Бағдарламасының(syllabus) титулдық парағы Нысан ф со пгу 18. 4/19 Казақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі

дәреженің   көрсеткішіне   көбейтіледі.   Муавр   формуласының   тағы   бір

қосымшасын   қарастырайық.   Осы   формулада

 

1



r

  болсын,   сонда









n

i

n

i

n

sin

cos

)

sin

(cos







. Сол жағын Ньютон биномы бойынша жіктеп, нақты

және жорамал бөліктерін теңстіріп, 



n

sin

 және 



n

cos

 - ді 



sin

 және 



cos

-дің

дәрежелері   арқылы   өрнектей   аламыз.   Мысалы,  

3



n

  болған   жағдайда:

















3

sin

3

cos

sin

sin

cos

3

sin

cos

3

cos

3

2

2

3

i

i

i











;   екі   комплекс   санның

теңдігінің шартын қолданғанда: 









2

3

sin

cos

3

cos

3

cos





, 









sin

cos

3

sin

3

sin

2

3







.

Түбір алу.

Комплекс саннан   n -ші дәреженің түбірі деп түбір астындағы санға тең

болатын

  n -ші   дәрежелі   комплекс   санды   айтады,   яғни

)

sin

(cos

)

sin

(cos











i

i

r

n







, егер де 

)

sin

(cos

)

sin

(cos











i

r

n

i

n

n







.

Өзара   тең   комплекс   сандардың   модульдері   тең   болғандықтан,   ал

аргументтері  



2

-ге еселі санға айырмашылығы бар, онда  

r

n





,  







k

n

2





.

Осыдан: 

n

r





, 

n

k







2





, мұндағы 

k

 - кез келген бүтін сан, 

n

r

 - бүтін оң 

r

санынан   алынған   түбірдің   арифметикалық   мәні.   Олай   болса,

)

2

sin

2

(cos

)

sin

(cos

n

k

i

n

k

r

i

r

n

n























.

k

-ға 

1

,...,

2

,

1

,

0



n

 мәндерін беріп, түбірдің  n  түрлі мәнін алуға болады.

Комплекс санның көрсеткіштік формасы

Эйлер формулаларымен қолданайық: 

2

e

e

cos

i

i













,  

i

2

e

e

sin

i

i













Мұнда келесіні көруге болады 















i

i

i

i

i

e

i

2

e

e

i

2

e

e

sin

i

cos

















.

Онда тригонометриялық формадан көрсеткіштік формаға ауысуға болады. 







i

e

r

)

sin

i

(cos

r







Комплекс санның көрсеткішті формасы.  Барлық   амалдар   тригонометриялық

формаға көшкеннен кейін орындалады 

2. Комплекс айнымалыдан тәуелді функция. Комплекс айнымалыдан тәуелді 

фунцияның шегі мен үздіксіздігі. Комплекс айнымалыдан тәуелді функцияның 

туындысы.

Комплекс айнымалыдан тәуелді фунция

Егер z

0

 нүктесі өзінің қандай да бір  ε – маңайымен O

ε

(z

0

) 



D жиынына

жататын болса, онда z

0  

нүктесі D жиынының ішкі нүктесі деп аталады. Егер D

жиынының  әрбір   нүктесі  осы   жиынның  ішкі  нүктесі  болса,  онда ол   ашық

жиын деп аталады. Комплекс жазықтығындағы нүктелердің D жиыны төмендегі

екі шартты қанағаттандыратын болса:

1) D жиыны ашық,

2)  D  жиынының  кез келген екі  нүктесін   нүктелерінің  бәрі  де осы  жиында

жататын бір үзілізсіз сызықпен қосуға болады, бұл жиын облыс деп аталады. Егер

z

0

  нүктесінің  кез келген маңайында  D  жиынының  z

0

-ден  өзге нүктелері  де бар

болса, онда  z

0  

нүктесі  D  жиынының    шектік  нүктесі  деп аталады.  D  жиыны

өзінің  барлық   шекті   нүктелерін  қамтитын   болса,   онда   ол  тұйық   жиын  деп

аталады.

Анықтама.  Егер   комплекс   жазықтықта  D  облысы   беріліп   және   сол

облыстың әрбір  z  нүктесіне  G  облысынан  бір  тиянақты  комплекс  w  сәйкес

келсе, онда бұл сәйкестікті  D  облысында берілген  z айнымалының комплекс

функциясы деп атайды, және оны былай белгілейді:      

w =f(z); zє D; wє G          (1)

мұндағы  D  жиынын   функцияның  анықталу   облысы,   ал  G   жиынын  D

жиынының бейнесі деп атайды. 

Егер z

 

 шаманың функцияның анықталу облысынан алынған әрбір мәніне w

функцияның   бір   ғана   мәні   сәйкес   қойылатын   болса,   онда  w=f(z)  бірмәнді

функция деп аталады. 

Жалпы  алғанда  w=f(z)  мәні коплекс  сан  болады.  F(z)  функцияның мәнін

табу   үшін  z-тің  орнына  х+уі  қойғаннан кейін көрсетілген амалдарын орындап,

функцияның нақты және жорымал бөліктерін айырып алып, оны f(z)=u(х,у)+iv(х,у)

түрінде жазады. Бұл жерде   

и(х,у)=Rе f(z); υ(х,у)=Imf(z);                (2)

3. Функцияны

 

 ң   шег

 

 і   мен 

 

 ү  зд

   і  кс

   із

   д  і  г  і

w=f(z) функциясы D облысында анықталған болсын. 

Анықтама.  Егер   кез   келген  ε>0  саны  үшін  δ=δ(ε)>0  саны  табылып,

0<│z-z

0

│<δ    теңсіздігін  қанағаттандыратын   барлық  

D

z 



  үшін  │f(z)-А│<ε

теңсіздігі  орындалатын   болса,   онда  А  саны  f(z)  функцияның   z-тің    z

0

-ге

ұмтылғандағы шегі деп аталады.

Комплекс   айнымалы   функцияның  шегінің  геометриялық  марғынасы  5-

суретте көрсетілген:  z-жазықтығында айнымалы нүкте  z  тұрақты нүкте    z

0

-дің    δ

маңайында   U

δ

(z

0

)   болғанда  f(z)    функциясының  мәндері  w  жазықтығындағы

нүкте А-ның ε маңайында U

ε

(А) болады.

5-сурет

Анықтама: Егер кез келген  ε>0  үшін  δ=δ(ε)>0  саны  табылып,  │z- z

0

│<δ

теңсіздігін     қанағаттандыратын     барлық   z   үшін  │f(z)-f(z

0

)│<ε  теңсіздігі

орындалатын   болса,   онда  f(z)  функциясы    нүктесінде  үздіксіз   функция  деп

аталады.

Функцияның  ақырлы  z

0

  нүктедегі  шегі  мен  үздіксіздігі  анықтамаларынан

келесі теорема туындайды:

Теорема.  F(z)=u(х,у)+iv(х,у)  функция   ақырлы  z

0

=x

0

+iу

0  

нүктеде  үздіксіз

болуы  үшін  u(х,у)  және  v(х,у)  функциялардың  (x

0

,у

0

)  нүктеде  үздіксіз  болуы

қажетті және жеткілікті.

Егер  f

1

(z)  және

 

f

2

(z)    функциялары  z

0

  нүктесінде   үздіксіз   болса,  онда

олардың қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және бөліндісі де үздіксіз функция

болады. Бөлінді жағдайында бөлгіштің нольге айналатын нүктелері кірмейді.

Егер w=φ(z) функция  z

 0

  нүктесі маңайында анықтылып және z

 0

  нүктесінде

үздіксіз болса, ал η=f(w) функция w

0

=φ(z

0

)  нүктесі маңайында анықталып және

w

0 

нүктесінде үздіксіз болса, онда   f(φ(z))   күрделі функция да  z

0

   нүктесінде

үздіксіз болады.

   Жоғарыда айтылған теоремалардың дәлелдеулері математикалық анализ 

курсындағы   сәйкес   теоремалардың   дәлелдеулеріне   ұқсас,   сондықтан

дәлелдеулерін келтірген жоқпыз. Бұл теоремалардың дәлелдеуін оқырмандарға

өз бетінше дәлелдеуге ұсынамыз.

Нақты   аргументті  үздіксіз  функциялардың   негізгі   қасиеттері  комплекс

аргументті функциялар үшін де орындалады. Атап айтқанда:

1.

Тұйық  D   облысында  үздіксіз  функция модулі бойынша  шенелген

болады, яғни, кез келген  zєD үшін |f(z)|≤М мұндағы М нақты оң сан.

         2. Тұйық 

D

  облысында үздіксіз функция өзінің ең үлкен (ең кіші) 

мәндерін қабылдайды. Яғни, т≤f(z) ≤М ,мұндағы m=min{f(z)}, M=max{f(z)}.

Комплекс облыстағы элементар функциялар

Кейбір элементар функциялардың мысалдарын келтірейік.

Бүтін сызықты функция 

b

az

z

f

W







)

(

.

Бөлшек сызықты функция 

d

cz

b

az

z

f

w









)

(

, 

0





bc

ad

.

Бүтін рационал функция 

n

n

n

a

z

a

z

a

z

f

W













...

)

(

1

1

0

.

Бөлшек- рационал функция 

m

m

m

n

n

n

b

z

b

z

b

a

z

a

z

a

z

f

W





















...

...

)

(

1

1

0

1

1

0

.

Көрсеткіштік   және   тригонометриялық   функциялар   дәрежелік   қатардың

көмегімен енгізіледі:









0

!

n

n

z

n

z

e

    ,   



















0

1

2

)!

1

2

(

1

sin

n

n

n

n

z

z

  , 

 











0

2

)!

2

(

1

cos

n

n

n

n

z

z

Мысал.

Төмендегі функциялардың нақты және жорымал бөліктерін ажыратып 

жазыңдар. 

.

5

3

)

(







z

z

z

f

Шешімі. 

iy

x

z





, 

)

,

(

)

,

(

)

(

y

x

iv

y

x

u

z

f





деп алып , біртіндеп түрлендірейік, сонда

25

10

2

25

10

15

8

5

5

5

3

5

3

2

2

2

2

2

2























































x

y

x

yi

x

y

x

x

y

x

iy

x

iy

x

iy

x

iy

x

iy

x

iy

x

iv

u

 мұнан 

25

10

15

8

2

2

2

2















x

y

x

x

y

x

u

 , 

25

10

2

2

2









x

y

x

y

v

.

КОМПЛЕКС АЙНЫМАЛЫДАН  ТӘУЕЛДІ ФУНКЦИЯНЫҢ

ТУЫНДЫСЫ .

Комплекс айнымалы функцияның туындысы, формальді түрде, нақты 

айнымалы функцияның туындысы тәрізді анықталады. Бірмәнді w=f(z)=u+iv 

функция z

0

 нүктесінің U

δ

(z

0

):







0

z

z

 маңайында анықталсын. Тәуелсіз 

айнымалының көрсетілген U

δ

(z

0

) маңайдан шықпайтындай өсімшелерін 

қарастырайық. 

∆z=z- z

0

 =∆x+i∆y=(x-x

0

)+i(y-y

0

)≠0

Әрбір ∆z –ке функция өсімшесі ∆w сәйкес келеді.

∆w=∆f(z

0

)=f(z)-f(z

0

)= ∆u+i∆y

Анықтама.  Функцияның  ∆w  өсімшесінің оған сәйкес аргумент өсімшесі

∆z-ке қатынасының  ∆z→0 жағдайда ақырлы шегі бар болса, онда оны  w=f(z)

функцияның z

0

 нүктедегі туындысы деп атап, 

 

0

z

dz

dw

, f′(z

0

) арқылы белгілейді.

Яғни 

z

w

z

f

z











0

'

lim

)

(

   (1)

Нақты   айнымалының   функциясы   сияқты,  w=f(z)  функция    z

0  

нүктесінде

дифференциалданатын  деп   аталады,   егер   ол  z

0

  нүктесінің  U

δ

(z

0

)  маңайында

анықталып және оның функция өсімшесі ∆w, аргумент өсімшесіне  ∆z қатысты

сызықты, ал екіншісі қосылғыш  ∆z  қарағанда жоғарғы ретте шексіз аз шама

болатын, қосылғыштан тұратын болса, яғни  

∆w= ∆f(z

0

)=A∙ ∆z+O(∆z)= A∙ ∆z+α(∆z) ∙ ∆z  (2)

мұндағы  А  шамасы  ∆z–тен   тәуелсіз,  α(∆z)  шексіз   аз   шама:  

 

0

lim

0









z

z



,

f(z) функция z

0 

нүктесінде дифференциалданатын деп аталады.

w=f(z)  функцияның  z

0

  нүктедегі  дифференциалы  деп  dw=df(z

0

)=f′(z

0

)dz

өрнегін айтамыз.

Жоғарыдағы (2) теңдіктен ∆z нольге ұмтылса, онда функцияның өсімшесі де 

нольге ұмтылатынын көреміз. Демек, дифференциалданатын функциялар 

үздіксіз болады. Бұл тұжырымға кері тұжырым жалпы алғанда дұрыс бола 

бермейді.

Комплекс   айнымалы   функция   берілген   нүктеде   қандай   жағдайда

дифференциалданатындығын анықтайық. 

Теорема 3.1.  Комплекс айнымалы  w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)  функция  z

0

=x

0

+iy

0

нүктесі маңайында анықталған болсын. 

)

(z

f

w 

 комплекс айнымалыдан тәуелді

функция z

0  

нүктесінде дифференциалданатын болуы үшін u(x,y) және v(x,y) екі

нақты   айнымалыдан   функциялары  (x

0

,y

0

)  нүктесінде   дифференциалданатын

болып, және олар үшін 

                                     



































x

v

y

u

y

v

x

u

        

Коши - Риман шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Комплекс   айнымалы   функция   үшін   нақты   анализдегі   дифференциалдау

ережелері сақталады:

1. (f(z)±g(z))′=f′(z)±g′(z)

2. (f(z)*g(z))′=f′(z) ∙g(z)+f(z) ∙g′(z)

3. [f(z)/g(z)]′=[f′(z) ∙g(z)-f(z) ∙g′(z)]/g

2

(z)

4. [f(g(z))]′=f′[g(z)] ∙g′(z)

5. f′ (z)=1/φ′(w)

Соңғы формуладағы f және φ өзара кері функциялар.

жүктеу/скачать 350,31 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: