Бір айнымалыға байланысты функцияның дифференциалдық

№10-дәріс

Бір айнымалыға байланысты функцияның дифференциалдық есептеуі.

Бір айнымалыға байланысты функцияның туындысының геометриялық және механикалық мағынасы. Туындының кестесі.

Дифференциалдау ережелері.

Бір айнымалы функцияның туындысы.

x₀ маңайында, x₀ нүктесін қоса алғанда, y  f x функциясы берілсін.

x₀ нүктесінде x аргументіне x
өсімшесін береміз (оң немесе теріс). Онда

0

0
y  f x  x f x .

Анықтама. Егер lim ^y шегі табылса, онда оны
x нүктесіндегі

x0 _x
y  f x функциясының туындысы деп айтамыз, немесе
0
y  f x функциясы

x₀ нүктесінде дифференциалданады деп айтамыз және былай белгілейміз:

y^ f ^x,
y^_x ,
dy _,
dx
^{df x}, ^яғни,
dx
_{f x   lim} f x  x f x 
(1)

0 0
⁰ x0 _x

Егер (1)-де
x  0 және x  0
^{x  0} болса, онда (1)-ді x
0

пр
нүктесіндегі f ^ x
 оң жақ туындысы [
f ^x  сол жақ туындысы] деп

л

0

0
атаймыз. Егер f ^ x , f ^x  және f ^  f ^ болса, онда f ^x  .
пр 0 л 0 пр л 0
Анықтама. y  f x функциясын a;b кесіндісінде
дифференциалданады деп айтамыз, егер оның a;b аралығындағы әрбір

пр
нүктеде туындысы бар болса, ал a және b ұштарында сәйкесінше f ^ a

және
f ^b табылса.

л
D облысында дифференциалданатын функциялардың класын


C¹ D

деп белгілейміз.

Туындының механикалық және геометриялық мағынасы

а) Механикалық.
S  S(t)
- M нүктесінің қозғалу заңы болсын. M

нүктесінің t -дан
t  t -ға дейінгі аралығындағы қозғалысын қарастыралық.

Онда
S  St  t   St , ал
^S - орташа жылдамдық . Егер
t
lim ^S  S^t 
t0 _t

шегі табылса, онда жолдың уақыт бойынша туындысы M нүктесінің t
уақыт аралығындағы қозғалысының жылдамдығына тең.

Анықтама.

M₁ нүктесі қисықтың бойымен
M ₀ нүктесіне кез келген

жағынан шексіз жақындағанда M ₀ M₁ қимасының
M ₀T шектелген орны

табылса, онда M ₀T y  f x қисығына деп аталады.
x₀ нүктесінде жүргізілген жанама

Е гер қисықтың жанамасы бар болса, онда

tg  lim tg  lim ^y 
f ^x .

x0
x0 _x ⁰

Бұдан, x₀ нүктесінде дифференциалданатын функцияның осы нүктеде

0
бұрыштық коэффиценті ^{k  f x
} болатын жанамасы бар болады.

Мысал 1. y  f x
теңдеуін жаз.
функциясының x₀ нүктесіндегі жанамасының

а) ^{y  x2, x  1  y1  1}.
0
^{k  f 1} болғандықтан, жанаманың теңдеуі

^{y 1  f 1x 1}.
^{f x}-ті табалық:

y  x  x²

• 
  x²
  

 2xx  x²  lim ^y  lim
2xx  x²
 lim 2x  lim x  2x 

x0 _x z0 _x
x0
x0

 f ^x  2x²  f ^1  2  y 1  2x 1  2x  y 1  0.

б) ^{y  x3,}
x₀  0 
^{y0  0}. ^{б) в)}

x³ ^  3x²
болғандықтан,

k  0
теңдеуі
және жанаманың
^{y  0} .

в) ^{y  x , x0  0. x}

Оң жақ жанамасы



л
y  x
болады, яғни
0 x



пр

f
^  1, ал сол жағынан

жанамасы
y  x , яғни
f ^  1 . Бұдан, х= 0 нүктесінде берілген
y  x

f



f
 
пр л
болатын нүктелер бұрыштық деп аталады.

Теоремалар.

1. 
   Егер y  f x функциясы
   

x₀ нүктесінде дифференциалданатын болса,

онда бұл функция осы нүктеде үзіліссіз.

Шынымен де,
lim ^y 
f ^x   ^y  f ^x  x ,
мұндағы x  0 , егер
x  0 .

^x0 x
⁰ x ⁰

Бұдан,
y 
f ^x₀ x  xx  0
егер
x  0 .

1. u^(x)

және

Дифференциалдау ережелері

^vx табылсын, ал C - const. Онда

а) C^  0 . Шынында да, б) u  v^  u^  v^ .
f (x)  C  f
 0  C^  0 .

в) ^{(uv)  uv  uv
 Cu  Cu} .

 ^u ^
г) _{ }
v
_ u^v  uv^ _.
v2

 
u  ux,

Туындының кестесі

^{v  vx} - ^x айнымалысына тәуелді функциялар, ал


C , a ,  -

тұрақты сандар болсын. Онда

1. 
   x_x
   

' 1
7. (arcsin u)^ 
¹  u^

2. u ^ ^    u^{ 1}  u^
3. sin u^'  cosu  u^

8. 
   (arccos u)^  
   

8. 
   (arctg u)^  ¹
   

1
 u^
 u^

4. (cos u)^  sin u  u^

1 u ²
10.(arcctg u)^   ¹

 u^

5. (tg u)^ 

1

cos² u

 u^

1 u ²
11. (a ^u )^  a ^u ln a  u^ e ^u ^  e ^u  u^

6. (ctg u)^ 
1

sin² u

 u^

12. 
    (log u)' 
    

1


u ln a
 u^ ln u^  ¹  u^
u

12. 
    u ^v ^  v  u^v1  u^  u^v ln u  v^
    

3-формуланың дәлелдеуін келтірелік.
Мысал 2. Берілген функциялардың туындыларын тап

а) ^{y  x3} . 2-формуладан
ux  x ,
^{  3  y  3x31  x  3x2} .

  
2
  ²  ^  ² 1 


^  ²   ²

u x x,
y x ³ x