Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз



бет5/11
Дата15.11.2023
өлшемі1,05 Mb.
#122864
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Байланысты:
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР (1)

Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулер түрлерін анықтап, оның шешуін екі əдіспен де көрсет.

1) Жауабы:


2) (2x + yexy )dx + (1+ xexy )dy = 0 Жауабы: x2 + y + exy = C
3) sin (x+y) dx+xcos(x+y)(dx+dy) =0 Жауабы: x sin (x + y)= C
4) dx +(y 3 + ln x)dy = 0 Жауабы: 4 y ln x + y 4 = C
5) 2x(1+ )dx dy = 0 Жауабы: x2 +2/3 (x2 y)3/2= C

Төмендегі теңдеулердің әуелі интегралдық көбейткішін тауып, кейіннен жалпы шешімін тап.


6) (x 2 − 3 y 2 )dx + 2 xydy = 0 Жауабы:
7) (sin x + e y )dx + cosx dy = 0 Жауабы: =ey; ey cosx=C+x
8) (xsiny+ y)dx+(x2cosy+xlnx)dy=0 Жауабы:
9) (x 2y )dx + xdy = 0 Жауабы:
10) 2xtgydx+ (x2 − sin y)dy = 0 Жауабы:


Үй жұмыстары
Берілген теңдеулер түрлерін анықтап, оның шешілуін екі əдіспен де көрсет.
11) 3х2(1+lny)dx=(2y-x3/y)dy Жауабы: x 3 + x 3 ln y y 2 = C
12) (2 x 2 y 2 + 7 )dx + 2 x 3 ydy = 0 Жауабы: x 3 y 2 + 7 x = C
13) (ey + yex +3)dx= (2−xey ex )dy Жауабы: xey + yex +3x−2y =C
14) Жауабы: x 3 y + x 2y 2 = Cxy
15) Жауабы: x + arctg = C
16) (2 x 3ху 2 )dx + ( 2 у 3 х 2 у ) dy = 0 Жауабы: х42у24
17) еуdx+(xey-2y)dy=0 Жауабы: хey2
18) yxy-1dx+xy lnxdy=0 Жауабы: хy

Төмендегі теңдеулердің әуелі интегралдық көбейткішін тауып, кейіннен жалпы шешімін тап.


19) dx +(y 3 − ln x)dy = 0 Жауабы:
20) y(1 + xy )dx xdy = 0 Жауабы: x 2 +
21) (e 2 x y 2 )dx + ydy = 0 Жауабы: =e−2х; у2=(С-2х)е
22) (1+3x2 sin y)dxxctgydy= 0 Жауабы:
23) y 2 dx + (yx − 1)dy = 0 Жауабы:
24) (x2+y)dx-xdy=0 Жауабы:
25) (x2+y2+2x)dx+2ydy=0 Жауабы: (x2+y2)ex=C
26) (xcosy-ysiny)dy+(xsiny+ycosy)dx=0 Жауабы: (xsiny+ycosy-siny)ex=C


2.7 Туындылары арқылы шешілмеген бірінші ретті
дифференциалдық теңдеулер


2.7.1 Толымсыз дифференциалдық теңдеулер: y = f(y/) және x = f(y/) түріндегі теңдеулер.
Біріншісінде - аргумент х, екіншісінде - функция у қатыспаған жағдайда бұл теңдеулер шешімдерін параметрлік түрде іздейміз, параметр ретінде белгісіз функция туындысы алынады:

Бірінші теңдеулер үшін: 
Алмастыруды қолданамыз:
Бұл түрлендірулер нәтижесінде айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер аламыз:

Жалпы шешімі параметрлік түрде теңдеулер жүйесі арқылы беріледі:

Бұл жүйеден р параметрді жоя отырып, параметрден тәуелсіз жалпы интегралды аламыз.  
x = f(y’) түріндегі дифференциалдық теңдеулер үшін дәл сондай алмастыру мен түрлендірулер қолданып, келесі нәтижені аламыз: 

2.7.2 Лагранж және Клеро теңдеулері.
Анықтама. Лагранж теңдеуі деп х пен у қатысты сызықты, коэффициенттері y’- тің функциялары болатын дифференциалдық теңдеулерді атайды:
Жалпы шешімін табу үшін келесі алмастыру қолданылады: p = y’.

Бұл теңдеуді екенін ескере отырып дифференциалдайық:



Егер бұл (х -ке қатысты сызықты) теңдеудің шешімі болса, онда Лагранж теңдеуінің жалпы шешімі келесі түрде болады:

Анықтама. Клеро теңдеуі деп: түріндегі (аргумент х пен у функциясына қатысты сызықты) дифференциалдық теңдеуді айтады
Жалпы алғанда, Клеро теңдеуі Лагранж теңдеуінің дербес жағдайы болады: алмастыруын жасаймыз, сонда теңдеу былайша түрленеді:



Бұл теңдеудің екі шешімі болуы мүмкін:
немесе
Бірінші жағдайда:  
Бұдан, Клеро теңдеуінің жалпы интегралы түзу сызықтар жиынтығы екендігі көрініп тұр.
Екінші жағдайда шешімі параметрлік түрде келесі теңдеулер жүйесі арқылы беріледі: 

р параметрін жоя отырып, екінші шешімді аламыз: F(x, y) = 0. Бұл шешімде кез келген С тұрақты болмайды және ол жалпы шешімнен алынған жоқ, ендеше ол дара шешім емес. Бұл шешім ерекше интеграл болады.
Мысал. теңдеуін шеш.
Шешуі: p = y’делік, сонда болады; Дифференциалдап және dy-ті рdx-пен алмастырсақ, онда: немесе
Бұл сызықтық теңдеуді шешейік, сонда:
Ендеше, жалпы интеграл келесі жүйе түрінде болады:
Ерекше интегралды табу үшін келесі жүйені құрастырамыз:
Бұдан, .
Сондықтан .
у-ті берілген теңдеуге қоя отырып, табылған функцияның оның шешімі болмайтындығына көз жеткізуге болады, сол себепті берілген теңдеудің ерекше интегралы жоқ.


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет