Әдістемелік жинақ

X_i нүктелерінде y_i мәндерін қабылдайтын n-ші дәрежелі интерполяциялық көпмүшелік келсі түрде де жазылады:

L₁³(x) мүшесін есептемейміз, себебі y₁=0. Бәрін бір біріне қосамыз да көпмүшеліктің соңғы түрін аламыз:

92

Есептеуді жеңілдету үшін x=0.05t деп алайық. X-тердің мәні белгілі болғанда t-лардың мәндерін тауып алуға болады, олар: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11. Және x=0.45 болғандағы t=9 болады. Есептеу қадамдары 2-кесте да келтірілген.

Сонымен y(0.45)= *1.6604*10^-4=0.6376.

Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтығы тұрақты болса, практикада Ньютонның интерполяциялық формулалары қолданылады. Бұл формулалар екіге бөлінеді:

3. 
   Алдыға қарай интерполяциялау
   
4. 
   Кері интерполяциялау
   

Мұндағы

Егер берілген х нүктесінің мәні кестенің соңғы жағянда жатса, 2-формула қолданылады:


(4.12)

93

Формулалардағы , , т.с. сияқтылар шектік айырымдар деп аталады және 3-кестені толтыру арқылы анықталады. Кестедегі мысал үшін 6 интерполяциялық түйін және шектік айырымдардың 4-ші дәрежесіне дейінгі мәндер қарастырылған. 1-формула үшін кестенің бірінші жолындағы мәндер, 2-формула үшін кестенің соңғы жолындағы мәндер қолданылады.

3-кесте . Шектік айырымдар кестесі.

Қателіктерін бағалау:

2-формула үшін мына формула қолданылады:

4-кесте . y=lg(x) функциясының мәндері және шектік айырымдары кестесі

3-ретті шектік айырымдар тұрақты бола бастағандықтан кесте ны толтыруды тоқтатамыз. Формулада n=3 деп аламыз. Q=0,1. x=1001. Ньютонның бірінші формуласын қолданамыз, себебі х-тің мәні кестенің бас жағында жатыр, сонда lg1001=3.00043417+0.5*10^-9 болатынын қалдық мүшенің формуласын қолдану арқылы анықтаймыз.

1. 
   Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі?
   
2. 
   Эйткен схемасы?
   
3. 
   Ньютоннның интерполяциялық формулалары?
   
4. 
   Шектік айырымдар кестесі қалай есептеледі?
   

E=10^-5 дєлдікпен тµмендегі интегралдарды сєйкес єдісті тањдау арќылы есептеңіздер.

1. ;

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

12.

13.

14.

15. , аралыќты 2-ге бµлу арќылы есептеу.
95

16.

17.

18.

19.

20.

Б±л єдістіњ негізгі идеясы f(x) функциясынан єлдебір g(x) функциясын бµліп алады да f(x)-g(x) айырымынан интеграл алады, м±ндаѓы f(x)-элементарлы интегралданатын болуы керек, ал g(x) – сандыќ єдістердіњ біреуімен интегралданатын болуы керек:

Б±л єдіс интеграл астындаѓы функция келесі т‰рде берілген жаѓдайда ќолданылады:

М±ндаѓы функциясы [a,b] аралыѓында ‰зіліссіз дифференциалданатын функция болсын. Онда б±л функцияны Тейлор ќатарына жіктеуге болады. Тейлор ќатарына жіктелген функция т‰рін деп белгілесек:

Мысалы: ;

Интеграл астындаѓы функция [a,b] аралыѓы жатќан (-R,+R) интервалында жинаќталатын дєрежелік ќатарѓа жіктелетін болсын:

96

(5.8)

Дєрежелік ќатарды м‰шелеп интегралдауѓа болады, сонда:

Егер (5.9)-ќатар жинаќты болса, онда (5.10)

Єдіс ќателігі ќатар ќалдыѓы мен дµњгелектеу ќателігінен т±рады.

Егер ќатардыњ тањбасы ауыспалы жєне абсолютті шамасы бойынша монотонды кемімелі болса, онда ќатар ќалдыѓы тасталатын (отбрасываемый) ќатар м‰шелерініњ ењ біріншісініњ абсолют ќателігінен аспайды.

Басќа жаѓдайларда ќатар ќалдыѓын баѓалау ‰шін ќатарлары жењіл баѓаланатын сандыќ ќатарлармен мажорлайды.

Мысал:

Интеграл астындаѓы функция дєрежелік ќатарѓа жіктеледі жєне кез келген х ‰шін жинаќталады:

Ќатардыњ ‰шінші м‰шесінен бастап ќалѓан м‰шелерін тастап кетуге болады, себебі олар нµлге µте жуыќ.

Б±л єдісте х айнымалысын µрнекпен алмастырады: . Сонда Гаусс формуласы былай жазылады:

Б±л єдістіњ ыњѓайсыздыѓы, абсциссадаѓы мєндер мен коэффициенттер иррационал сандар. Біраќ соѓан ќарамай интегралдау т‰йіндерініњ саны аз болса да, дєлдігі жоѓары.

Абсциссадаѓы мєндер мен коэффиценттер м‰мкін, жоѓары дєрежелі кµпм‰шеліктердіњ барлыѓы ‰шін (5.11)-формула д±рыс болатындай етіп тањдалынып алуы керек. сандары N=2n-1 болѓанда бірмєнді болатыны дєлелденген.

мєндерін аныќтау ‰шін Лежандр кµпм‰шелігі ќолданылады:

97

Ал -лерді табу ‰шін тµмендегі ж‰йе шешіледі:

(5.11.1^’)

Б±л ж‰йені шешу барысында коэффициенттерді тµмендегі 1-кесте кµмегімен де аныќтауѓа болады.

1-кесте . (5.11.1^’)-жүйені шешу барысында анықталған коэффициенттер.

N=5 болѓанда интегралын Гаусс формуласымен есептеу керек болсын. Айнымалыны ауыстырамыз: . Сонда интеграл мына т‰рге келеді:

x=0 болѓанда t=-1;

x=1 болѓанда t=1;

Интеграл астындаѓы функцияныњ мєндер кесте сын ќ±рамыз:

98

Алынѓан мєндерді (4)-ќою арќылы интегралды есептейміз:

Берілген интегралды сандыќ єдістердіњ ќайсысымен болса да шешу уаќытында берілген дєлдікті ќамтамасыз ететін ќадам тањдау керек. Кейде интегралдау аралыѓын бірнеше бµлікке бµлу барысында дµњгелектеу, есептеу ќателіктері µсуі м‰мкін. М±ндай ыњѓайсыздыќќа ±шырамас ‰шін интегралдау ќадамын д±рыс тањдау керек. Практикада интегралдау ќадамын 2 тєсілмен тањдайды:

1. 
   Ќалдыќ м‰шені баѓалау арќылы
   
2. 
   Екілік есептеу арќылы.
   

баѓалау арќылы h –ты аныќтайды.

Трапеция әдісін таңдайық. Ол әдістің қалдық мүшесінің формуласы:

2-тәсілде берілген интеграл h ќадаммен аралыќты n рет бµледі жєне ќадаммен аралыќты 2n рет бµледі де екі рет есептеледі. алынѓан интегралдарды сєйкесінше жєне деп белгілесек, шарты орындалса, онда деп есептеуге болады, м±ндаѓы I – интегралдыњ дєл мєні. Егер б±л шарт орындалмаса, онда ќадамды таѓы да 2-ге кішірейтеді.

Интегралдау ќадамы берілмеген есептерде, алѓашќы ќадамды санына жуыќ сан ретінде алуѓа болады, м±ндаѓы m=2 трапеция формуласы ‰шін, m=4 – Симпсон формуласы ‰шін. Б±л тєсіл есепті ЭЕМ кµмегімен шешу кезінде ќадамды автоматты т‰рде компьютер тањдайтындай жаѓдай тудырады жєне бірмезгілде есептеу ќадамдары да баќыланып отырады.
Бақылау сұрақтары:

1. 
   Канторовичтің интеграл астындағы функцияның ерекшелігін айшыќтау әдісі?
   
2. 
   Дәрежелік ќатарлар кµмегімен интегралдау єдісі?
   
3. 
   Гаусстыњ квадратуралыќ формулалары?
   
4. 
   Интегралдау ќадамдарын тањдау қалай жүзеге асады?
   

E=10^-5 дєлдікпен тµмендегі интегралдарды сєйкес єдісті тањдау арќылы есептеңіздер.

Сандық интегралдау инженерлік және ғылыми деректерді анализдеу немесе сараптау үшін қажетті. Интегралды классикалық әдістермен аналитикалық түрде алу мүмкін болмаған жағдайларда сандық интегралдау есебі қойылады. Кейде интеграл астындағы функция өте күрделі, кейде функцияның кесте лық мәндері ғана берілуі мүмкін.

Сандық интегралдауды сандық квадратура деп те атайды. Ал қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталады.

Сандық интегралдау да дәл және жуықтау болып екіге бөлінеді.

Егер абсцисса өсі бойынан алынатын нүктелер бірқалыпты орналасатын болса, онда Ньютон – Котестің дәл квадратуралық формулалары қолданылады, басқа жағдайда жуықтау – Гаусс формулалары қолданылады.

Сандық интегралдаудың негізгі идеясы - интеграл астындағы функцияны [a,b] аралығында интерполяциялық полиномға жіктеу және полиномның әр мүшесін интегралдау арқылы есептеу процесін жеңілдету.

Интегралдың қателігін төмендету үшін интеграл астындағы функция анықталған [a,b] аралығы h қадаммен бірнеше аралыққа бөлу керек: x_i+1-x_i=h, i=1,2,…,n-1. Қадам тұрақты болған жағдайды қарастырайық.

(5.1)

түрдегі интеграл берілсін. Дәл әдістерге Ньютон-Котес квадратуралық формулалары жататыны жоғарыда айтылған.

Егер n=1 болса квадратуралық формула трапеция әдісі деп аталады. Әдіс бойынша; интегралдық қисық пен ох өсі аралығындағы фигура ауданын табу үшін сол фигураны трапециямен толықтырып, ауданын табуға болады:

Қателікті азайту үшін аралықты бірнеше бөлікке бөліп әр трапецияның ауданын тауып барлығының қосындысы берілген интегралдың мәні деуге болады:

Мұндағы

(5.4)-формула әдістің қателігін бағалау формуласы деп аталады. Геометриялық мағынасы трапециямен толықтырылған уақытта осы облысқа кірмей қалған аймақтардың қосындысы, кейде оны қиылу қателігі де дейді. Оның мәні өте аз шама болуы керек.

(5.3)- формулаға қоямыз:

N=2 болса Ньютон – Котес формуласы Симпсон єдісін аныќтайды. [a,b] аралыѓын екі симметриялы бµлікке бµледі: н‰ктелері болса, аралыќ ж±п болады, есептеу формуласы:

Онда есептеу ќателігі 16-ѓа азаяды. Ал бµлу аралыѓы таќ болса, онда [a,b] аралыќтыњ алѓашќы ‰ш бµлігінен ‰шінші дєрежелі парабола ж‰ргізнміз, б±л жаѓдайда Симпсоннныњ ‰штен сегіздік формуласы ќолданылады:

a=0; h=0.25; b=1;

102

[a,b] аралығынан х₀ бір түйін алатын болсақ, чғни f(x)=const болады, онда қарастырып отырған аралықта деуге болады. Х₀ нүктесін аралықтың тура ортаңғы нүктесі деп алсақ формуласы шығады, оны тіктөртбұрыштар формуласы дейді, әдістің қателігін азайту мақсатында аралықты бірнеше бөлікке бөліп, әр аралықты тіктөртбұрышпен толтырып, ауданын тауып, барлық аудандарды бір біріне қосады:

Жоғарыда келтірілген мысалдармен салыстыру арқылы қай әдістің қателігі аз екенін анықтай аласыздар.

1. 
   Сандық интегралдау есебіне мысал келтіріңіз?
   
2. 
   Трапеция әдісі қалай жүзеге асады?
   
3. 
   Симпсон әдісі қалай жүзеге асады?
   
4. 
   Тіктөртбұрыштар әдісі қалай жүзеге асады?
   

103

Төмендегі қарапайым дифференциалдық теңдеулерді [0.2; 1.2] аралығында 0.1 қадаммен у(0.2)=0.25 бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімін Эйлер және Эйлер-Коши әдістерімен тауып, қателіктерін бағалау. Есептеуді үтірден кейін 4 орынмен жүргізу.

№ 1.

№ 2.

№ 3

№ 4

№ 5

№ 6

№ 7

№ 8

№ 9

№ 10

2. Берілген аралықта h=0,2 қадаммен теңдеулерді және теңдеулер жүйелерін Рунге-Кутта әдісімен шешу.

a) y(0)=1.5; a=0; b=1;

b) , y(1)=1; a=1; b=2;

c) , y(0)=1; z(0)=1; a=0; b=1;

d) , y(0)=1, табу керек y(0.5)

e) , y(0)=1, табу керек y(1)

f) , y(0)=1, табу керек y(0.5)

g) y(0)=2, z(0)=-2, x=0.5 болғандағы y,z-тің мәндерін табу керек
i) y(0)=2, z(0)=-1, x=0.5 болғандағы y,z-тің мәндерін табу керек

3. Рунге-Кутта әдісін қолданып берілген аралықта 10^-4 дәлдікпен төмендегі ҚДТ –ді шешу.

a) , y(0)=1, a=0, b=1

104

c) , y(1)=0, a=1, b=2

4. Рунге-Кутта әдісін қолданып бастапқы шарты х(0)=0 болғанда төмендегі теңдеулердің шешімдерін анықтау. һ=0,1 болсын.

a) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.8k, k=0,1,2

b) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.4k, k=0,1,2,3,4,5

c) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.4k, k=0,1,2,3,4,5

d) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5

e) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.8k, k=0,1,2

f) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5

g) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5

5. Рунге-Кутта әдісін қолданып 10^-4 дәлдікке дейін төмендегі теңдеулерді шешу.

a) , y(1)=1, a=1, b=2,

b) , y(0)=1, a=0, b=1,

Тапсырманы орындауға әдістемелік нұсқаулар:

Эйлер әдісі

Коши есебін шешудің бұл әдісі бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді интегралдауға мүмкіндік береді. Бұл әдістің дәлдігі төмен. Сондықтан практикада көп қолданылмайды. Бірақ бұл әдістің негізінде басқа тиімді, бірақ күрделі әдістерді меңгеру жеңілдейді.

(6.1)-(6.2) Коши есебі берілсін.

Геометриялық мағынасы: һ қадам таңдап алып берілген аралықта бірдей қадаммен нүктелер жиынын құраймыз:

x_i=x₀+ih (i=0,1,2,…). (6.4)

M₀(x₀,y₀) нүктесінен өтетін ізделінді y=y(x) интегралдық қисықты төбелері M_i (x_i,y_i) (i=0,1,2,…) болатын Эйлер сынықтарымен M₀M₁M₂… алмастырылады:

Әрбір M_iM_i+1 сынықтары бағыты M_i нүктелерінен өтетін (6.1)-теңдеумен берілген интегралдық қисықтың бағытымен беттеседі.

Сонда есептеу формуласы келесі түрде жазылады:

Y_i+1=y_i+y_i, (6.6)

y_i=hf(x_i,y_i) (i=0,1,2,…)

Әдіс теңдеулер жүйесіне де қолданылады. Ол 2-мысалмен келтірілген.

Эйлер әдісін қолданып [0,1] аралығында h=0,2 қадаммен теңдеуін және у(0)=1 бастапқы шартты қанағаттандыратын мәндер кестесін құру керек болсын.

Есептеу нәтижелері 1-кестеде келтірілген. Кестенің толтырылуы: Бірінші жолға i=0 болғанда бастапқы мәндер жазылады: x₀=0; y₀=1,0000. Үтірден кейін мәнді цифрларды

жоғалтпау үшін 4 орын сақтап отырайық. Осы мәндер және (6)- формула бойынша f(x₀,y₀)=1, сосын , у₁=1+0,2=1,2 мәндері есептеледі.

Кестенің ең соңғы бағанында салыстыру үшін теңдеудің дәл шешімінің мәндері келтірілген. Кестеден абсолютті қателіктің мәні е=0,0917, салыстырмалы қателігінің 5% екендігі көрінеді.

Бастапқы шарттары: .

Аралық [1, 1.5], қадам h=0.1 болсын. Мұндай жағдайда алмастыру қолдану арқылы 1-ретті теңдеулер жүйесін құрып алуға болады:

және бастапқы шарттары: .

Мұндай жүйелер үшін Эйлер формуласы келесі түрде жазылады:

Y_i+1=y_i+hf₁(x_i,y_i,z_i)

z_i+1=z_i+hf₂(x_i,y_i,z_i) , i=0,1,2,… (6.7)

(6.7)-ні қолдансақ және f₁(x,y,z)=z; f₂(x,y,z)= болатынын ескерсек:

i=0; x₀=1.00; y₀=0.77; z₀=-0.44; f₁(x₀,y₀,z₀)=-0.44; f₂(x₀,y₀,z₀)= =-0.33;

y₁=y₀+=0.726; z₁=z₀+=-0.473 екендігі шығады. Дәл осылайша келесі мәндерді табу оңайға түседі.

Эйлер – Коши әдісі

Бастапқы нүктедегі ақиқат қисыққа жанама көлбеуі бұрышының тангенсі белгілі және -ға тең болса да, ол тәуелсіз айнымалының өзгеруіне байланысты өзгеріп отырады. Сондықтан x₀+h нүктесінде жанама көлбеуі x₀ нүктесіндегі жанама көлбеуіндей болмайды. Осыдан, h интервалында бастапқы жанама көлбеуін сақтай отырып есептеу барысында қателік пайда болады. Эйлер әдісінің дәлдігін арттыру үшін туынды аппроксимациясын жақсарту керек, яғни интервалдың бастапқы және соңғы нүктелерінде

туындының орта мәнін алуға болады. Бұл әдісті Эйлер – Коши әдісі дейді. Бұл әдісте алдымен Эйлер формуласы қолданылады:

106

Бұл әдіс те бірқадамды әдіске жатады.

(6.9)-теңдеу екі өлшемді қарапайым дифференциалдық теңдеу (ҚДТ) және (6.10)-бастапқы шарт берілсін. [x₀, x_n] аралығында у-тің мәндерін анықтап, функция графигін сызу керек болсын.

Мұндағы К аралық сандары төмендегідей табылады:

Практикада есептеу қадамдарын 2-кестеге толтырған тиімді.

Бұл әдістің дәлдігі 4-ші ретті. Қателігін бағалау өте күрделі, сондықтан екілік есептеу арқылы алынған мәндер бір бірімен салыстырылып, айырмасы дәлдіктен асып кетпеуі

тексеріледі, егер айырма мәндері көп ауытқыса, есептеудің келесі қадамындағы х мәнін екі еселенген қадаммен алады, әйтпесе қадамның жартысын алады.

107

Шешімі:

1. 
   1-ші жолға бастапқы шарт мәндерін жазамыз. Х₀=0, у₀=-1.
   
2. 
   f(x₀, y₀)=0.25, K₁⁰=0.1*0.25=0.025 мәндерін тауып аламыз.
   
3. 
   2-ші жолға мәндерін жазамыз.
   
4. 
   , мәндерін есептейміз.
   
5. 
   3-ші жолға мәндерін жазамыз.
   
6. 
   , мәндерін есептейміз.
   
7. 
   4-ші жолға , мәндерін жазамыз.
   
8. 
   , мәндерін есептейміз.
   
9. 
   5-ші жолға мәнін жазамыз.
   
10. 
    6-шы жолға
    
11. 
    Осы алгоритмді қайталау арқылы кестенің қалған жолдары толтырылады.
    

3-кесте . теңдеуін шешудің кестелік алгоритмі.

1. 
   Адамс әдісін қолданып 10^-2 дәрежесіне дейінгі дәлдікпен төмендегі қарапайым дифференциалдық теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін шешу. Бастапқы мәндерді Рунге-Кутта әдісімен есептеу.
   

b) , y(0)=1, табу керек y(1)

c) , y(0)=1, табу керек y(0.5)

d) y(0)=2, z(0)=-2, x=0.5 болғандағы y,z-тің мәндерін табу керек

e) y(0)=2, z(0)=-1, x=0.5 болғандағы y,z-тің мәндерін табу керек

2. Адамс әдісін қолданып берілген аралықта 10^-4 дәлдікпен төмендегі ҚДТ –ді шешу. Бастапқы мәндерді Рунге-Кутта әдісімен анықтау.

a) , y(0)=1, a=0, b=1

b) , y(0)=1, a=0, b=1

c) , y(1)=0, a=1, b=2

3. Адамс әдісін қолданып бастапқы шарты х(0)=0 болғанда төмендегі теңдеулердің шешімдердің мәндер кесте сын екі қадамға жалғастыру. һ=0,1 болсын. Бастапқы мәндерді Рунге-Кутта әдісімен анықтау.

a) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.8k, k=0,1,2

b) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.4k, k=0,1,2,3,4,5

c) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.4k, k=0,1,2,3,4,5

d) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5

e) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.8k, k=0,1,2

f) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5

g) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5

4. Милн әдісін қолданып 10^-4 дәлдікке дейін төмендегі теңдеулерді шешу. Бастапқы мәндерді бірқадамды әдістердің біреуімен анықтау.

a) , y(1)=1, a=1, b=2,

b) , y(0)=1, a=0, b=1,

109

(6.11)

(6.12)

(6.11)-теңдеу екі өлшемді қарапайым дифференциалдық теңдеу (ҚДТ) және (6.12)-бастапқы шарт берілсін. [x₀, x_n] аралығында у-тің мәндерін анықтап, функция графигін сызу керек болсын. Бұл есепті шешудің көпқадамды әдістері: Адамс және Милн әдістері деп аталады.

Адамс әдісінің идеясы бірқадамды әдіспен табылған мәндер кесте сын толықтыру немесе жалғастыру. Сондықтан есептеің берілгенінде бастапқы шартпен бірге бірнеше нүктедегі функция мәндері табылған болады.

Енді осы мәндердің шектік айырымдарын табамыз:

Енді функцияның мәндерін есептеу үшін Адамс формуласын қолданамыз. Ол екі түрлі:

1. 
   Экстраполяциялық формула:
   

110

2. 
   Интерполяциялық формула :
   

Бұл формуламен табылған мәндерін жөнделген немесе түзетілген функция мәндері деп атаймыз және , деп белгілейміз. Сосын (6.13) және (6.14)-формулалармен алынған мәндерді бір бірімен салыстырамыз. Егер төмендегі шарт орындалса:

Практикада есептеуді жеілдету үшін Адамстың басқа формулалары да қолданылады:

1-формуласы: ), (6.15)

2-формуласы: ), (6.16)

Мұндағы: ,

Бұл әдіс те Адамс әдісі сияқты мәндер кесте сын жалғастыруға мүмкіндік береді. Теңдеу, бастапқы шарт, және қандай да бір әдіспен табылған функцияның бірнеше мәндері берілсін. Функцияның қалған мәндерін анықтау керек.

(6.19)

(6.20)

1. 
   Алдын ала анықтау: ,
   
2. 
   Осы мәндерді қолданып
   

3. 
   Милннің 2-ші формуласымен алдында табылған мәндерді түзетеміз немесе дәлдейміз: .
   

4. 
   Табылған мәндердің қателігін бағалаймыз: . Бұл формула есептеудің әр қадамында алынған мәннің дәлдігін тексеріп отырады. Егер дәлдік берілсе және болса, онда деп алып y_i+1-лерді есептеуге болады, кері жағдайда қадамды кішірейту керек.
   

1- мысал: Адамс әдісін қолданып теңдеуін шешу. Бастапқы шарты y(0)=-1

Шешімі:

(6.15)-(6.16)-формулаларды қолданып есептейік. Рунге-Кутта әдісімен алдын ала бірнеше мәндер табылған болсын.

X₁=0.1 y₁=-0.97528

X₂=0.2 y₂=-0.94978

X₃=0.3 y₃=-0.92154

Есептеу қадамдарын 1-кестеге жазуға болады.

Кестені толтыру ережесіне тоқталайық:

1,2- бағандарға белгілі мәндерді толтырамыз. 3-бағанда у_k-дің (k=0,1,2,3)

белгілі мәндерін толтырамыз. Осы мәндерді қолданып,

1-кесте . теңдеуін шешудің алгоритмі.

1. 
   Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешудің көпқадамды сандық әдістерін атаңыз?
   
2. 
   Адамс әдісі?
   
3. 
   Милн әдісі?
   
4. 
   Қарапайым екіөлшемді дифференциалдық теңдеу қалай жазылады?
   

1. 
   Абсолютті және салыстырмалы қателіктер
   
2. 
   Қателіктерді бағалау әдістері
   
3. 
   Қателіктер теориясының тура есебі
   
4. 
   Қателіктер теориясының кері есебі
   
5. 
   Қателіктерге қолданылатын арифметикалық амалдар
   
6. 
   Функциялардың қателіктері
   
7. 
   Сызықты емес теңдеулердің түрлері
   
8. 
   Сызықты және сызықты емес теңдеулер туралы ұғым.
   
9. 
   Аралықты қақ бөлу әдісі
   
10. 
    Хорда әдісі
    
11. 
    Біріктірілген хорда және жанама әдісі
    
12. 
    Сызықты және сызықты емес теңдеулер жүйесі
    
13. 
    Теңдеулердің итерациялық түрі
    
14. 
    Теңдеулер жүйесінің итерациялық түрі
    
15. 
    Теңдеулерді және теңдеулер жүйесін итерациялық түрге келтіру әдістері
    
16. 
    Алгебралық және трансцендентті теңдеулер туралы ұғым.
    
17. 
    Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі
    
18. 
    Матрица және вектор ұғымы.
    
19. 
    Меншікті мәндер және меншікті векторлар
    
20. 
    Норма ұғымы. Метрикалық кеңістіктер.
    
21. 
    Сандық әдістердің нормада, метрикалық кеңістікте жинақтылығы
    
22. 
    Итерациялық әдістердің жинақтылығы
    
23. 
    Итерациялық процестерді құру
    
24. 
    Сандық интегралдау есебі.
    
25. 
    Интегралдау қадамын таңдау.
    
26. 
    Интегралдау қателіктерін бағалау
    
27. 
    Канторович әдісі және қателігі
    
28. 
    Гаусс әдісі және қателігі
    
29. 
    Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешудің бірқадамды әдісі
    
30. 
    Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешудің көпқадамды әдісі
    
31. 
    ҚДТ-ны шешу әдістерінің жинақтылығы
    
32. 
    Бастапқы және шекаралық шарттардың берілуі және айырмашылықтары
    
33. 
    Липшиц теоремасы және оның дифференциалдық теңдеулер шешіміне қатысы
    
34. 
    Шектік есептер ұғымы.
    
35. 
    ҚДТ үшін шектік есептердің қойылуы
    
36. 
    ҚДТ үшін шектік есептердің шешімінің жинақтылық шарттары
    
37. 
    ҚДТ үшін шектік есептерді шешудің итерациялық әдістері
    
38. 
    ҚДТ үшін шектік есептерді шешудің вариациялық әдістері
    
39. 
    Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің классификациясы
    
40. 
    Гиперболалық типті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер және оларды шешу әдістері
    
41. 
    Параболалық типті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер және оларды шешу әдістері
    
42. 
    Эллипстік типті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер және оларды шешу әдістері
    
43. 
    Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерінің жинақтылығы мен орнықтылығы
    

113

Сандық әдістер тарихы. Математикалық моделдеу мең есептеу(Қолданбалы есептерді шығару кезеңдері. Есептеу эксперимеңті сүлбесі. Есептеу алгоритмі. Сандық әдістер мең математикалық моделдеуге қойылатын негізгі талаптар.) Есептеу математика пәні. Есептеу информатикасы жайлы. Есеп шешімі қателерін жіктеу. Үнемді, орнықты алгоритмдер. Орындылық Аппроксимация (дискреттеу). Есептеу алгоритмдерін жүзеге асырудың инструмеңтальдық кұралдары. Абсолют және салыстырмалы қателіктер. Берілгеңдерді жазу түрлері. Функция кателігі. Түбірлерді бөлу есебі. Дихотомия ( қақ болу) әдісі. Жай итерация әдісі. Ньютон ( жанамалар әдісі) әдісі. Кесу сызыктар әдісі. Үздіксіз Ньютон әдісі. Итерациялык әдістердің геометриялық түсініктемесі..

формулалары-ең жоғары алгебралық дәлдікті интерполяциялық квадратуралар. Сандык интегралдаудьщ формулаларының бағалау қателіктерінің практикалык қолданылуы. Рунге ережесі. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебін сандық шешудің Эйлер әдістері. Эйлер әдісінің модификациялау. Рунге-Кутта әдісі. Екінші ретті сызықтық шектік есептерді шешудің қуу әдісі. Айырымдық аппроксимациясы. Жылу өткізгіштік және ішек тербелісінің бір өлшемді тендеулер үшін үнемді айырымдық сұлбаларға мысалдар. Жылу өткізгіштің сызықты емес теңдеулері және олар үшін айрымдық сұлбалар. Айрымдық сұлбапар үшін максимум принципі. Пуассон теңдеуі үшін Дирихле айырымдық есебінің орнықтылығы және жинақтылықгы зерттегендегі айнымалыларды бөлу әдісі. Торлы шектік есептерді шешудің итерациялық әдістері қарастырылған.

1. 
   Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Числеңные методы, М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.-632 с.
   
2. 
   Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В.Чижонков. Числеңные методы в задачах и упражнеңиях. М.: Высшая школа, 2000
   
3. 
   В.М. Вержбицкий Числеңные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнеңия, М.: Высшая школа, 2000.-266с.
   
4. 
   В.М. Вержбицкий Числеңные методы. Математический анализ и обыкновеңные диффереңциальные уравнеңия. М.: Высшая школа, 2001.-382с.
   
5. 
   Джон Г.Мэтьюз, Куртис Д. Финк Числеңные методы. Использование MatLab, 3-издание.: Пер. С англ.-М.:Издательский дом «Вильяме», 2001.-720с.
   
6. 
   В.И.Киреев, А.В. Пантелеев. Числеңные методы в примерах и задачах, М.: «Высшая школа», 2004.-480с.
   
7. 
   М.П.Лапчик, М.И. Рагулина, Е.Л..Хеңнер. Числеңные методы, М.: Издательский цеңтр «Академия», 2004.-384с.
   
8. 
   СВ. Поршнев Вычислительная математика. Курс лекций.-СПб.:БХВ- Петербург, 2004.-320с.
   
9. 
   С.В Поршнев, ИВ. Белеңкова Числеңные методы на базе MathCAD.- СПб.:БХВ-Петербург, 2005.-464с.
   
10. 
    Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Издательство «Лань», 2002-736с.
    
11. 
    А.И.Плисс, Н.А.Сливина MathCAD 2000. Математический практикум. М.: Финансы и статистика, 2000.-655с.
    
12. 
    Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В.Чижонков. Числеңные методы в задачах и упражнеңиях, М.: Высшая школа,2000.
    

1. 
   Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Числеңные методы - М., 1987
   
2. 
   Бахвалов Н.С. Числеңные методы - М., 1975
   
3. 
   Самарский А.А. Введеңие в числеңные методы,- М., 1987
   
4. 
   Самарский А.А., Гулин А.В. Числеңные методы - М., 1989
   
5. 
   Солтангазин О.М., Атанбаев С.А. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы 1-і кітап.-Алматы,2004.-384
   
6. 
   Волков Е.А. Числеңные методы.-М.:Наука,1987.-248 с.
   
7. 
   Марчук Г:И: Методы вычислительной математики.-М.:Наука,, 1980.-536 с.
   
8. 
   М., 1989.-608 с. М„ 1977.-456 с.
   
9. 
   Білімді бағалау туралы анықтама