31
Ал
0
;
x
x
t
h
деп ала отырып
1
0
( )
(
)
(
1)...(
),(
)
(
)
n
n
m
x
x
ht
h
t t
t
n
x
x
h t
m
( )
( 1)
!(
)
n m
n
i
x
h m n
m
Бұдан
0
0
0
( 1)
(
)
(
1)...(
)
( )
!(
)!
d
n
m
n
n
n
m
c
f x
mh
t t
t
n
I
L x dx
h
dt
k n
k
t
m
болады. Ақырында
0
(
)
( )
(
)
d
n
n
n
k
m
c
d
c
I
f x dx
B f c
mh
n
мұндағы
0
( 1)
(
1)...(
)
!(
)!
n
n m
n
m
t t
t
n dt
B
m n
m
t
m
( )
f x
функциясы тәуелсіз
n
m
B
коэффициентіне қарағанда, әрбір
n
шамасын
есептей келе, кесте бетіне салуға болады.
Ньютон-Котес формуласының қатесін бағалайық.
( )
f x
функциясын біз
былайша жаза аламыз:
( )
( )
n
n
f x
L x
r x
( )
( )
( )
d
d
d
n
n
c
c
c
f x dx
L x dx
r x dx
Осыдан
(
1)
(
1)
2
0
( )
( )
( )
( )
(
1)(
2)...(
)
(
1)!
(
1)!
d
d
n
n
n
n
n
n
c
c
f
f
R
r x dx
x dx
h
t t
t
t
n dt
n
n
Назар аудара отырсақ, былай бағалап жібереміз:
2
1
0
(
1)(
2)...(
)
(
1)!
n
n
n
M
h
R
t t
t
t
n dt
n
32
мұнда
1
1
[ , ]
max |
( ) |
n
n
x c d
M
f
x
n
дәрежесі
( )
n
L x
функциясы бойынша дәл.
0
( )
(
)
d
n
n
m
m
c
d
c
f x dx
B c
mh
n
мұндағы
0
R
.
Енді бізге
n
мәнінің өсу реті бойынша шығарған Ньютон-Котес
формуласының нақтылығы арқылы қалай өзгереді екенін келесі жолдарды
қарастыра отырып, осыны аңғарайық:
( )
f x
функциясы қандай да бір қателікке ие болсын деп айталық,
(
)
(
)
m
m
m
f x
f x
Онда
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
( (
)
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
m
k
m
m
m
m
m
m
m
m
d
c
d
c
d
c
I
B f x
B
f x
B f x
n
n
n
0
(
)
n
n
m
m
n
n
m
d
c
B
I
I
n
Демек,
n
n
m
d
c
I
B
n
n
( ) 1
f x
функциясында дәлдігін көрсетіп тұрғандықтан,
0
n
n
m
m
B
n
Осылайынша,
0
n
m
B
жағдайында,
0
0
|
|
|
| max(
)(
)
n
n
n
m
m
m
m n
m
d
c
I
B
d
c
n
Бұдан
n
-ге қандай мән қойсақ та, квадратуралық формуланың қатесі
( )
f x
функциясына қарағанда шамалы қате жіберілгенін көре аламыз.
33
Егер
n
m
B
түрлі таңбалар қабылдаса, онда
0
n
n
m
m
B
n
бойынша біркелкі
шектелмей,
n
өсе отыра
n
I
шексіз өседі екен. Сол интегралды есептегенмен,
қателік жіберудің үлкен қаупі бар, сондықтан көбінесе бұл формуланы қолдану
тиімсіз.
Сонымен, Ньютон-Котес формуласы нүктелерде интегралды функцияның
мәндері берілсе және бір-бірімен бірдей қашықтықта орналасқан болса ғана
тиімді екеніне көз жеткізуге болады. Ал егерде нүктелердің нүкте
позицияларының орындарын ауыстырсақ, одан басқа әдістерді қолданған жөн.
Мысалы, Гаусс әдісін. Соны қарастырып көрелік.
Негізінде
n
-нің кез келген дәрежесінде Ньютон-Котес формуласын
құрастыруға болады. Алайда үлкен мәнді
n
кезінде Ньютон-Котес Рунге
феноменісінен азап шегуі мүмкін, қателік
n
-нің экспоненциальды үлкен
мәнінде. Дегенмен, интерполяцияны кіші квадрат әдісімен [29] алмастырып
Ньютон-Котес формуласын құрастыруға болады. Осындай тұрақты формулалар
үлкен дәрежелі есептерді есептеуге мүмкіндік береді.
Ньютон-Котес өте дәл мән беру үшін,
h
биіктігі төмен болуы тиіс [30].
Демек,
,
c d
интервалдың да мәні аз болуы керек, бірақ өкінішке орай, көп
жағдайда олай бола қалмайды. Бұндай себептермен сандық интегралдау
,
c d
интервалын бөліктерге бөліктеп, әрқайсысына Ньютон-Котес формулаларын
қолданып, шыққан мәндерді қосу арқылы жүзеге асады.
2.4 Гаусстың квадратуралық формулалары.
Интеграл алдын ала стандартты формаға келтірілген деп есептелік.
Интегралданатын облыстың интервалы
[ 1;1]
. Енді келесі интегралды
анықталық
1
1
( )
I
f x dx
Біз оған дейін квадратуралық формулаларды берілген түйіндермен
қарастырып, орта тіктөртбұрыштар мен трапециялардың формулалары бірінші
дәрежелік, ал Симпсон формуласы үшінші дәрежелік көпмүшеліктер үшін дәл
екеніне көз жеткіздік. Айталық,
n
түйін нүктелері квадратуралық
формулаларға ие.
1
( )
n
n
i
i
i
I
q
f x
34
Егерде белгісіз айнымалыны тек қана
i
q
салмақты коэффициенттерді ғана емес,
i
x
түйіндерін де есептесек, онда жоғарыдағы квадраталық формула
m
жоғарғы
дәрежелік полиномдары үшін дәл болатындай етуге болады. Осындай
формуланы Гаусстың квадратуралық формуласы деп атаймыз. Дей отыра,
2
1
m
n
болып шығады.
Формула
2
2
1
( ) 1, ,
,...,
n
f x
x x
x
, т.б. үшін дәл болу қажет.
1
1
1
1
1
1
1 ( 1)
1
1
l
l
n
l
l
n
i
i
i
x
I
q x
x dx
l
l
Мұнда болады:
0,1,2,...,2
1
l
n
. Нәтижесінде барлық
i
x
түйіндері мен
i
q
коэффициенттері үшін
2
n
сызықты емес теңдеулер жүйесін аламыз:
1
2
1 1
2 2
2
2
2
1 1
2 2
2
1
2
1
2
1
2
1
1 1
2 2
...
2
...
0
2
...
3
...
1 ( 1)
...
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
q
q
q
q x
q x
q x
q x
q x
q x
q x
q x
q x
n
Қарапайым жағдайды алайық.
1
n
деп алғанда, біз алған Гаусс формуласы
орта тіктөртбұрыштармен сәйкес екенін байқауға болады:
2
(0)
n
I
f
, және ол
кез келген сызықты функциясына келе береді:
0
1
( )
f x
c
c x
. Жалпы жағдайда,
Гаусстның КФ түйіндерімен еркін түрдегі
n
Лежандра полиномының
( )
n
P x
негізі деп көрсетуге болады. Ал салмақтық коэффициенттер келесі формуламен
есептеледі
1
1,
1
( )
,
1, 2,3,...,
i
n
j
q
Q
x dx j
n
мұндағы, интеграл ішіндегі функция
1
2
3
1
1
1,
1
2
3
1
1
(
)(
)(
)...(
)(
)...(
)
( )
(
)(
)(
)...(
)(
)...(
)
j
j
n
n
j
j
j
j
j
j
j
j
j
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Q
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1,
( )
n
j
Q
x
функциясы
(
1)
n
дәрежесінің полиномы. Алымында
(
1)
n
көбейтіндісі тұр, көбейткіші (
),
1, 2,3,..., ,
i
x
x
i
n i
j
, ал бөлімінде -
j
x
x
35
түйіндісінің алымындағы мәні. Солайынша,
1,
( )
n
j
Q
x
полиномы
i
x
түйінінде
келесі мәндерді қабылдайды:
1.
0,
( )
1,
n
j
i
i
j
Q
x
i
j
Лежандра полиномы. Олар келесі формуламен анықталады:
2
1
( )
(
1) ,
0,1,2,3,...
2
!
n
n
n
n
n
d
P x
x
n
n dx
Формулаға сәйкес
0
1
( ) 1, ( )
P x
P x
x
. Келесі
n
мәндері үшін рекурренттық
қатынасты қолдануға болады
1
2
( )
(2
1)
( )
(
1)
( )
n
n
n
nP x
n
x P
x
n
P
x
Сол формуланы қолдана отырып, Лежандра көпмүшелігін көшірейік және
2,3,4,5
n
деп алайық.
2
3
2
3
4
2
5
3
4
5
1
1
( )
(3
1) ( )
(5
3 )
2
2
1
1
( )
(35
30
3) ( )
(63
70
15 )
8
8
P x
x
P x
x
x
P x
x
x
P x
x
x
x
Жұп нөмірленген Лежандра полиномдарын жұп функция деп атайды, ал тақ
нөмірленген көпмүшеліктерді, сәйкесінше, тақ функция.
( )
n
P x
Лежандра
полиномдары
1
x
нүктелерінде
келесі
мәндерді
қабылдайды:
(1) 1, ( 1)
( 1)
n
n
n
P
P
.
( 1,1)
интервалында
( )
n
P x
көпмүшелігі
n
жай
нөлдерге ие. Жұп немесе тақтың күштілігіне байланысты
( )
n
P x
Лежандра
полиномының нөлдері
0
x
нүктесіне қарай симметриялы орналасады.
j
q
салмақты коэффициенттерін Гаусстың квадратуралық формуласына
қарай оң екенін көрсетуге болады. Одан басқа,
0
x
симметриялы нүктесі
Лежандра полиномының
(
1)
j
n
j
x
x
түбірлеріндегі салмақты коэффициенттері
[31], соның түйіндеріне сәйкесіп, кез келген
(
1)
:
j
n
j
n q
q
үшін сәйкес келеді.
i
x
түбірлерге мәндерін келтіріп,
i
q
салмақтарына тиісінше, Гаусстың
квадратуралық формулалары үшін қайттан
1,2,3,4,5
n
деп аламыз.
1
1
1:
0,
2
n
x
q
36
1
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
4
2
3
1
4
2 :
1 / 3,
1
3 :
3 / 5,
0,
5 / 9,
8 / 9
4 :
(15
2 30) / 35,
(15 2 30) / 35
(18
30) / 36,
n
x
x
q
q
n
x
x
x
q
q
q
n
x
x
x
x
q
q
2
3
1
5
2
4
1
5
2
4
3
3
(18
30) / 36
5 :
(35
2 70) / 63,
(35 2 70) / 63
(322 13 70) / 900,
(322 13 70) / 900
128
0,
225
q
q
n
x
x
x
x
q
q
q
q
x
q
2.5 Чебышевтың квадратуралық формуласы.
Осыны қарастырайық
1
1
1
( )
( )
n
i
i
i
f t dt
B f t
Мұнда,
i
B
- тұрақты коэффициенттер.
Чебышев
i
t
абсциссаларын таңдауда осы екі шартты ұсынды:
1)
i
B
коэффициенттер бір бірімен тең болу керек;
2) жоғарыдағы квадратуралық формула барлық
n
дәрежелі полином үшін дәл
болуы қажет [32].
i
B
коэффициенттерін және
i
t
түйіндерін тауып,
1
2
3
...
n
B
B
B
B
B
деп
аламыз.
( ) 1
f t
функциясын алып, осыған ие боламыз
1
2
n
i
i
B
бұдан
1
2
B
n
.
Тиісінше, Чебышевтың квадратуралық формуласы келесі түрге ие
1
1
1
1
( )
2
( )
n
i
i
f t dt
f t
n
i
x
анықтағанда, екінші шартқа сәйкес, формула осы функция бойынша дәл
болу керек
37
2
3
( )
, , ,...,
n
f x
t t
t
t
Осы функцияны формулаға қойып, теңдеулер жүйесін аламыз
1
2
3
2
2
2
2
1
2
3
3
3
3
3
1
2
3
4
4
4
4
1
2
3
1
1
2
...
0
1
...
3
...
0
1
...
5
................................
(1 ( 1)
)
...
2 (
1)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
t
t
t
t
t
t
t
n
t
t
t
t
t
t
t
t
n
n
t
t
t
n
осыдан (
1, 2,3, 4,..., )
i
x i
n
белгісіздерді анықтауға мүмкін болады. Жүйені шешу
жолы
n
дәрежелі алгебралық теңдеудің түберлерін табуға негізделеді.
Чебышев квадратуралық формуласын интегралға қолдану үшін алмастыру
арқылы түрлендіру керек
1
1
(
)
(
)
2
2
x
a
b
b
a t
a
x
b
кесіндісін
1
1
t
. Чебышевтың формуласына түрлендірген
интегралды қойып, осыған ие боламыз
1
( )
( )
b
n
i
i
a
b
a
f x dx
f x
n
мұндағы
;
2
2
i
i
i
b
a
b
a
x
t t
- жүйенің түбірі.
2.6 Рунге ережесі арқылы қателікті практика жүзінде бағалау.
Достарыңызбен бөлісу: |