-ДӘРІС ТАҚЫРЫБЫ: Бейсызықты бір теңдеудің түбірін табу

1. 
   Түбірлерді бөлектеу. (аралықты екіге бөлу) әдісі.
   
2. 
   Жай итерация әдісі.
   
3. 
   Ньютон (жанамалар) әдісі.
   

Сандық әдістердің бір бөлімі «бір өлшемді сызықты емес теңдеулер» болып табылады. Физикалық және басқа да құбылыстардың теңдеумен сипатталатыны белгілі. Сол теңдеуді классикалық математикалық формуламен шешу мүмкін емес жағдайлар бар. Бұл уақытта практикада сандық әдістерге жататын әдістермен шешілетінін дәлелдеу керек. Әрине ең алдымен құрылған теңдеудің қай аралықта анықталғандығын, үзіліссіздігін, түбірінің барлығын, оның жалғыздығын дәлелдейтін аргументтерді бақылау керек. Осы этаптан өткеннен кейін ғана есепті осы теңдеуге қолдануға келетін алгоритм көмегімен шығаруға болады.

Сызықты емес теңдеулер екі түрлі:

1. 
   алгебралық
   
2. 
   трансцендентті.
   

Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы функцялары бар теңдеуді айтады.

Сызықты емес теңдеуді сандық шешу екі тәсілден ([1] қараңыз) тұрады.

1. Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы тікелей шығару.

2. Итерациялық тәсіл – есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру арқылы жуықтап, біртіндеп шығару.

8

Тура тәсілмен шығарылған есептер дәл мәнді береді. Ал итерациялық тәсілмен шешілген есептер есептің жуық мәнін береді .Мұның ішінде итерациялық әдістер сандық әдіске жатады.

1.Кесіндіні қақ бөлу - дихотомия әдісі деп аталады.

2.Хорда әдісі.

3. Жанама әдісі немесе Ньютон әдісі

4. Қарапайым итерациялық әдіс немесе жәй итерация әдісі т.б.

Түбір жатқан аралықты анықтау әдісі

F(x)=0 (1.1)

Бірөлшемді сызықты емес теңдеу берілген. Мұндағы F(x) функциясы [a,b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын.

Теорема1.1: [а,в] аралығында анықталған, үзіліссіз F(x) функциясының екі шеткі нүктелердегі мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, яғни мына шарт орындалса f(a)*f(b)<0, онда осы аралықта (1.1)-теңдеудің түбірі бар және жалғыз болады.

Практикада кейде теореманың орындалуын функцияның мәндер кестесін құру арқылы да анықтайды. Функцияның анықталу облысы бойынша а нүктесін беріп, ол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сосын һ қадаммен келесі нүктеге жылжып, сол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сол сияқты бірнеше нүктедегі функция мәндерін анықтап, таңбасын салыстырады. Егер көрші нүктелерде функция әр түрлі таңба қабылдаса, сол аралықта жалғыз түбірі жатыр деп айтады.

(1.1) - теңдеуді кесіндіні қақ бөлу әдісімен шешу алгаритмі келесі қадамнан тұрады.

1. 
   (1.1)-ші теңдеудің түбірі жатқан аралығын анықтау және осы аралықта түбірдің жалғыздығын тексеру. Яғни x осі бойында бірдей қашықтықта жатқан нүктелердегі функцияның мәндерін есептеміз, және егер екі шеткі нүктеде немесе екі көрші нүктеде функция мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, онда сол аралықта түбір бар деп есептеу
   
2. 
   Осы аралықты қаққа бөлу және ол нүктенің мәнін
   

формуласымен анықтау.

3. 
   X_n+1-X_n
4. 
   X_ОРТ нүктесіндегі функция мәнін F(X_ОРТ) есептеу.
   
5. 
   Егер оның таңбасы F(X_n) функциясының таңбасымен бірдей болса, X_n нүктесінің орнына X_ОРТ нүктесін қарастырамыз.
   
6. 
   Ал егер F(X_ОРТ) функциясының таңбасы F(X_n+1) функциясының таңбасымен бірдей болса, X_n+1 нүктесінің орнына Х_ОРТ нүктесін қарастырамыз.
   
7. 
   Шыққан аралықтар [X_n,, Х_орт] U [X_орт, X_n+1] белгіленеді.және алдыңғы шарттарға байланысты екі аралықтың біреуін тағы қаққа бөлу арқылы ізделінді нүктеге біртіндеп жақындаймыз. Яғни мына шарттар тексеріледі: F(X_n+1)*F(X_орт)<0 шарты орындалса [X_орт,X_n+1] аралығы қаққа бөлінеді де шыққан нүкте мәні, X_ОРТ2=X_ОРТ+ X _n+1/2 формуласымен есептеледі. F(X_n)*F(Х_ОРТ)<0 шарты орындалса [X_n, X_орт] аралығы қаққа бөлініп, табылған нүкте X_ОРТ2=X_ОРТ+ X _n/2 формуласымен есептеледі.
   
8. 
   Осы процесті іздеп отырған х нүктесіне жеткенге дейін жалғастырып, X_ОРТ, X_ОРТ2, X_ОРТ3, …, X_ОРТN тізбегін құрамыз. Мына шарт орындалатын уақытта X_ОРТN - X_ОРТN-1 ОРТ_N нүктесін (1.1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын х дәл түбірге жуық мән деп қабылдаймыз.
   

Бұл әдісті қолдану үшін (1.1)-ші теңдеудің сызықты мүшесі айшықталып мына түрге келтіру керек:

Итерациялық тізбектің жинақтылығы теореманың ([1] қараңыз) шарттарымен де тексерілуі керек:

1) функциясы [a,b] аралығында анықталған және дифференциалданады;

2) үшін ;

3) барлық үшін болатындай q саны табылсын,

онда , (k=1,2,…) итерациялық тізбегі кез келген бастапқы жуықтауда жинақталады.

Хорда әдісі

Бұл әдіс кесіндіні қаққа бөлу әдісіне қарағанда шешімге тез жинақталады.

1. 
   х_n , x_n+1 аралығында f (x) және f (x_n+1) функцияларының таңбасы бір біріне қарама-қарсы және түбірі бар болсын.
   
2. 
   Осы екі шеткі нүктеден хорда жүргізіп, хорданың х осімен қиылысқан нүктесін мына формуламен анықтаймыз.