Демек, үзіліссіз функцияның кесіндідегі ең үлкен (ең кіші) мәнін анықтау үшін
жүктеу/скачать 23,11 Kb.
|
Документ
|
13- бИЛЕТ 1)Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері.Функцияны зерттеп, графигiн салу Айталық функциясы кесіндісінде үзілісіз болсын. Сонда бұл кесіндіде функция өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды. Берілген аралықта функцияның бірнеше мінездік нүктелері бар болсын деп ұйғарайық. Егер функция ең үлкен мәнін кесіндінің ішкі нүктесінде қабылдаса, онда ол функцияның максимум мәндерінің ең үлкені болады. Ең үлкен мәнге кесіндінің шеткі нүктесінде де ие болуы мүмкін. Сонымен, кесіндіде функция өзінің ең үлкен мәніне шеткі нүктесінде, не максимумы болатын нүктеде ие болады екен. Дәл осындай ұйғарымды, функцияның ең кіші мәні туралы да айтуға болады: функцияның ең кіші мәнін кесіндінің шеткі нүктесінде, не минимумы болатын ішкі нүктеде қабылдайды. Демек, үзіліссіз функцияның кесіндідегі ең үлкен (ең кіші) мәнін анықтау үшін: 1 функциясының туындысын табамыз; 2 Кесіндінің ішінде жатқан мінездік нүктелерді, яғни функцияның туындысы –ге тең немесе туындысы жоқ нүктелерді табамыз; 3 Функцияның мінездік нүктелер мен кесінді ұштарындағы мәндерін есептеймі; 4 Осы табылған мәндердің ішіндегі ең үлкені мен ең кішісін таңдап аламыз. Мысал. функциясының кесіндісіндегі ең кіші және ең үлкен мәндерін табу керек. Шешуі. 1) Функцияның анықталу облысы ; 2) функциясы кесіндісінде үзіліссіз, олай болса, ол өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін: -не аралықың ішінде жатқан мінездік нүктелерде; -не кесінді ұштарында қабылдайды. 3) Функцияның мінездік нүктелерін (функцияның туындысы болмайтын, не нөлге тең нүктелерді) табамыз: ,,,, 4) Функцияның мінездік нүктедегі және кесінді ұштарындағы мәндерін табамыз: ,, Бұл мәндерді салыстырып,мынадай қорытындыға келеміз: ; Демек, берілген функцияның кесіндісіндегі ең үлкен мәні -ге,ал ең кіші мәні 1-ге тең. Жауабы: функцияның кесіндісіндегі ең үлкен мәні -ге, ал ең кіші мәні 1-ге тең. Функцияны зерттеп, графигiн салу. Функцияны зерттеуге байланысты жоғарыда айтылғандай жұмыстар жұргізілгеннен кейін функцяны зерттеп, графигін салуға көшуге болады. Функцияны зерттеп, графигiн салудың жоспарын келтiру қажет: Функцияның анықталу облысын табу; Функцияның жұп, тақ, периодты екенiн анықтау; Функция графигiнiң координата өстерiмен қиылысу нүктелерiн табу; Таңба-тұрақтылық аралықтарын табу; Функцияның өсу және кему аралықтарын анықтау; Функцияның экстремум нүктелерiн және ол нүктелердегi мәндерiн табу. 7) Функцияныңң графигін салу. Бұл ретті қатаң түрде сақтау әр уақытта міндетті емес. Бұл ретті сақтғанның да зины жоқ. Бірақ функцияның графигін салуда осы аталғандар орындалуы керек. 2)Теңбүйірлі үшбұрыштың анықтамсы. Теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеттері Үшбұрыштың екі қабырғасы тең болса, ол теңбүйірлі үшбұрыш деп атадады. Теңқабырғалар теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғалары, ал үшінші қабырғасы – табаны, табанына қарсы жатқан бұрыш төбесі деп аталады. Теңбүйірлі АВС үшбұрышының АС=BC – бүйір қабырғалары, АВ –табаны, С –табанына қарсы жатқан төбесі немесе табанына қарсы жетқан бұрышы, және - табанына іргелес бұрыштар делінеді (4.19,а-сурет). Барлық қабырғалары тең үшбұрыштың екі қабырғасы тең болғандықтан, ол да теңбүйірлі үшбұрыш. Бірақ оның ерекше аталымы бар. Барлық қабырғалары тең үшбұрышты теңқабырғалы үшбұрыш деп атайды. 4.19,ә-суретте теңқабырғалы KHE үшбұрышы бейнеленген: КН=HE=KE. Сонымен қабырғаларына қарай үшбұрыштар қабырғаларының ұзындықтары әртүрлі және теңбүйірлі болып екіге бөлінеді. Теңбүйірлі үшбұрыштың құрамына оның ішкі жиыны болып теңқабырғалы үшбұрыш енеді. Тең бүйірлі үшбұрыштың анықтамасын оқып үйренуде оқушылар анықтаманың тұжырымдамасын жатқа біліп қана қоймай, оны түсінуіне көбірек көңіл аудару керек. Ол үшін ұғымға келтіру және ұғымнан салдар шығару жұмыстары жүргізіледі. Біріншісінде анықтамасына сәйкес келетін теңбүйірлі үшбұрышты танып, анықтай алуға, ал ұғымнан салдар шығару - егер үшбұрыш теңбүйірлі екендігі белгілі болса, оның бүйір қабырғаларын, табанын, табанына қарсы жатқан төбесін көрсете алуға арналған ауызша жаттығулар орындалады. Теорема. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектрисасының (теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектриса әрі медиана, әрі биіктік болады) қасиетін оқушылардың өз бетінше дәлелдеуіне ұсынуға болады. Оқушылар теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектрисасы, медианасы және биіктігі дәл келетінін тағайындайды. Сол себепті мына тұжырымдар да дұрыс: 1. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген медиана биіктігі де биссектрисасы да болады 2. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биіктігі медианасы да, биссектрисасы да болады. Бұл тұжырымдар теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектриса (медиана, биіктік) немесе табанына қарсы жатқан бұрыштың биисектрисасы (медианасы, биіктікгі) үшін ғана дұрыс болатыны ескертілу керек. 3)Студент емтиханға дайындық кезінде оқулықтың 120 бетін оқыды, ал бұл барлық кітаптың 75%-ын құрайды. Оқулықта қанша бет бар? 14-билет 1)Алғашқы функция ұғымы.Қисық сызықты трапецияның ауданы Анықталған интеграл ұғымын енгiзу ең негiзгi қадам болып табылады. Анықталған интеграл ұғымын енгiзудiң бiр әдiстемелiк схемасы мынадай: 1) лайықты есептер келтiру; 2) интегралдың анықтамасын тұжырымдау. Интеграл ұғымын оған келтiретiн дайындық есептерiн қарастырудан бастаған тиiмдi. 1.Сатылы фигураны құрып, оның ауданын есептеу. Ол үшiн кесiндiсiн теңдей етiп n бөлiкке бөлемiз. Айталық (х – осындай кесiндiнiң әрбiреуiнiң ұзындығы болсын. Бөлу нүктелерiн , мұндағы деп белгiлеймiз. кесiндiсiн табаны етiп, биiктiгi f(x1) болатын, ал кесiндiсiнде – биiктiгi f(x2) болатын тiктөртбұрыш саламыз. Дәл осы сияқты қалған кесiндiлерде де тiктөртбұрыштар саламыз. Сонда бұл тiктөртбұрыштардың барлығы бiрiгiп, «сатылы» фигураны құрады және оның ауданы мынаған тең болады: . 2.Қисық сызықты трапецияның ауданы S-тi Sn арқылы өрнектеу. Ендi кесiндiсiн өте «ұсақ» бөлiктерге бөлудi қарастырайық. Ол үшiн жоғарыдағы тәсiлмен сатылы фигура құрамыз. Сондағы шыққан суреттердi салыстыру арқылы (х неғұрлым аз болған сайын, яғни n үлкен болған сайын, Sn шамасы S–тен соғұрлым аз өзгеретiнiн көремiз. Сондықтан қисық сызықты трапецияның ауданы Sn-нiң шегi деп қарастыруға болады. Математикада бұл деректiң шынында да орындалатындығы дәлелденедi. Сонымен, . Шешiмi осындай қосындының шегiн табуға келiп тiрелетiн тағы бiр есептi қарастырамыз. 2)Арифметикалық прогрессия Анықтама. Екiншi мүшесiнен бастап әрбiр мүшесi өзiнiң алдындағы мүшеге бiрдей санды қосқанға тең болатын тiзбек арифметикалық тiзбек деп аталады. Басқаша айтқанда кез келген натурал п сан үшiн аn+1=ап+d (мұндағы d - қандай да бiр сан) шарты орындалса, онда (ап) тiзбегi арифметикалық прогрессия болады. d=ап+1—ап-ны арифметикалық прогрессияның айырмасы деп атайды. d>0 болғанда арифметикалық прогрессияны өспелi, ал d<0 болғанда арифметикалық прогрессияны кемiмелi деп атайды. Арифметикалық прогрессияны былайша белгiлейдi: а1, а2, ..., аn, ... немесе аn+1=ап+d. Арифметикалық прогрессияның анықтамасы бойынша а1, Демек, арифметикалық прогрессияның n-шi мүшесiнiң формуласы мынаған тең: an=а1+d(п-1) Бұл формуланың дұрыстығы математикалық индукция әдiсiмен дәлелденiледi. Арифметикалық прогрессияның п-шi мүшесiнiң формуласын басқаша түрiнде жазуға болады. Бұдан кез келген арифметикалық прогрессияны (мұндағы k мен b-қандай да бiр сандар) түрiндегi формуламен беруге болады. Керiсiнше де тура болады: түрiндегi формуламен берiлген (ап) тiзбегi арифметикалық прогрессия болып табылады (мұндағы k мен b-қандай да бiр сандар). Сондықтан да арифметикалық прогрессияны натурал сандар жиынында анықталган функция деп қарастыруға болады. Арифметикалық прогрессияға ғана тән қасиет былайша дәлелденiледi: Арифметикалық прогрессияның анықтамасы бойынша бұдан . Сонымен, арифметикалық прогрессияның екiншi мүшесiнен бастап әрбiр мүшесi оның екi көршiлес тұрған мүшелерiнiң арифметикалық ортасы болып табылады. Егер арифметикалық прогрессияның бiрiншi мүшесi мен айырымы а1 және d белгiлi болса, онда оның қалған мүшелерiн рекурренттiк формуласы арқылы шығарып алуға болады. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесiнiң қосындысы мына формуламен анықталады: (1) Бұл формуланы арифметикалық прогрессияның n-шi мүшесiнiң формуласы дейдi. ап=а1+d(п-1) болатындықтан, (1) формуланы мына түрде жазуға болады: (2) 3)Тригонометриялық теңбе- теңдікті дәлелдеңіз: 15 билет 1. Анықталған интеграл жазық фигуралардың фигуралардың ауданына, айналу денелерiнiң көлемiне байланысты есептер шығару Анықталған интеграл жазық фигуралардың ауданына, айналу денелерiнiң көлемiне байланысты есептер шығару арқылы тиянақталады. Мысал. қисығымен, түзуімен және өсімен шектелген фигураның ауданын табу. Шешуі: Суретте берілген жазық фигураның ауданын есептейміз: 12-сурет
Жауабы: кв. бірлік. Мысал. , , синусоида және өсімен шектелген жазық фигура ауданын табу керек. Шешуі: үшін , ал үшін болатындықтан фигураның ауданы мынаған тең . 13-сурет
Мысал. Табан ауданы -ға, биіктігі -қа тең конустың көлемін есептейік. Шешуі: Конустың төбесін координаталар басына сәйкес 14-сурет
етіп, биіктігі өсі бойымен бағыттайық (14-сурет). Кез келген нүктесі арқылы өсіне перпендикуляр жазықтық жүргіземіз. Ол жазықтық конустың болатын дөңгелекті қиып өтеді. Конустың параллель қималарының аудандары осы қималардан конустың төбесіне дейінгі қашықтықтардың квадраттарының қатынасына тең екені геометрия курсынан белгілі, яғни , мұндағы - конустың нүктесі арқылы өсіне перпендикуляр жазықтықпен қимасының ауданы, - конус табанының ауданы, - конустың биіктігі, шамасы нүктесі арқылы өтетін қимадан конустың төбесіне дейінгі қашықтық. Соңғы теңдіктен шығады. Енді интеграл көмегімен конустың көлемін есептейік: . Сонымен, конустың көлемін есептеу формуласын алдық. Мысал. және доғаларымен шектелген фигураның өсінен айналуынан пайда болған дененің көлемін табу керек. Шешуі: Айналу денесінің көлемінің формуласын және осы доғалардың қиылысу нүктелерінің абсциссалары , болатынын ескере отырып, алатынымыз: . Жауабы: . 2.Оң және терiс сандарды оқытудың жалпы мәселелері Математика ғылымы сан ұғымының дамуымен қатар жүріп отырды. Соның ішінде математика ғылымына теріс сан ұғымның енуі өте қиын да ұзақ жолдан өтті. Ертедегі гректер нақтылы түсініктеме бере алмағандақтан теріс санды мойындамаған. Тек Диофантта ғана теріс санның нышандары табылады. Теріс сан ұғымын енгізуге байланысты алғашқы батыл қадамды Х ғасырда индия ғалымдары жасады. Олар қаржылай қарыз болғанды теріс, ал ақшасының бар болуын оң сан деп қарастырды. Бірақ Орталық Шығыс халықтары теріс санды мойындай қоймады. Ал ХУІ ғасырға дейін европа оқымыстылары да теріс санның бар болуымен келісе алмады. Теріс сан ұғымы ХУІІ ғасырда Декарттың аналитикалық геометриясы құрылғаннан кейін қана түсінікті болды. Осндай жағдайда математика ғылымында теріс сан ұғымы пайда болды. Енді теріс сандарды мектепте қайтіп оқытуамыз деген мәселе туындады. Бірінші кезекте теріс сан ұғымын қалай енгізу керек? – деген сұрақтың жауабаын табу керек болды. Мұнда да тарихи-тәжірибелік қағидат жәрдемге келеді. Адамзат тарихында «+» және «-« таңбаларын қосу мен азайту амалдарын белгілеуден көп бұрын, табыс табу мен шығынға батуды, көбею мен азаюуды, арту мен кемуді білдіру үшін пайдаланған. Нақтылы үдерістердегі шамалардың қарама-қарсы бағыттарда өзгеруі мектептегі теріс сан ұғымын енгізуде пайдаланылады. Бұл теріс санды енгізудің бірінші жолы. Теріс сандарды мектепке енгізудің екінші бір жолы - ол оң сандар жиынында азайту амалын орындауға байланысты жағдайларды қарастыру болып табылады. Үшінші жағдайда бір түзудің бойына орналасқан векторлардың ұзындықтары мен оның бағытын қарастыру оң және теріс сан ұғымдарына келтіріледі. Күнделікті тіршілікке байланысытылығы және көрнекілігіне байланысты қазіргі мектеп оқулықтары негізінен бірінші жолды басшылыққа алады. Мұндағы қолданылатын негізгі әдісі - нақтылы-индуктивті (толымсыз индукция). Бұл жерде дедуктивті әдістің қолданылуы шетеулі. Оқушылар рационал сан ұғымымымен таныс. Теріс сан ұғмының енуіне байланысты рационал санның көлемі кеңейеді. Енді әрбір рационал санға сан өсінен сәйкес бір нүкте табуға болады. Теріс сан ұғымын енгізу. Терiс сандарды енгiзу кезiндегi туындайтын бiрiншi әдiстемелiк мәселе ол оқушылардың жаңа сандарды енгiзу қажеттiгiне көзiн жеткiзу болып табылады. Бұл мәселе мақсатқа сай есептердi iрiктеп алу арқылы жүзеге асырылады. Осындай есептердiң кейбiреулерiн келтiрейiк. Тиiн iнiнен шығып, ағаштың дiңгегi бойынша жоғары-төмен жүгiре бастады (Бұл пойздың стансадан шығып алдымен бір бағытта, одан соң стансадан кері бағытта жүруі, температураның өзгеруі т.б. болуы мүмкін). Сурет көрсетіліп мынадай сұрақтарға жауап бріледі: 1. Егер тиін iнiнен 3 м қашықтықта болса, ол қай жерде болғанын көрсетуге бола ма? Оқушылар жауабы әр түрлі болады: біреулері інің жоғары жағын, екіншілері төмегі жаңын көрсетіп жатады. 2. Егер а) тиiн iнiнен 2 м жоғары жағында болса қайда болады?; ә) ал егер iнiнен 3 м төмен болса ше?; б) iнiнен 1,5 м төмен блғанда ше?; в) iнiнен 2,5 м жоғары болса, онда ол қай жерде болады? Бұл есептi шығару арқылы тиiннiң ағаштағы орнын көрсету үшiн мынаны бiлу қажеттiгi анықталады: оның iнiнен қандай қашықтықта орналасқанын және оның бағытын (iнiнен жоғары не төмен) бiлуiмiз қажет. Бiзге белгiлi сандармен тиiннiң iнiнен қандай қашықтықта және қандай бағытта орналасатындығын анықтауға болмайтындығы түсiндiрiледi. Есептi математикалық тiлде көрсеткен пайдалы. Ол үшiн ағаш орнына сан түзуiн, iн орнына сан түзуiнiң белгiлi бiр тиянақты нүктесiн, тиiн үшiн түзудiң кез келген нүктесiн алу керек. Бұл жаңа сандарды енгiзудiң көрнекi-геометриялық кескiнi. Оқушыларға мынадай тапсырма беріледі. Солдан оңға қарай түзу жүргiзiп, оның бойынан O нүктесiн белгiлеңдер. Осы түзудегi O нүктесiнiң оң жағында 6 клетка қашықтықта жатқан А нүктесiн, O нүктесiнiң оң жағында одан 2,5 клетка қашықтықта В нүктесiн, O нүктесiнiң сол жағында одан 2 клетка қашықтықта болатын С нүктесiн, O нүктесiнiң сол жағында одан 3,5 клетка қашықтықта болатын К нүктесiн белгiлеңдер. К С В А
1-сызба Нәтижеде оқушылар «координата түзуi»» ұғымын қабылдауға дайын болады. Мұғалiмге тек «есептеудiң бас нүктесi», «түзудiң оң бағыты», «түзудiң терiс бағыты» деген терминдердi айту ғана қалады. Егер оң бағытты «+» таңбасымен, ал терiс бағытты «-» таңбасымен белгiлесек, онда жоғарыдағы қарастырылған есептегi А нүктесiнiң жағдайы +6 санымен, ал В нүктесiнiң жағдайы +3,5 санымен, С нүктесiнiң жағдайы –2 санымен, ал К нүктесiнiң жағдайы –3,5 санымен, ал O нүктесiнiң өзi болса, 0 санымен анықталады. 0, +6, +3,5 сандары бұрыннан белгiлi болатын, -2, -3,5 - жаңа сандар. +6, +2,5,…, сандары оң сандар деп (оларды «+» таңбасын жазбай-ақ 6, 2,5 деп белгiлеуге болады), -2, -3,5,… - сандары терiс сандар деп аталады. Оң сандар мен терiс сандар және 0 саны - рационал сандар. Әрбір рационал санға түзу бойынан бір нүкте сәйкес келеді. Оқушылардың жаңа сандарды енгiзу қажеттiгiн тек түсiнiп қана қоймай, олардың мағынасын да түсiнгенi маңызды. Бұл мақсатта оң және терiс сандарды сан түзуiндегi нүктелер арқылы кескiндеуге, оқуға арналған жаттығуларды орындаған пайдалы. Сондай мысалдардың кейбiреуiн келтiрейiк. Төмендегi келтiрiлген сөйлемдердi «+» және «-« таңбаларын қолдану арқылы қысқаша түрде жазыңдар: ауаның температурасы түн ортасында 00-тан 4 градус төмен болды, ал түс мезгiлiнде нөлден 10 градус жоғары болды; өзендегi судың деңгейi су тасқыны кезiнде нөлдiк белгiден 1,9 м жоғары, ал су тасқыны қайтқанда нөлдiк белгiден 1,9 м төмен болды; прибордың стрелкасы нөлдiк белгiден оңға қарай 4,5 бөлiкке ауытқыды; 2‚5 бөлiкке солға қарай ауытқыды. Керi тапсырмалар орындаған да пайдалы (математика тiлiнен табиғи тiлге аудару). Қоймашы қоймадағы журналға мынадай белгiлер жазды: «Таң шапағы» ұжымы +23,5 т; №1 асхана –2,5 т; «Жеңiс» ұжымы +32 т; №2 асхана –3 т; №5 жемiс дүкенi –6 т. Бұл жазуларды қалай оқуға болады? 16 билет 1 Трапеция. Жазық фигуралардың ауданы ұғымы Төрбұрыштармен оқушылар бұрыннан таныс. Төрт қабырғасы, төрт бұрышы бар фигураны олар төртбұрыш деп таниды. Тіктөртбұрыш пен квадыратты да ажырата алады. Бұл тақырыпты оқытудағы оқушылар үшін жаңалық төртбұрыштардың дөңес және дөңес емес деп жіктелінуі, дөңес төртбұрыштардың жаңадан пааллаелограмм, трапеция, ромб деген дербес түрлерін оқып-үйренуінде. Төртбұрыш ұғымын анықтағанна кейін парллелограмм немесе трапеция ұғымдарының қайсысы алдын енгізілуі керек деген мәселеге, оқулық авторларының төртбұрыштың жіктелуінің қандай түрін басшылыққа алуына байланысты. Дөңес төртбұрыштарды жіктеудің негізгі ретінде төрбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының өзара параллель немесе параллель еместігі қабылданып, дөңес төртбұрыштар үш түрге : қабырғалары параллель емес төртбұрыштарға, трапециялар мен параллелограмдарға жіктеледі. Параллелограмды жіктегенде іргелес қабырғаларының тең немесе тең еместігіне байланысты (параллелограмм және ромб), сонымен бірге параллаелограмды тікбұрышының болуы немесе болмауы бойынша (параллелограмм және тіктөртбұрыш), ал ромбы тік бұрышының болуы немесе болмауына байланысты (ромбының өзі және квадрат), тіктөртбұрыш іргелес қабырғаларының тең не тең еместігіне байланысты (тіктөртбұрыш және квадрат) жіктеледі. Трапециялар бүйір қабырғаларының ұзындығы бойынша (тең бүйірлі, тең бүйірлі емес трапеция) жіктеледі; одан соң тең бүйірлі емес трапеция өз кезегінде тікбұрышты және тік бұрышты емес трапеция болып бөлінеді. Төртбұрыштардың жіктемесі бір мәнді емес. Жоғарыдағы жіктеме бойынша трапеция мен параллелограмның да тектік ұғымы төртбұрыш. Дөңес төртбұрыш екі қабырғасының параллель болуына карай жіктелетін болса, онда екі параллель қабырғалары бар төртбұрыш, параллель қабырғалары жоқ төртбұрыш болып екі топқа бөлінер еді. Екі қабырғасы параллель былайғы екі қабырғасы параллель емес төртбұрыш трапеция болатындықтан, оның паралель емес екі қабырғасы деформациялану нәтижесінде параллель болып қалуы да мүмкін, демек трапеция екіге жіктелінеді: трапеця және параллелограмм. Сонда параллелограмм бүйір қабырғалары параллель трапеция ретінде анықталатын болады. Мұндай жағдайда төртбұрыштар жіктемесінде мынадай өзгерістер болады: Төртбұрыштарды жіктеу схемасы а) Дөңес төртбұрыштар үшке емес, екіге бөлінеді: екі қабырғасы параллель емес төртбұрыш және трапеция; ә) трапеция екі топқа бөлінеді: параллелограмм емес трапеция және параллелограмм бөлінеді; б) одан ары қарай жіктеме өзгеріссіз қалады. Төртбұрыштардың жіктемеснің осындай болуының да толықтай құқығы бар. Әдістемелік әдебиеттерде [8],[10] дөңес төртбұрыштардың осындай жіктемесі дұрыс, әрі логикалық түсінікті деп есептеледі. Егер параллелограмды бүйір қабырғалары параллель трапеция ретінде анықтасақ, онда «трапецияның бүкіл қасиеттері автоматты түрде параллелограмға өтеді» [8]. Ондай жағдайда паралелограмның тегі болатын теңбүйірлі трапецияның табанындағы бұрыштар тең деген қасиет параллелограмға да тиісті болған болар еді. Қазіргі мектеп оқулықтарында дөңес төртбұрыштар жіктемесін құрудың тектік және түрлік (генетикалық) сипатын айқын түрде түсіндіруге мүмкіндік беретін, параллелограмдар мен трапециялар алынады. 1 Жазық фигуралардың ауданы ұғымы Алғаш рет аудан ұғымымен мектеп оқушылары төменгі сыныптарда кездеседі. Олар тіктөртбұрыштың, шаршының, үшбұрыштың, дөңгелектің аудандары және кубтың, тікпараллелепипед пен тікцилиндр беттерінің аудандарымен таныс. Жалпы, фигуралар ауданы ұғымын біз күнделікті іс-тәжірибемізде жиі қолданамыз. Мысалы, біздің отырған сынып бөлмесінің ауданы, саяжайға бөлінген жердің ауданы, футбол алаңының және т.с.с. Оқушыларға практикалық мазмұндағы бірнеше есептер береді. 1-есеп. Сынып терезесінің қабырғалары 95 см және 42 см. Ауданын тап. 2-есеп. Алдын-ала өлшеу жұмыстарын атқару арқылы, сынып тақтасының, сынып столының, сынып журналы мұқабасының аудандарын тап. Келесі әңгімені былай өрбітуге болады. 1. Біз геометриялық фигура – тіктөртбұрыштың ауданын есептедік, нәтижесінде оң сан шықты. Байқағанымыздай, тіктөртбұрыш ауданын табу дегеніміз – тіктөртбұрыш қабырғаларымен шектелген жазықтық бөлігінің өлшемін анықтайтын оң санды табу. 2. Тіктөртбұрыштың ауданының өлшем бірлігі үшін қабырғасы бірге тең квадрат алынған. 3. Тіктөртбұрышты сипаттайтын сандардың төмендегідей қасиеттері бар: оларды бір–бірімен салыстыруға (сынып тақтасы ауданы стол беті ауданынан үлкен т.с.с.), қосуға және азайтуға (екі столды қосуға, стол бетінің бір бөлігін жауып қоюға т.с.с.) болады. 4 Тіктөртбұрыш ауданы оның кеңістікте қалай орналасқанына тәуелсіз. 5 Тіктөртбұрыш ауданы төмендегідей талаптарды қанағаттандырады: 1) Тең тіктөртбұрыштар аудандары тең болады (кітаптың екі бетінің ауданы тең т.с.с.). 2) Егер тіктөртбұрыш бірнеше тұйық фигурадан тұратын болса, оның ауданы оның бөліктерінің аудандарының қосындысына тең (стол беті бірнеше бөліктен тұрса ауданы сол бөлік аудандарының қосындысына тең). Бұл әңгіме, бір жағынан оқушылардың тіктөртбұрыш ауданы туралы мағлұматтарды есіне түсіріп, қайталауға мүмкіндік берсе, екінші жағынан, оларды жаңа ұғымдармен таныстырып өтеді. Мұғалім кесіндінің ұзындығы мен жазық фигура ауданы ұғымдарын салыстырады. Кесіндінің ұзындығы дегеніміз белгілі бір масштабтық кесіндімен салыстырғандағы осы кесіндінің өлшемі болаты сан екені белгілі. Жазық фигура ауданы дегеніміз де осы сияқты түсінік. Енді жазық фигуралардың ауданы ұғымын анықтамастан бұрын, бұл ұғымның кесінді ұзындығы ұғымымен салыстырғандағы кейбір ерекшеліктерін атап өтелік. Екі кесіндінің ұзындықтары тең болса, онда бұл кесінділер тең болады; екі бұрыштың градустық (немесе радиандық) өлшемдері тең болса, онда бұл бұрыштар да тең болатынын жақсы білеміз. Ал фигуралардың аудандарын өлшеу үдерісінде бұл қасиеттер орындала бермейді. Яғни әр түрлі, өзара ұқсас емес фигуралардың аудандары бірдей бола беруі мүмкін. Мысалы қабырғалары 6 және 4, 3 және 8, 12 және 2 болатын тік төртбұрыштардың аудандары тең, бірақ олар өзара тең емес 2 Геометриялық прогрессияны оқыту Анықтама. Екiншiсiнен бастап әрбiр мүшесi өзiнiң алдындағы көршiлес мүшенi бiрдей санға көбейткенде шыққан нөлден өзгеше сандардың тiзбегi геометриялық прогрессия деп аталады. Басқаша айтқанда, кез келген натурал n үшiн және (мұндағы q-қандай да бiр сан) шарттары орындалса, (bn) тiзбегi геометриялық прогрессия болады. санын геометриялық прогрессияның еселiгi деп атайды. Индукция әдiсiмен геометриялық прогрессияның n-шi мүшесiнiң мына формуламен анықталатындығы көрсетiледi. Бұл формуланың дұрыстығы математикалық индукция әдiсiмен дәлелденедi. болғанда геометриялық прогрессияны өспелi, ал болғанда геометриялық прогрессияны кемiмелi деп атайды. Геометриялық прогрессияға ғана тән қасиет былайша дәлелденiледi: геометриялық прогрессияның анықтамасы бойынша , бұдан . Егер геометриялық прогрессияның мүшелерi оң болса, онда екiншi мүшесiнен бастап геометриялық прогрессияның әрбiр мүшесi көршiлес екi мүшесiнiң геометриялық ортасына тең болады. Геометриялық прогрессияны былайша белгiлейдi: . (bп) геометриялық прогрессия берiлген болсын. Оның алғашқы п мүшесiнiң қосындысын Sп арқылы өрнектеймiз: Sп=b1+b2+b3+...+bп-1+bп (1) Бұл теңдiктiң екi бөлiгiн де q-ге көбейтемiз: Sп(q=b1(q +b2(q +b3(q +...+bп-1(q +bп(q Егер b1(q= b2,b2(q= b3,…,bп-1(q=bп екенiн ескерсек: Sп(q=b2+b3+...+bп+bп(q (2) (2) теңдiктен (1) теңдiктi мүшелеп шегерiп, ұқсас мүшелердi бiрiктiрейiк: Sп(q-Sп=(b2+b3+...+bп+bп(q)-(b1+b2+b3+...+bп-1+bп)=bn(q-b1 Ендi дейiк. Онда (3) формуласы келiп шығады. болғанда шектеусiз геометриялық прогрессияның қосындысы былайша анықталады: Прогрессияның алғашқы n мүшесiнiң қосындысының формуласын жазамыз: (4) Егер болса, онда да , сондықтан да (4) формуланың бiрiншi қосылғышы п-ге тәуелсiз. Демек, да, -қа ұмтылады. Сонымен, шексiз кемiмелi геометриялық прогрессияның қосындысы мына формуламен анықталады: жүктеу/скачать 23,11 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|