Әдістемелік жинақ
жүктеу/скачать 2,2 Mb.
|
сандық әдіс әдістемелік кешен
| (1.4)
х* нүктесіндегі функция мәнін F(x*)-ны есептеу. Оның таңбасын екі шеткі нүктедегі функцияның таңбасымен салыстырылады. Егер f (xn) және f(x*) функциясының таңбасы бірдей болса, онда хорданы xn+1 және x* нүктесі арқылы жүргізіледі. Оның мәнін (1.4) формуламен табады. Егер f(xn+1) мен f(x*) функцияның таңбалары бірдей болса, онда хорданы xn және x* нүктесі арқылы жүргізіледі. Шыққан нүктенің мәні (1.4) формуламен есептелінеді. x* нүктедегі мәнін есептеп, мәні нөлге жуық болса , онда x* нүктесі (1.1) теңдеудің түбірі деп аталады. Егер нөлге жуық болмаса, онда процесс жалғасады. Алдындағы мысал үшін программасы келесідей болады: Ньютон әдісі Алдыңғы әдістерге қарағанда бастапқы жуықтау дұрыс таңдалынып алынса Ньютон әдісі тез жинақталады. Бұл әдіске қатысты теореманы келтіре кетейік: Теорема 1.3.: f(x) функциясы [a,b] аралығында анықталған және екі ретті туындысы бар, осы аралықта түбір жатыр f(a)*f(b)<0, туындылардың таңбалары осы аралықта тұрақты болса f(x)*f'(x)>0, онда f(x0)*f''(x0)>0 теңсіздігін қанағаттандыратын бастапқы жуықтаудан бастап (1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын [a,b] лығында жататын жалғыз шешімге жинақталатын итерациялық тізбек құруға болады. 10
Түбірге n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін келесі теңсіздіктің орындалуын қадағалау керек:. Мұндағы М2 – функцияның екінші ретті туындысының аралықтағы максимумы, m1- минимумы. Егер, болса, онда болады, яғни түбірге дұрыс жуықталынса, әр итерациядан кейін кезекті жуықтаудың ондық таңба саны екіге артады да процесс тез жинақталады. Егер түбірді берілген е дәлдікпен табу керек болса, итерациялық процесті шарты орындалғанша жалғастырамыз. Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері Екі теңдеуден тұратын екі белгісізді сызықты емес теңдеулер жүйесін қарастырайық: (1.5) Бұл есептің мақсаты - екі теңдеудің графигінің қиылысу нүктелерін анықтау.
Екі теңдеудің графигін сызып екеуінің қиылысу нүктелері жатқан облысты белгілейміз де осы облыстан жуықтап бастапқы жуықтауларды (x0, y0) таңдап аламыз ([3] қараңыз). Келесі жуықтауларды мына формулалармен есептейміз: Мұндағы якобиан деп аталады. Бұл әдіс бастапқы жуықтаулар түбірге жақын алынған уақытта тиімді.
(1.5)-ші жүйе берілсін. Бұл әдісті қолданбас бұрын жүйені итерациялық түрге келтіріп алады: (1.6.) Теңдеулердің графиктерін құру арқылы бастапқы жуықтауларды беріп, келесі жуықтауларды мына формуламен есептейді:
Бұл әдістің жинақтылығын теореманың шарттарымен тексеру керек. Теорема 1.4: Әлдебір тұйық облыста (1.5)-ші жүйенің жалғыз шешімдері бар болсын: . Егер: 11 1) және функциялары облысында анықталған және үзіліссіз болса, 2) бастапқы және келесі жуықтаулардың барлығы осы облыста жатса, 3) осы облыста мына теңсіздіктер орындалса: (1.8) онда (1.6)-ші итерациялық процесс өзінің жалғыз шешіміне жинақталады, яғни , . Қателігін бағалау: . M=max(q1;q2). Кей жағдайда (1.6)-ші итерациялық процестің орнына Зейдель процесін қолдануға болады: n=0,1,2,... (1.9) Жүйені итерациялық түрге келтіру (1.5)-ші жүйені (1.6)-ші итерациялық түрге келтіру үшін келесі тәсілдерді қолданған дұрыс. , болсын. (1.10) Коэффициенттерді мына жүйеден табамыз: (1.11) Параметрлерді осылай таңдап алу арқылы (1.8)-ші шарттың орындалуын талап етуге болады. жүктеу/скачать 2,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|