Әдістемелік жинақ



бет9/40
Дата06.01.2022
өлшемі2,2 Mb.
#16295
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   40
Байланысты:
сандық әдіс әдістемелік кешен

(1.4)

  1. х* нүктесіндегі функция мәнін F(x*)-ны есептеу. Оның таңбасын екі шеткі нүктедегі функцияның таңбасымен салыстырылады. Егер f (xn) және f(x*) функциясының таңбасы бірдей болса, онда хорданы xn+1 және x* нүктесі арқылы жүргізіледі. Оның мәнін (1.4) формуламен табады. Егер f(xn+1) мен f(x*) функцияның таңбалары бірдей болса, онда хорданы xn және x* нүктесі арқылы жүргізіледі. Шыққан нүктенің мәні (1.4) формуламен есептелінеді.

  2. x* нүктедегі мәнін есептеп, мәні нөлге жуық болса , онда x* нүктесі (1.1) теңдеудің түбірі деп аталады. Егер нөлге жуық болмаса, онда процесс жалғасады.

Алдындағы мысал үшін программасы келесідей болады:

Ньютон әдісі

Алдыңғы әдістерге қарағанда бастапқы жуықтау дұрыс таңдалынып алынса Ньютон әдісі тез жинақталады. Бұл әдіске қатысты теореманы келтіре кетейік:



Теорема 1.3.: f(x) функциясы [a,b] аралығында анықталған және екі ретті туындысы бар, осы аралықта түбір жатыр f(a)*f(b)<0, туындылардың таңбалары осы аралықта тұрақты болса f(x)*f'(x)>0, онда f(x0)*f''(x0)>0 теңсіздігін қанағаттандыратын бастапқы жуықтаудан бастап (1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын [a,b] лығында жататын жалғыз шешімге жинақталатын итерациялық тізбек құруға болады.

10

Ньютон әдісінің геометриялық мағынасы: координаталары (xn;f(xn)) , болатын нүктеден қисыққа жанама жүргізсек, оның ох өсімен қиылысу нүктесі теңдеудің түбіріне хn+1 – кезекті жуықтау болып табылады.



Түбірге n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін келесі теңсіздіктің орындалуын қадағалау керек:. Мұндағы М2 – функцияның екінші ретті туындысының аралықтағы максимумы, m1- минимумы. Егер, болса, онда болады, яғни түбірге дұрыс жуықталынса, әр итерациядан кейін кезекті жуықтаудың ондық таңба саны екіге артады да процесс тез жинақталады. Егер түбірді берілген е дәлдікпен табу керек болса, итерациялық процесті шарты орындалғанша жалғастырамыз.

Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері

Екі теңдеуден тұратын екі белгісізді сызықты емес теңдеулер жүйесін қарастырайық: (1.5)

Бұл есептің мақсаты - екі теңдеудің графигінің қиылысу нүктелерін анықтау.

Ньютон әдісі

Екі теңдеудің графигін сызып екеуінің қиылысу нүктелері жатқан облысты белгілейміз де осы облыстан жуықтап бастапқы жуықтауларды (x0, y0) таңдап аламыз ([3] қараңыз). Келесі жуықтауларды мына формулалармен есептейміз:



Мұндағы якобиан деп аталады.

Бұл әдіс бастапқы жуықтаулар түбірге жақын алынған уақытта тиімді.

Қарапайым итерация әдісі

(1.5)-ші жүйе берілсін. Бұл әдісті қолданбас бұрын жүйені итерациялық түрге келтіріп алады: (1.6.)

Теңдеулердің графиктерін құру арқылы бастапқы жуықтауларды беріп, келесі жуықтауларды мына формуламен есептейді:

n=0,1,2,... (1.7.)

Бұл әдістің жинақтылығын теореманың шарттарымен тексеру керек.


Теорема 1.4: Әлдебір тұйық облыста (1.5)-ші

жүйенің жалғыз шешімдері бар болсын: . Егер:


11

1) және функциялары облысында анықталған және үзіліссіз болса,

2) бастапқы және келесі жуықтаулардың барлығы осы облыста жатса,

3) осы облыста мына теңсіздіктер орындалса:



(1.8)

онда (1.6)-ші итерациялық процесс өзінің жалғыз шешіміне жинақталады, яғни , .


Қателігін бағалау:

. M=max(q1;q2).
Кей жағдайда (1.6)-ші итерациялық процестің орнына Зейдель процесін қолдануға болады:

n=0,1,2,... (1.9)



Жүйені итерациялық түрге келтіру

(1.5)-ші жүйені (1.6)-ші итерациялық түрге келтіру үшін келесі тәсілдерді қолданған дұрыс.



, болсын. (1.10)

Коэффициенттерді мына жүйеден табамыз:





(1.11)

Параметрлерді осылай таңдап алу арқылы (1.8)-ші шарттың орындалуын талап етуге болады.




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   40




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет