфты болады. 

Анықтама.    P  өрісінің    F  кеңеюі  берілсін.  Егер  кез  келген  жіктелмейтін  f(x)    P[x]  өрісінде  f(x) 

көпмүшесінің F өрісінде бір түбірі болғанда, f(x) көпмүшесінің барлық түбірлері F өрісіне тиісті болса, 

онда F өрісі P өрісінің нормальдық кеңеюі  деп аталады. 

Теорема  2.  P  өрісінде  f(x)    P[x]  көпмүшесін  жіктелу  F  өрісі  берілсін.  Онда  F  өрісінің  кез  келген  P-

автоморфизмі f(x) көпмүшесінің түбірін f(x) көпмүшесінің түбіріне бейнелейді. 

Теорема 3. P өрісінде кез келген көпмүшені жіктелу өрісі P өрісінің нормальдық кеңеюі болады. 

жүктеу/скачать 1,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: