Сызықтық дифференциалдық теңдеулердiң нышандық шешiмi. Mathcadқа сызықтық аналитикалық шешiмдерді алу үшiн келесi әрекеттерді орындау керек:
Егер сіз Mathcad 5.0 пакетімен жұмыс істесеңіз, нышандық процессордың жүктелулерi үшiн бастапқы Symbolic Load Symbolic Processor командаларын орындауды ұмытпаңыз,ал егер сіз Mathcad 6.0. пакетімен жұмыс істеу білсеңіз, бұл пункті тастап кетіңіз;дифференциалдау операторы мен пернелер комбинациясын қолдана отырып,бастапқы теңдеуді басып шығару [Ctrl ]= ;
Тәуелсiз айнымалыны белгілеп, Лапластың тура өрнектеуiн орындау Symbolic Transforms Laplaсе Transform (Лапластың өрнектеуі). Жай дифференциалдық теңдеулердің нәтижесі алмасу буферiнде орналастырылады. Оны F4 пернесiн басып шақырыңыз;
Лапластың өрнектеулерi нәтижелері бойынша алгебралық теңдеудi қолдан құрау, L = laplace(y(t), t, s), C1 = y(0)и C2 = diff(y(0), 0) белгісін қабылдап;
Symbolic Solve for Variable (Айнымалы туралы шешу) командасын қолдана отырып, L айнымалысына қатысты жасалған алгебралық теңдеу шешуге болады.
Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі.Дифференциалдық теңдеудің ұғымдары.Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалы х пен ізделінетін функциясын және оның туындыларын байланыстыратын теңдеуді айтады. Егер теңдеудегі тәуелсіз айнымалы біреу болса, онда теңдеуді жай дифференциалдық теңдеу немесе дифференциалдық теңдеу деп атайды. Егер де тәуелсіз айнымалы саны екеу немесе одан көп болса, онда теңдеуді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды.Осы әдістемелік нұсқауда жай дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.Дифференциалдық теңдеудің реті деп теңдеудегі туындының ең жоғарғы ретін айтады. Жалпы жағдайда n-ретті дифференциалдық теңдеу төмендегідей жазылады:
(1.1)
Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп қайсыбір (а,b) интервалында анықталған, реті дифференциалдық теңдеулердің ретіндей болатын туындылары үзіліссіз және х бойынша теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын функциясын айтады.
Мысалы, егер, функциясы (1.1) теңдеудің шешімі болса, онда
Егер (1) теңдеу туындының жоғарғы ретіне қарай шешілсе:
(1.2)
онда дифференциалдық теңдеу нормалды түрде берілген деп айтады.
Егер (1.2) теңдеудің оң жағындағы өрнек белгісіз функция мен оның туындыларына қарай сызықтық және олардың көбейтінділерін қамтымаса, онда мұндай теңдеулерді сызықтық дифференциалдық теңдеулер деп атайды.Дифференциалдық теңдеу шешімінің графигін теңдеудің интегралдық қисығы деп атайды.Берілген дифференциалдық теңдеудің шешімін табу процесін теңдеуді интегралдау деп атайды.n-ретті дифференциалдық (1.1) теңдеудің жалпы шешімі деп тәуелсіз айнымалы х тен және кез келген п тұрақты саннан тәуелді (1.3)
функциясын айтады. (1.3) жалпы шешім қайсыбір жағдайларда айқындалмаған
(1.3)
түрде алынады, бұл шешімді жалпы интеграл деп атайды.
Дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп жалпы шешімнен тұрақтылардың белгілі бір мәндерінде алынған шешімді айтады. (1.2) дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін табу үшін бастапқы шарттар беріледі:
