Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз



бет7/11
Дата15.11.2023
өлшемі1,05 Mb.
#122864
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Байланысты:
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР (1)

Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулерінің жалпы шешімін табыңыз.
1) y′′ + y′ − 2y = 0 Жауабы: y= C1 ex+ C2 e -2x
2) y′′ − 9y = 0 Жауабы: y= C1 e3x+ C2 e -3x
3) y′′ − 4y′ = 0 Жауабы: y= C1 e4x+ C2
4) y′′ − 2y′ − y = 0 Жауабы: y= C1 + C2
5) 3y′′ − 2y′ − 8y = 0 Жауабы: y= C1 + C2
6) y′′ + y = 0 Жауабы: y= С1 cos x +С2 sin x


Үй жұмыстары
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап.
7) y′′ + 6y′ +13y = 0 Жауабы: y=

8) 4y′′ − 8y′ + 5y = 0 Жауабы: y=


9) y′′ − 2y′ + y = 0 Жауабы: y= ex(C1 + C2 х)
10) Жауабы: x=( С1+ С2t) e2,5t
11) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y x=0 = 6, y′  x= 0 =10 Жауабы: y = 4ex + 2e3x
13) y′′ + 4y′ + 29y = 0, y x=0 = 0, y′  x= 0 =15 Жауабы: y = 3e2x sin5x
14) 4y′′ + 4y′ + y = 0, y x=0 = 2, y′  x= 0 =0 Жауабы: y= e-x/ 2 (2 +x)


3.4 Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық теңдеулер


түріндегі теңдеу II ретті коэффициенттері тұрақты біртекті сызықты теңдеу деп аталады.
коэффициенттері тұрақты дифф-қ теңдеудің шешімін табу үшін алдымен сипаттамалық (квадраттық болады) теңдеуін шешу керек. 3 жағдайға байланысты теңдеудің шешімі былайша анықталады:



Квадраттық теңдеудің түбірлері

Дара шешімі

Жалпы шешім

1) - нақты әртүрлі түбірлер





2) - нақты бірдей түбірлер





3) түбірлер комплекс сандар







Мысал 1:


Мысал 2:



3.5 Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес сызықтық теңдеулер


түріндегі теңдеу n-ретті біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Теорема. -сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес теңдеудің дербес шешімдерінің қосындысынан тұрады.
y = + y* ,
мұндағы y - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті теңдеудің жалпы шешімі (оны табуды алдыңғы тақырыпта қарастырғанбыз), y* - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дара шешімі, оны біртекті емес теңдеудің оң жағы f(x) функциясына ұқсас анықтаймыз. Ол қалай болатындығы төмендегі кестеде көрсетілген:



f(x)

Сипаттамалық
теңдеудің түбірлері

Дара шешімнің түрі

1) eax Pn(x),
мұндағы Pn(x) –
n-дəрежелі берілген көпмүшелік

a санысипаттама
теңдеудің түбірі емес
a саны – сипаттама
теңдеудің r-еселі түбірі

y* = eax P*n (x)


y = xreaxP*n (x)

2) eax [ Pn(x) cosbx+
+Qm(x) sinbx ]

abi сандар жұбысипаттама теңдеудің түбірі емес
abi сандар жұбы – сипаттама теңдеудің
r-еселі түбірі

y*=eax[P*k(x)cosbx+Q*k(x)sinbx],
мұндағы k=max(m,n)
y*=xreax[P*k(x)cosbx+Q*k(x)sinbx]
мұндағы k=max(m,n)

Мысал 1: yIV + 8y''+16y = cos x теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Шешуі: y = + y*
1) =?

2) y*=?
f(x) = cosx  abi = 01i = i ≠ k1, k2, ,k3 ,k4
y*=Acosx+Bsinx  (y*)= -Asinx+Bcosx 
(y*)= -Acosx-Bsinx  (y*)= Asinx-Bcosx  (y*)iv= Acosx+Bsinx
Осы табылған туындыларды бастапқы берілген теңдікке қоямыз:
Acosx+Bsinx+8(-Acosx-Bsinx)+16(Acosx+Bsinx)=cosx

A мен B мəндерін y*-ны анықтау өрнегіне қоямыз:
y*= cos x
Демек, y = + y*= (C1+xC3)cos2x+ (C2+xC4)sin2x + cosx
Мысал 2: теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Шешуі: f1(x) + f2(x) = x + (-sinx).
1)
2) түрінде іздейміз, мұндағы:


Сонымен,
3) f2(x) функциясын келесі түрде ізделік: .

Сонымен,


болғандықтан
Ізделінді дара шешім :
Ал біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:

Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап:
1) 2y′′ + y′ − y = 2ex Жауабы: y = С1 ex + С2 ex/2 + ex
2) y′′ + a2 y = ex Жауабы: y =С1 cosax+С2 sinax +
3) y′′ − 7y′ + 6y = sin x Жауабы: y = С1 e6 x + С2
4) y′′ − 6y′ + 9y = 2x2x + 3 Жауабы:
5) y′′ − 2y′ + 2y = 2x Жауабы: y = ex((c1 cos x+c2 sin x)+ x)1
6) y′′ + 4y′ − 5y = 1 Жауабы: y = С1 ex + С2 e -5x - 0,2
7) у" -2у ' +у= Жауабы:у=ех1+C2x-ln +x arctgx)


Үй жұмыстары
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін анықта.
8) y"−3y′ + 2y = f (x), мұнда f (x) келесі функциялар түрінде берілген:



а) 10ex
ə) 3e2x

б) 2sin x
в) 2x3 − 30
г)2ex cos
д) x e2x +1
е) ex (3 − 4x)
ж) 3x + 5sin 2x
з) 2ex e2x
и) sinxsin2x
к) shx

Жауаптары: y = C1 ex + C2 e 2 x + y* , мұнда y* тең:

а) ex
ə) 3xe2x
б)
в)
г) -8/5 +ex(cosx/2 +2sinx/2)
д)

е) ex (2x2 + x)


ж) (9+3cos2x- sin2x )
з) -2xex- e-2x
и)
к) - e-x- xex

9) 2y"+5y′ = f (x) , егер f (x) тең:

а) 5x2 − 2x −1
ə) ex
б) 29cos x
в) cos2 x
г) 0,1e2,5x − 25sin 2,5x
д) 29xsin x
е) 100x ex ⋅ cos x
ж) 3 сh x
Жауабы: y = C1 + C2 e- 5/2 x + y* , мұнда y* тең:

а)


ə) ex
б)5sin x − 2cos x
в)
г)cos2,5x+sin2,5x−0,02xe2,5x
д)
е)ex[(10x +18)sinx − (20x +1)cosx]
ж)
3.6 Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес
теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі

Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу үшін практикада Лагранж әдісі (тұрақтыны вариациялау әдісі) қолдану ыңғайлы.


Алдымен берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімін табу керек. Алдында қарастырылғандай ол мына түрде жазылады:

Содан соң, Ci коэффициенттерін х-тің функциялары деп есептеп, біртекті емес теңдеудің дербес шешімін табу керек:



Ci(x) функцияларын табу үшін келесі жүйені шешу керек:

Мысалы: теңдеуін шешу керек.
Шешуі: 1) Әуелі біртекті теңдеуді шешеміз.



2) Біртекті емес теңдеудің шешімі келесі түрде болады:

Теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

Жүйені шешейік:

өрнегінен А(х) функциясын табамыз.


Енді В(х) функциясын табайық.

Табылған мәндерді біртекті емес теңдеудің шешімінің формуласына қоямыз:

Жауабы:
Сөйтіп, біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін дара шешімін таппастан жаздық.
Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап.

1) y"'-4y"+5y'-2y=2x+3 Жауабы: y=(c1+c2x)ex+c3e2x-x-4.


2) y"'-3y'+2y=e-x(4x2+4x-10) Жауабы: y=(c1+c2x)ex+c3e-2x+(x2+x-1)e-x


3) yIV+8y"+16y=cos x Жауабы:y=(c1+c2x)cos2x+(c3+c4x)sin2x+1/9cos x


4) yIV+2α 2y "+α 4y=cos αx Жауабы: y=(c1+c2x)cosαx+(c3+c4x)sinαx-x2cos αx/ 8α2


5) yV+y"'=x2 –1 Жауабы: y=1/60x5–1/2 x3+c1 x2+c2 x+c3+c4cos x+c5sin x


6) yIV-y=xex + cos x Жауабы: y=c1ex+c2e-x+c3sinx+c4cos x+x2-3x/8*ex-1/4 xsin x




Үй жұмыстары
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап.

7) yIV-2y"+y=8(ex + e-x)+4(sinx+cosx) Жауабы: y=(c1 +c2 x+x2)ex +(c3+c4x+x2)e-x+ +sin x +cos x


8) y"'+2y"+y'+2e-2x =0; y|x=0=2, y'|x=0=1,y"|x=0=1 Жауабы: y=4-3e-x +e-2x


9) y"'-y'=3(2-x); y|x=0=y'|x=0=y"|x=0=1 Жауабы: y=ex +x3


10) Эйлер теңдеуін шеш: x3y"'+xy'-y=0 Жауабы: y=x(c1+c2ln|x| +c3ln2|x|)




Тест сұрақтары



$$$1Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу?
A) ;
B) ;
C) ;
D) ;
E) ;

$$$2Теңдеуді шешіңіз: .


A) ;
B) ;
C) ;
D) ;
E) ;

$$$3 Теңдеуді шешіңіз: .


A) ;
B) ;
C) ;
D) ;
E) ;

$$$4Диф.теңдеудің жалпы шешімі?


A) ;
B) ;
C) ;
D) ;


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет