Әдістемелік жинақ



бет7/40
Дата06.01.2022
өлшемі2,2 Mb.
#16295
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   40
Байланысты:
сандық әдіс әдістемелік кешен

Дәріс тезисі:

ХХ ғасырдың орта шенінде атом энергиясын игерудің күрделі жұмыстарына байланысты алғашқы электрондық машиналардың пайда болуы және оларды ары қарай жетілдіру ғылым мен техника саласында революциялық өзгерістер жасады. Ғылымда зерттеу жұмыстарының әдістері күрт өзгеріп, күрделі құбылыстарды зерттеу мен болжау мүмкіндіктері жаңа деңгейге көтерілді. Соның нәтижесінде ғасырлар бойы шешілмей келген ірі ғылыми-техникалық проблемалар өз шешулерін тапты. Ғарышта, атом энергиясын игерудегі жетістіктер электроника мен информатика саласындағы табыстармен тікелей байланысты. Бүгінгі есептеу техникасы күнделікті от басындағы тіршіліктен бастап ғарыштағы күрделі техникалық жүйелерді басқаруға дейін қолданылып жүр. Осы саладағы қол жеткен жетістіктер, бір жағынан математика ғылымының жедел дамуына байланысты болса, екінші жағынана, электрондық есептеуіш машиналар (ЭЕМ) математиканың дамуына өз әсерін тигізді. Мұның бір дәлелі – ЭЕМ-дер математикалық алгоритмдермен және бағдарламалармен жабдықталған.

Электрондық машиналар арқылы есептеу және ойлау жылдамдығы бірнеше миллион есе артып, ғылым мен техниканың күрделі есептерінің математикалық модельдерін жасауға мүмкіндік туды.

Тәжірибелік зор мәні бар есептерді электрондық есептеуіш машиналар арқылы шешу бірнеше сатыдан тұрады:



Бірінші саты – қарастырылып отырған құбылысты (процесті) сипаттайтын көп параметрлердің ішенен ең негізгілерін бөліп алып, оларды байланыстыратын заңдылықтарды пайдалану арқылы физикалық модельдер жасау.

Екінші саты – физикалық модельдерге сәйкес математикалық модельдер құру. Жоғарыда айтылған параметрлер арасындағы сандық қатынастарды математикалық формулалар арқылы жазу. Бұл қатыстар алгебралық, дифференцилдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы берілуі мүмкін. Бұл күнде математика және электрондық есептеуіш машиналарын осындай модельдер негізінде пайдалану ғылымның химия, экономика, геология, биология сияқты салаларында кең өріс алып отыр. Математикалық модельдердің үлкен бір ерекшелігі – бір модельмен бірнеше құбылыстар сипатталуы мүмкін.

Үшінші саты – математикалық модельдердің дұрыс құрылғанына көз жеткізу. Мысалы, теңдеулердің шешімдерін табуға болатынын және оның физикалық мағынасы бар екендігін дәлделдеу.

Төртінші саты – математикалық модельдерді сипаттайтын теңдеулерді немесе басқа математикалық есептерді сандық шешудің дұрыс және тиімді әдістерін табу және оның алгоритмін құру.

Бесінші саты – алгоритмдердің бағдарламасын құрып, оны ЭЕМ арқылы есептеу.

Көп жағдайда есептерді математикалық әдістер арқылы ЭЕМ-де дәл шешу мүмкін болмайды. Себебі, біріншіден, ЭЕМ-ді пайдаланар алдында математикалық есептер шекті өлшемге келтіріледі. Шекті өлшемге келтіру, әдетте берілген есепті дискреттеу арқылы орындалады. Бұл жағдайда функцияның үзіліссіз аргументтері дискретті аргументтермен алмастырылады. Есеп дискреттелгеннен кейін оның есептеу алгоритмі құрылып, керекті математикалық және логикалық амалдардың ЭЕМ арқылы қай тәртіпте орындалатыны көрсетіледі.

5

Ғылым мен техникада көптеген есептер функциялар, алгебралық, дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы математика тілінде сипатталып жазылады. Мұндай есептер түрліше жолдармен шешіледі. Анализдік әдістер сондай жолдардың бірі болып табылады. Бірақ оларды пайдалану көп жағдайда мүмкін бола бермейді.



Кейінгі 30-40 жыл ішінде жылдам есептейтін электрондық есептеуіш машиналар кеңінен қолданылып келеді. Олардың кейбіреулері секундына жүздеген миллионға дейін арифметикалық амалдар орындайды. Сонымен бірге машиналарда есептеулерді жеңілдететін басқа да қосымша мүмкіншіліктер бар. Электрондық есептеуіш машиналардың пайда болуы есептеу математикасының қарқынды дамуына зор әсерін тигізді.

Есептеу кезінде анализдік әдістерді пайдалану қиындық келтірген немесе тіпті пайдалану мүмкін болмаған жағдайда есептеу математикасының сандық әдістері қолданылады. Ол әдістер бастапқы берілген есепті мағынасы бойынша соған жуық басқа есеппен алмастыру мүмкіндігіне негізделген. Ал соңғы есеп кейбір шарттарды қанағаттандыруы тиіс. Мәселен шешімнің бар болуы, орнықты, жинақты болуы және т.с.с. бұл есептің шешімі алғашқы есептің жуық шешімін беруі тиіс немесе оған белгілі бір дәлдікпен жинақталуы қажет.

Дәл және жуық шешімдердің айырымын жуықтау немесе әдіс қателігі деп атайды.

Есепте негізгі деректер, яғни ондағы коэффициенттер, бос мүшелер немесе қосымша шарттар жуық шамалармен берілуі мүмкін, соның нәтижесінде пайда болған қателіктерді жөнделмейтін (түзетілмейтін) қателіктер деп атайды.

ЭЕМ-де цифрлар саны шексіз көп сандармен арифметикалық амалдар қолданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны шектеулі жуық сандармен алмастырылады. Ол, әдетте, орта мектептен белгілі дөңгелектеу әдісі арқылы жүзеге асырылады. ЭЕМ-де дөңгелектеу амалы арифметикалық амалдар орындалған кездерде де жүргізіледі. Өйткені нәтижеде цифрларының саны шексіз көп сандар пайда болуы мүмкін. Осындай дөңгелектеулердің салдарынан пайда болған қателіктерді есептік қателіктер деп атайды. Олар есептің жуық шешімінің дәлдігіне тікелей әсерін тигізетіні анық.

Шамалардың жуық мәндері жуық сандармен беріледі. Сандық әдістер немесе есептеу әдістері пәндерінде алынған нәтижелердің барлығы жуық шешімдер деп аталады. Тура шешім мен жуық шешім айырмасы әдіс қателігі немесе дөңгелектеу қателігі деп аталады. Қателіктер 3 түрге бөлінеді:



  1. Әдіс қателігі

  2. Шеттетілмейтін қателік

  3. Есептеу қателігі

Әдіс қателігі берілген есепті шешу үшін таңдалған сандық әдістен тәуелді болады. Осыған байланысты әр әдістің қателігін бағалау формуласы әр түрлі болады. Шеттетілмейтін қателіктер – есептің бастапқы берілгендерінен, коэффициенттерінен, шарттарынан тәуелді қателіктер. Есептеу қателігі жуық шешімдерді алу барысында қолданылатын математикалық есептеулер кезінде қолданылатын сандарды дөңгелектеуден тәуелді.

Қателіктер теориясындағы негізгі ұғымдар

Бұл қателіктердің өздері абсолютті және салыстырмалы ([3] қараңыз) болады.



  1. Егер а саны – тура мән, а* саны оған белгілі жуықтау болса, онда жуықтаудың абсолютті қателігі деп - олардың айырымын, ал шектік абсолютті қателігі деп мына шартты қанағаттандыратын қателікті айтады: .

  2. Жуықтаудың салыстырмалы қателігі деп келесі шартты қанағаттандыратын шартты айтады: немесе

6

  1. Санның мәнді цифрлары деп оның жазылуындағы солдан бастағанда нөлден өзгеше барлық цифрларын айтады.

  2. Мәнді цифрды дұрыс дейді, егер санның абсолютті қателігі осы цифрге сәйкес разряд бірлігінің жартысынан аспаса.

Арифметикалық операциялар нәтижелерінің қателіктері




  1. Қосынды қателігі. F(x)=x=x1+x2+x3+…+xn қосындысы берілсін.

a) қосындының абсолютті қателігі: .

Егер болса, онда , ал n>=10 болса, Чеботарев формуласы қолданылады: .



b) қосындының салыстырмалы қателігі:

. Мұндағы , , .

2 Айырма қателіктері. X=x1-x2, x1>x2>0 болсын және азайғыш пен азайтқыштың жуық мәндері мен абсолютті қателіктері белгілі болсын.

a) айырманың абсолютті қателігі: .

b) айырманың салыстырмалы қателігі:

.

3 Көбейтіндінің қателіктері. X=x1*x2*…*xn көбейтіндісі берілсін. Көбейткіштердің жуық мәндері және абсолютті, салыстырмалы қателіктері белгілі болсын.

a) көбейтіндінің абсолютті қателігі: .

b) көбетіндінің салыстырмалы қателігі: .

4 Бөліндінің қателігі: бөліндісі берілсін. Алымы мен бөлімінің жуық мәндері, абсолютті, салыстырмалы қателіктері берілген болсын.

a) бөліндінің абсолютті қателігі: .



b) бөліндінің салыстырмалы қателігі: .

1- мысал: Берілген х санының дұрыс цифрлар санын анықтау керек болсын.

; .

Анықтама бойынша: шарты орындалса, 3 цифрын дұрыс цифр деуге болады. Шындығында 0,0025<0,05 екен, яғни 3 - дұрыс цифр. 9 цифрын тексерсек: 0,0025<0,005, яғни 9 цифры да дұрыс. Ал 4 пен 1 цифрлары үшін 0,0025<0,0005 және 0,0025<0,00005



7

болғандықтан, олар күмәнді цифрлар болады. Қорыта айтқанда үтірден кейінгі 3 және 9 цифрларын жоғалтпау керек, яғни санды 0,39 деп дөңгелектеуге болады, 0,4 деп дөңгелектесек дөңгелектеу қателігі өсіп кетеді. Санның дұрыс цифрлар саны төртеу.



2-мысал: ; берілген. Санның дұрыс цифрларын анықтау.

Анықтама бойынша: , яғни . Одан шығатыны: . Енді санның цифрларын тексереміз:

8 цифры - дұрыс, өйткені: .



9 цифры – күмәнді, өйткені: . Дәл осылай 2 және 1 цифрларының да күмәнді екенін анықтауға болады. Сонда а санының 2 цифры дұрыс.

3-мысал: Х=2,1514 санын 3 мәнді цифрға дейін дөңгелектеп, абсолютті және салыстырмалы қателіктерін табу.

болады. Сонда , .

4-мысал: көбейтіндісінің абсолютті және салыстырмалы қателіктерін анықтау.

екені белгілі. .

.


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   40




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет