Дипломная работа по теме: «Обучение решению элементарных задач на построение с использованием учебно-методического комплекса «Живая геометрия»
жүктеу/скачать 1,73 Mb.
|
Глава 1 Научно-методические основы организации обучения решению задач на построение Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь в том случае, если бы мог передать ученику гибкость ума, которая дала бы ему в дальнейшем возможность самостоятельно решать задачи. У.У. Сойер ... добиться того, чтобы ученик самостоятельно нашел решение задачи нового, хотя бы и очень простого типа. А.Я. Хинчин §1 Общие сведения о задачах. Геометрические задачи В современной методической литературе [10] принята классификация геометрических задач. По характеру требования: задачи на доказательство; задачи на построение; задачи на вычисление. По своему функциональному назначению задачи как средство обучения могут быть направлены или на формирование знаний, умений и навыков учащихся (обучающие задачи), или на осуществление контроля со стороны учителя или учащихся уровня сформированности знаний, умений и навыков (контролирующие задачи). [А.А. Темербекова] Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием элементов теоретических знаний и связанных с ними умений. В процессе обучения геометрии задачи выполняют разнообразные функции. Геометрические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса геометрии, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях геометрии. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением геометрии. Правильная методика обучения решению геометрических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся. При обучении геометрии задачи имеют образовательное, практическое, воспитательное значение. Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектико-материалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал. При обучении теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими. В процессе изучения теоремы задачи выполняют следующие функции: способствуют мотивации ее введения; выявляют закономерности, отраженные в теореме; помогают усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами. Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности. В учебнике Темербековой выделены такие основные компоненты задачи: Условие — начальное состояние; Базис решения — теоретическое обоснование решения; Решение — преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого; Заключение — конечное состояние. Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3). Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) — математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей. [10] На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д. Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны. Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три — проблемной. При обучении решению задач необходимо научить учащихся разбираться в условии задач, в том, как они устроены, из каких составных частей они состоят, как и с чего начинается их решение. Если прочитать условие любой задачи то можно выделить некий вопрос, другими словами требование, на который необходимо получить ответ, опираясь на условие. Если же внимательно изучить формулировку задачи то можно увидеть в ней определенные утверждения (то, что дано), они ещё называются условиями, и определенные требования (то, что нужно найти). Далее рассмотрим составные части задачи и рекомендации к учащимся при их решении. 1) Вопросы и советы для усвоения содержания задачи (1-й этап-анализ условия). Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т. е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения. Первый совет учителя: не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает, что задачу надо решать как можно медленней. Он означает, что решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем: а) сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче; б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. При этом нужно следовать такому совету: выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство -посылки и заключения. в) Если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые (это тоже совет, которому должен следовать ученик). г) В том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения. 2) Составление плана решения задачи (2-й этап – поиск пути решения). Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ему лучше и быстрее составить план решения задачи, фактически определить метод её решения: а) Известна ли решающему какая-либо подобная задача? Аналогичная задача? Если такая задача известна, то составление плана решения задачи не будет затруднительным. Другими словами можно ли применить метод сведения к ранее решенным. Но такая задача известна далеко не всегда. В этом случае может помочь в составлении плана решения совет. б) Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Может оказаться, что родственная задача неизвестна решающему и он не может свести данную задачу к какой-либо известной. План же сразу составить не удается. 3) Реализация плана решения задачи (3-й этап – непосредственно решение). План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам: а) Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения. б) При реализации плана поможет и совет: "Замените термины и символы их определениями". Так, термин "параллелограмм" заменяется его определением: "Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны". 4) Анализ и проверка правильности решения задачи (4-й этап – проверка и исследование задачи). Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант. По В. М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) безошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер. Поэтому анализ решения задачи, проверка решения и достоверности результата должны быть этапом решения задачи. Итак, два совета: "Проверьте результат", "Проверьте ход решения". Проверка результата может производиться различными способами. Проверяя правильность хода решения, мы тем самым убеждаемся и в правильности результата. Второй способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно всегда задавать решающему вопрос: "Нельзя ли тот же результат получить иначе?" Иными словами, стоит последовать совету: "Решите задачу другим способом". Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, что и в первом случае, задачу можно считать решенной правильно. Далее можно рассмотреть какой из использованных методов удобнее в данном случае. К тому же получение различных вариантов решения одной и той же задачи имеет важное обучающее значение. §2 Понятие задачи на построение В методической литературе [9, 10, 13] задача на построение ставится как требование из заданных элементов в соответствии с какими-то условиями, с помощью определенных инструментов построить названную геометрическую фигуру или их совокупность, удовлетворяющих указанным свойствам. Таким образом, в любой задаче на построение следует различать: Заданные элементы и их характеристики (условия задачи); Инструменты, с помощью которых можно выполнить требуемое построение; Искомую фигуру (или их совокупность) с указанными свойствами. Выделим некоторые особенности геометрических задач на построение: 1. Заданные элементы в задачах на построение могут быть заданы в явном виде, а могут лишь названы с указанием их характеристик. В первом случае решение заканчивается построением искомой фигуры; во втором же случае необходимо еще установить условия, при которых это построение возможно. Поэтому обязательным этапом решения задачи на построение является этап анализа (или, как принято его называть, этап исследования) выполненного решения – построения искомой фигуры. 2. во всякой задаче на построение требование состоит не просто в построении какой-то геометрической фигуры, а в построении геометрической фигуры, обладающей указанными в задаче свойствами. Поэтому естественно, что, после того как произведено построение искомой фигуры, нужно убедится, что она действительно обладает всеми указанными свойствами. Перечислим основные построения, которые можно выполнить с помощью классических инструментов [Л.М.Фридман] С помощь одной односторонней линейки можно выполнить следующие основные построения: Л.1. Построить отрезок, соединяющий две данные (или построенные) точки. Л.2. Построить прямую, проходящую через две данные (или построенные) точки. Л.3. Построить луч, исходящий из данной точки и проходящий через другую данную точку. С помощь одной циркуля можно выполнить следующие основные построения: Ц.1. Построить окружность, если даны ее центр и отрезок, равный радиусу окружности. Ц.2. Построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если даны центр окружности и концы дуги. Кроме основных построений, считаются возможными следующие основные построения: П.1. Построить (найти)точку пересечения двух данных прямых. П.2. Построить (найти) точки пересечения данной прямой с данной окружностью. П.3. Построить (найти) точки пересечения двух данных окружностей. П.4. Взять на прямой, или на окружности, или в не их произвольную точку. П.5. Выбрать на плоскости произвольную точку. Если нужно решить какую-либо задачу на построение с помощью классических инструментов (циркуля и линейки), то достаточно свести решение этой задачи к последовательности указанных выше основных построений (Л.1.-Л.3, Ц.1.-Ц.2. и П.1.-П.3.). Кроме основных построений, рассматривают еще так называемые элементарные геометрические построения, к которым обычно сводят более сложные построения, к которым обычно сводятся более сложные построения, т.е. считается, что эти элементарные построения всегда можно выполнить, и объяснять, как они фактически производятся, не принято. К элементарным построениям обычно относятся следующие: Э.1. Построить на данной прямой от данной точки в данном направлении отрезок, равный данному. Э.2. Построить угол равный данному. Э.3. Разделить данный отрезок на два равных отрезка. Э.4. Разделить данный угол на равных угла )провести биссектрису угла). Э.5. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой. Э.6. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. Э.7. Построить треугольник по трем данным сторонам. Э.8. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Э.9. построить треугольник по стороне и двум углам, прилежащим к ней. Э.10. Построить прямую, касательную к данной окружности и проходящую через данную точку вне данной окружности. Э.11. Построить прямоугольный треугольник по двум катетам, или по катету и гипотенузе При решении каждой сколько-нибудь сложной задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи, чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т.п. Поэтому при решении задач пользуются схемой решения, состоящей из следующих четырех этапов: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование. Конечно, эта схема не является безусловно необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные ее этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьезно помогает при решении задач на построение. Рассмотрим каждый этап решения. Анализ. Это подготовительный и в тоже время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые фигуры, примерно, в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять «от руки».иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена». На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Если вспомогательные чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то следует попытаться обнаружить какую-либо часть искомой фигуры, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. Трудность этого этапа заключается в том, что, несмотря на общие рекомендации, не представляется возможным дать правило для составления плана решения любой задачи. Умения находить способ решения задачи зависит от ряда факторов, в том числе от того, на сколько велики у учащихся опыт и тренировка в решении задач (при условии знаний соответствующего материала по геометрии). При обучении решению задач на построение довольно часто используется эвристическая форма работы, сущность которой заключается в том, что учитель, предлагая учащимся заранее продуманные вопросы, подводит их к составлению плана решения задачи. Периодически учителю самому следует в классе решать задачу у доски, «думая вслух», показывая этим учащимся, каков может быть ход мысли у решающего задачу, какие у него возникают предложения, суждения, как он отбирает из возникших предположений наиболее удачные, как проводится оценка этих предположений. Для лучшего осмысливания плана решения полезно предварительное решение задачи не на одном, а последовательно на нескольких чертежах. В этом случае легче проверить, можно ли решить задачу выбранным способом и учтены ли все данные условия. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы зафиксировать последовательность основных построений (или ранее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена. Построение сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. Учащиеся должны использовать аксиомы, теоремы, следствия и свойства фигур, как это делается при решении задач на доказательство. Исследование. Здесь следует выяснить, при любых ли данных задача имеет решение, сколько решений имеет задача, нет ли каких-либо частных случаев, требующих отдельного рассмотрения. Исследуя задачу, надо в последовательном порядке перебрать еще раз те операции из которых складывается построение, и для каждой из этих операций определить всегда ли она возможна, и какое число точек, отрезков и т.д. эта операция может давать. Исследование вводится постепенно. Сначала решаются задачи, имеющие одно решение, и лишь в конце обучения школьники проводят (по указанию учителя) полное исследование. Как, правило, решение задачи и заканчивается исследованием. Однако в некоторых случаях полезно еще раз вернутся к решенной задачи, чтобы осмыслить ее решение в целом. При этом полезно выяснить с учащимися ряд вопросов. Например, нельзя ли упростить решение задачи? Если кто-нибудь предложит другой вариант решения, его следует рассмотреть, даже если его решение несколько сложнее первого. В этом случае можно показать преимущество первого варианта. Для целесообразного использования времени следует ограничиваться рассмотрением наиболее интересных этапов (анализ, построение, доказательство, исследование) конкретной задачи и лишь иногда рассматривать решение в целом. По программе в 7 классе после изучения окружности рассматриваются построения циркулем и линейкой. Начать изучение этой темы следует с рассмотрения следующих вопросов: а) структура задачи на построение; б) возможности циркуля и линейки; в) четырехэтапная схема решения задачи на построение; г) требования к решению задачи на построение в 7 классе. При знакомстве с понятием «задача на построение» надо показать отличие задач на построение от других видов задач. Поэтому нужно объяснить учащимся, что задача на построение имеет особую структуру (по-особому устроена): в ней даны геометрические фигуры и условия, связывающие их между собой; а требования такой задачи можно разделить на две части: построить новую фигуру, связанную с данными фигурами некоторыми условиями; определенным набором инструментов. О втором требовании учитель должен сообщить учащимся, даже если его нет в учебнике. Учителю следует подчеркнуть, что новую фигуру, которую требуется построить, называют по-другому «искомой», что в некоторых задачах инструменты указываются, а в задачах, где инструменты не указаны подразумеваются циркуль и линейка именно ими будут выполнятся теперь все построения. Разговор о структуре задачи на построение необходим и для обучения учащихся краткой записи, которую удобно делать в следующем виде: Дано:... (указываются данные фигуры и условия, связывающие их между собой). Построить:... (указывается вид искомой фигуры) так, чтобы: (перечисляются условия, связывающие искомую фигуру с данной). На последующих уроках в процессе решения задач следует объяснить в том числе то, что раньше считалось само собой разумеющимся, а именно: всегда можно построить точки принадлежащие и не принадлежащие построенной фигуре, а также найти общие точки построенных фигур или выбрать одну из них. Именно отсюда следуют возможности построения произвольной точки, прямой, общей точки двух прямых, прямой и окружности, двух окружностей. Следует обсудить с учащимися также вопрос о том, в каком случае задача будет считаться решенной. Задача считается решенной, если описан ход построений и доказано, что построенная фигура является искомой, т.е. удовлетворяет всем требуемым условиям. Нужно обучить учащихся, что любую задачу необходимо решать по четырехэтапной схеме, но в начале изучения задач этого типа письменно оформлять только один этап: построение, а остальные проводить устно. Первыми задачами на построение в 7 классе являются, так называемые, основные задачи («Элементарные задачи») - простейшие задачи на построение, которые особенно часто входят в качестве составных частей в решение более сложных. В 7 классе изучаются не все, а наиболее простые элементарные задачи, которые впоследствии потребуются для выполнения изображений изучаемых далее четырехугольников. Именно на этих задачах учащиеся обучаются применению схемы решения и оформлению задачи на построение. Учитель должен подчеркнуть важность этих задач, так как они, являясь составными частями более сложных задач, будут использоваться в дальнейшем в качестве шагов построений. В связи с этим перед учащимися ставится следующие цели: Научиться быстро выполнять построения каждой из элементарной задачи инструментами; Уметь описать ход построения и обосновать, что полученная фигура -искомая. Это необходимо для понимания построений, без которого они быстро забудутся; Научиться видеть элементарные задачи в более сложных задачах и уметь применять алгоритм построений в новой ситуации. В действующих учебниках рассматриваются такие элементарные задачи: построение отрезка и угла, равных данным, деление их пополам, построение перпендикуляра к прямой, построение треугольника по трем его элементам. При обучении решению этих элементарных задач на учителя возлагается огромная ответственность, если учащиеся не усвоят эти построения, то в дальнейшем при решении более сложных задач у них будут возникать трудности. И для большего понимания учащимися этого материала учителю необходимо продемонстрировать каждый «шаг» построения. Для этого используется методический прием, называемый «кадровкой». Он заключается в том, что каждое новое построение (вспомогательные построения) появляются на новом чертеже. Причем это последнее построение удобнее выделять новым цветом. Рассмотрим, как это можно сделать. §3 Анализ школьных учебников Рассмотрим два учебника, чаще всего используемые в общеобразовательных школах Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9».- М.: Просвещение. 2001-2005. Погорелов А.В. «Геометрия 7-9».- М.: Просвещение. 2001-2005.. В настоящем параграфе приведен анализ данных учебников «Геометрия 7-9» на наличие тем, содержащих задачи на построение, и отмечены особенности каждого из них. А.В. Погорелов «Геометрии 7—11 классы» В учебнике Погорелова А.В. тема о геометрических построениях рассматривается в конце седьмого класса в § 5 «Геометрические построения». На эту тему по программе отводится 6 часов. В данном параграфе рассматриваются построения методом ГМТ. Начинается тема с введения понятий: окружность (определение которой подводит учащихся к сложному определению ГМТ), ее элементов (диаметр, хорда), так же понятий окружность описанная около треугольника и вписанная в треугольник. Задачи на построение начинаются с введения основных положений, т.е. в чем состоит решение задачи на построение, в каком случае задача считается решенной, какие построения можно сделать с помощью циркуля и линейки. далее идет рассмотрение простейших задач (пункты 25 – 30): 1) построение треугольника с данными сторонами; 2) угла, равного данному; 3) биссектрисы угла; 4) перпендикуляра к данной прямой; 5) деление отрезка пополам. Эти пять основных и достаточно большое количество дополнительных задач на построение направлены на развитие у учащихся навыков конструктивного подхода к решению геометрических задач. В последнем пункте разбирается вопрос об углах вписанных в окружность. В учебном пособии А. В. Погорелова также имеются задачи на построение треугольников, стороны которых заданы линейными размерами, а углы - градусной мерой (например: «Постройте треугольник АВС по двум сторонам и углу между ними: АВ=5 см. АС=6 см, = и дан треугольник. Постройте одну из его медиан или постройте с помощью циркуля и линейки углы 60 и 30°».Наличие таких задач полностью соответствует целям, которые ставятся в учебном пособии, - нахождению последовательности действий, приводящих к решению задачи. В этом смысле не столь существенно, строится ли угол, равный данному, с помощью транспортира или циркуля и линейки. После этого вводится понятие ГМТ (пункт 31). В учебном пособии рассматриваются два утверждения: окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки; геометрические места точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр). К ним добавляется еще одно утверждение, выражающее свойство биссектрисы угла: точки, лежащие на биссектрисе угла, равноудалены от прямых, содержащих стороны угла. Это свойство фактически доказывается в теореме о центре окружности, вписанной в треугольник. Суть метода ГМТ рассматривается на одной из задач. Начиная с восьмого класса, задачи на построение отдельно не рассматриваются, а входят в состав изучаемых тем, что позволяет учителю самостоятельно распределять часы внутри темы, в зависимости от поставленной задачи и от уровня подготовленности учащихся класса. При изучении темы «Четырехугольники» в список задач входят задачи, требующие построить параллелограмм, ромб и трапецию. В теме «движение» рассматриваются задачи на построение, решаемые метолом симметрии и вращения. Также автор учебника знакомит учащихся с задачами на построение, которые решаются алгебраическим методом. Однако как таковой «алгебраический метод» не рассматривают. Автор предлагает учащимся выполнить построение отрезков, длина которых, задается следующими формулами: (построение гипотенузы прямоугольного треугольника); (построение катета прямоугольного треугольника); x = ab/c. В девятом классе рассматривается тема «Подобие фигур» и при ее изучении учебник содержит блок задач на построение, решаемых методом подобия, а также методом гомотетии. Особенности данного учебника: - Приведено большое количество задач на метод ГМТ - Задачи на построение методом геометрических преобразований не выделяется в отдельный класс. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. «Геометрия 7—9 классы» Задачи на построение присутствуют при изучении материала на каждом году обучения. Геометрические задачи на построение в 7 классе рассматриваются дважды. Впервые знакомство происходит во второй четверти при изучении главы 2 «Треугольники», §4 «Задачи на построение». Назначение параграфа состоит в том, чтобы дать представление о новом классе задач: построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений – и рассмотреть основные (простейшие) задачи этого типа. Задачам на построение предшествует рассмотрение окружности и ее элементов (п.21). Изучение п.22 «Построение циркулем и линейкой» и п.23 «Примеры задач на построение» начинаются с напоминания об известных учащимся способах построения геометрических фигур с помощью различных инструментов. При этом отмечается, что при построении отрезка заданной длины использовались линейка с миллиметровыми делениями, а при построении угла заданной градусной меры – транспортир. Но, оказывается, многие построения в геометрии могут быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без делений. В данном параграфе рассматриваются такие простейшие задачи как: На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному; Отложить от данного луча угол, равный данному; Построить биссектрису данного неразвернутого угла; Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка; Построить середину данного отрезка; Даны прямая и точка, не лежащая на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. В результате изучения параграфа учащиеся должны: знать определение окружности; уметь выполнять с помощью циркуля и линейки простейшие построения: отрезка, равного данному; угла, равного данному; биссектрисы данного угла; прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой; середины данного отрезка; применять простейшие построения при решении задач. Далее задачи на построение рассматриваются в конце учебного года в главе 4 « Соотношения между сторонами и углами треугольника», § 4 « Построение треугольника по трем элементам». Назначение параграфа – ввести понятия расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми, показать как они применяются при решении задач, рассмотреть задачи на построение треугольника по трем элементам. Автор рассматривает три основные задачи на построение треугольника с помощью циркуля и линейки: а) по двум сторонам и углу между ними; б) по стороне и двум прилежащим к ней углам; в) по трем сторонам (п. 38). В восьмом классе данная тема отдельно не выделяется, а задачи на построение рассматриваются: При изучении главы 5 «Четырехугольники» §2 « Параллелограмм и трапеция». Назначение параграфа – ввести понятие параллелограмма и трапеции. Рассмотреть свойства и признаки параллелограмма и закрепить полученные знания в процессе решения задач. В §2 значительное место отводиться задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Задачи на построение выделены отдельно. На странице 102 учебника приведена традиционная схема таких задач и в качестве примера по этой схеме решена задача 393 (в): «Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и одной из диагоналей». При изучении главы 7 «Подобные треугольники», §3 «Применение подобия к доказательству теорем и решению задач». Задачи на построения изучаются как практические приложения подобия треугольников (метод геометрических преобразований). В рассматриваемом учебнике отсутствует тема «Гомотетия» поэтому задачи на построение, решаемые методом гомотетии не изучаются. В девятом классе тема задач на построение рассматривается дважды. Первый раз в теме «Правильные многоугольники». В п.109 «Построении правильных многоугольников» рассматриваются способы построения некоторых правильных многоугольников (шестиугольника, восьмиугольника) с помощью циркуля и линейки. Разбираются задачи: «Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку» и «Дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник». Во второй раз задачи на построение встречаются в теме «Движение». После п.116 «Параллельный перенос» и п.117 «Поворот» рассматривается ряд задач на построение, например: «Используя параллельный перенос построить трапецию по ее основаниям и диагоналям» или «Построить прямую, которая получается из данной прямой а поворотом вокруг точки О на угол по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О. Задачи отдельно не выделены. Особенности данного учебника: Отсутствует понятие ГМТ; Задачи на построение выделены от всех остальных задач; Рассматриваются задачи с полной схемой решения уже в 7 классе; Не рассматриваются задачи решаемые методом гомотетии. Таким образом в учебниках задания представлены в разных разделах и используются разные методы построения. В учебнике Атанасяна основная цель задачи выполнить построения, в учебнике же Погорелова – это привести алгоритм построения. жүктеу/скачать 1,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|