Бір айнымалыға байланысты функцияның дифференциалдық

3 3

_x 3 _.

1
3

в) ^{y  1} .
_x2
^{y  x2} . 2-формуладан

ux  x,
  2  y^  2x^21  x^  2x^3  ^{ 2} _.
x3

г) ^{y  2x}3 .
^{a  2, u  x3 ,  y  2x}3 ^{ ln 2  x3   2x}3 ^{ ln 2  3x2  2x}3 ^{ 3x2 ln 2} .
д) ^{y  sin2 x3  sin x3 }2 .
u  sin x³ ,   2  y^  2sin x³ 21  sin x³ ^ 
u  x³  2sin x³ cos x³  ^x^{3 }  3x² sin 2x³ . е)
y  cos x  1 x²  y^  cos x^  1 x²  cos x  1 x² ^  sin x  1 x²  cos x  ^1^  x² ^{ } 

 sin x  1 x²  2x cos x.
_ _

Функция дифференциалы және оны жуықтап есептеуге қолдану.

Дифференциалданатын функциялар қасиеттері. Жанама мен нормаль теңдеулері. Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремалары.

Функция дифференциалы.

Анықтама 4.
x₀ нүктесінің аймағында анықталған
y  f x

функциясының
x₀ нүктесіндегі өсімшесі
y  А х    х _{, (**)}

түрінде көрсетілсе, онда x₀
дифференциалданады деп аталады.

нүктесінде

y  f x

функциясы

Ах
- функция өсімшесінің сызықты бөлігі, ал
x  0
үшін
  0

шексіз аз шама.

Ах
- сызықты бөлігі функция дифференциалы деп аталады.

Белгілеуі:
^{dy  А dх} .
^{dy  Ах} . x тәуелсіз айнымалысы үшін
^{dх  х} , ендеше

Дифференциалданатын функция қасиеттері:

арасындағы байланыс.) Функция қандай да бір дифференциалданатын болса, онда үзіліссіз.
x₀ нүктесінде

2.(Берілген нүктеде функция дифференциалдануы мен туындысының

бар болуының арасындағы байланыс.) Функция қандай да бір
x₀ нүктесінде

дифференциалдануы үшін осы нүктеде туындысының бар болуы қажетті

және жеткілікті шарт және
dy 
^{f (x0 )  dх} .

y  Ах  х
функция өсімшесінің теңдігіндегі ^ шамасы
x  0

шексіз аз шама екендігін ескеріп, (*) және (**) теңдіктерінен
f x₀  x  f x₀  f ^x₀ x


дифференциалды жуықтап есептеуге қолдану формуласын аламыз.


Мысал 1. y  есепте.

Шешуі: ^{y } функциясын қарастыралық және
x  4
деп алайық.

x  x
ретінде
f 4  2 .
4,001 санын аламыз. Онда
x  0,001,

f ^x   ¹  f ^4  ¹  0,25 . Онда (5)-тен
2 x 2 4
f 4,001  0,25  0,001 2  2,0025

Дифференциалдау ережелері.

u^(x) және ^vx табылсын, ал C - const. Онда
а) C^  0 .

б) u  v^  u^  v^ . в) <sup>(uv)  uv  uv


 Cu  Cu</sup> .

 ^u ^
г) _{ v 
} u^v  uv^ _.
v2

 

Бұл ережелер
u(x)
және
vx
функцияларының дифференциалданатын

жағдайында да орындалады. а) dC  0 .
б) ^{du  v  du  dv} .

в) ^{d(uv)  v  du  u  dv}
_{г) d} ^u  _ ^{v  du  u  dv} _.

^{d Cu  C  du} .

 _v  _v2
 

Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремалары.

Ферма теоремасы: f функциясы АВ аралығында анықталған болсын

және
 a;b
нүктесінде a;b
аралығындағы ең үлкен немесе ең кіші мәнін

қабылтасын.
Егер  a;b нүктесінде туындысы бар болса, ол нөлгетең.


f ^( )  0

Ролль теоремасы:
f функциясы : 1. a;b сегментінде үзіліссіз;

2. 
   a;b аралығының әр нүктесінде туындысы бар;
   

2. 
   интервалдың шекараларында мәні f (a) 
   

f (b)

Онда a;b аралығынан  нүктесі табылып, f ^( )  0 болады.
Лагранж теоремасы: f функциясының a;b аралығының әр нүктесінде
туындысы бар болса, a;b аралығынан  нүктесі табылып,
f (a)  f (b)  f ^  b  a

Геометриялық түрде
f ^( )
- a; f (a);
(b; f (b))
нүктелері арқылы

жүргізілген хорданың бұрыштық коэффициенті.
Коши теоремасы: f және g функциялары

1. 
   a;b аралығында үзіліссіз;
   
2. 
   аралықтың әр нүктесінде туындысы бар;
   
3. 
   аралықтың әр нүктесінде g функциясының туындысы нөлге тең
   

емес.
Онда a;b аралығынан  нүктесі табылып, ол келесі қанағаттандырады:

f (b)  f (a) _ f ^ 
g(b)  g(a) g^( )

Жанама мен нормаль теңдеулері.

Егер y  f x функциясының x нүктесінде туындысы бар болса, онда

0

қисыққа жүргізілген жанама теңдеуі:
y  f ^x₀ x  x₀  y_{0 .}

0

0
Егер
y  f x
функциясының
x₀ нүктесінде туындысы бар болса, онда

қисыққа жүргізілген нормаль теңдеуі:

y  
1

0
f ^x
_ x  x
 y _.