Әдістемелік жинақ



бет11/40
Дата06.01.2022
өлшемі2,2 Mb.
#16295
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   40
Дәріс тезисі:

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін (САТЖ) сандық шешудің 2 тәсілі бар:



  1. тура шешу

  2. жуықтап шешу

Тура шешу тәсілі жүйенің шешімін саны шектеулі арифметикалық операциялар көмегімен алуға мүмкіндік береді. Егер барлық операциялар дәл, яғни есептеу қателігінсіз жүргізілсе, тура шешім алынады. Тура тәсілдерге Крамер, Гаусс, Жордан-Гаусс, квадрат түбірлер әдістері жатады. Бұл әдістер 103 жоғары емес сандармен ЭЕМ көмегімен САТЖ-ның дәл шешімін анықтайды.

Жуықтап шешу тәсілдері итерациялық әдістер деп аталады. Олар жүйе шешімін біртіндеп жуықтау шегі ретінде анықтайды. Оларға жататын әдістер: Зейдель, қарапайым итерация, релаксация, градиентті т.б. Практикада бұл әдістерді 106 ретті сандармен есептеу жүргізуде қолданады.

САТЖ-ны шешу үшін оның жалпы шешімі қай уақытта бар болады, және неше шешімі болуы мүмкін деген сұрақтарға жауап беру керек ([8] қараңыз).

N белгісізді m теңдеуден тұратын САТЖ-ны қарастырайық:



(2.1)
немесе векторлық-матрицалық түрде жазсақ:

Ax=b (2.2)



Мұндағы А-коэффициенттерден құралған матрица, х- белгісіздерден құралған вектор, b – бос мүшелерден құралған вектор.

Тура шешу тәсілдері


  1. Гаусс әдісі.

(2.1.1)

(2.1.1) - квадрат матрицалы жүйе берілсін. Жүйенің матрицасы ерекше емес немесе айқындалмаған болсын. Гаусс әдісін практикада белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп те атайды.

Әдістің негізгі идеясы немесе мағынасы ([12],[13] қараңыз): берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру, бұл – тура жол деп аталады, сосын үшбұрышты матрицаны қолданып құрған жаңа жүйеден белгісіздерді біртіндеп табу, бұл – кері жол деп аталады. Сонда Гаусс әдісі 2 этаптан тұрады:


  1. тура жол – матрицаны үшбұрышты түрге келтіру.

  2. кері жол – белгісіздерді ең соңғысынан бастап кері қарай табу.

13

Бұл әдіс тура тәсілге жатады. Яғни белгісіздердің мәнін бастапқы жүйеге қойғанда теңдіктің оң жағындағы мәндер мен сол жағындағы мәндер бір біріне тең болады.

Матрицаны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындалады, қолданылатын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне байланысты.

1. Тура жол:

басшы элементі нөлден өзгеше деп есептеп (2.1.1)- жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін басшы элементке бөлу арқылы келесі теңдеуді аламыз:

(2.1.2.)

мұндағы , (2.1.3)

(2.1.2) - теңдеуді қолданып (2.1.1) - жүйенің 2-ші теңдеуінен, 3-ші теңдеуінен және n-ші теңдеуінен х1 белгісізін жоюға болады. Ол үшін (2.1.2)-ші теңдеуді а21, а31, ..., аn1 коэффициенттеріне көбейтіп шыққан нәтижелерді сәйкесінше 2-ші теңдеуден, 3-ші теңдеуден, т.с.с. n-ші теңдеуден азайтып aij1 деп белгілейміз:

(2.1.4)

Сонда келесідей жүйе аламыз:



(2.1.5)

Алынған (2.1.5) - жүйенің 1-ші теңдеуін а221 элементіне бөліп, теңдеу аламыз:



(2.1.6)

мұндағы , (2.1.7)

х1 белгісізін қалай жойсақ, тура сол сияқты х2 белгісізін (2.1.5) - жүйеден жоямыз, сонда мынадай жүйе алынады:

(2.1.8)

мұндағы


(2.1.9)

(2.1.8) - жүйенің 1-ші теңдеуін элементіне бөліп



(2.1.10)

теңдеу аламыз. Мұндағы , (2.1.11)

(2.1.10) - теңдеу көмегімен (2.1.8) - жүйеден х3 белгісізін жоямыз.

Осы әрекеттер тізімін матрица толық үшбұрышты түрге келгенше жалғастырамыз да (2.1.2)-ші, (2.1.6)-шы, (2.1.10)-шы, т.с.с. алуға болатын теңдеулерді жинақтап келесідей жүйе аламыз:

14

(2.1.12)
2. Кері жол:

(2.1.12) - жүйенің ең соңғы n-ші теңдеуінен белгісізін тауып алып n-1 –ші теңдеуге қою арқылы xn-1 белгісізін табуға, сол сияқты кері қарай барлық белгісіздерді табуға болады.



Ескерту: Бұл әдіс матрицаның басшы элементі нөлден өзгеше болған жағдайда қолданылады. Егер берілген жүйе матрицасының басшы элементі нөлге тең болса, жүйенің теңдеулерінің орындарын ауыстыру арқылы, арифметикалық операциялар қолдану арқылы басшы элементтің нөлдігінен құтылуға болады.



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   40




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет