Әдістемелік жинақ

ХХ ғасырдың орта шенінде атом энергиясын игерудің күрделі жұмыстарына байланысты алғашқы электрондық машиналардың пайда болуы және оларды ары қарай жетілдіру ғылым мен техника саласында революциялық өзгерістер жасады. Ғылымда зерттеу жұмыстарының әдістері күрт өзгеріп, күрделі құбылыстарды зерттеу мен болжау мүмкіндіктері жаңа деңгейге көтерілді. Соның нәтижесінде ғасырлар бойы шешілмей келген ірі ғылыми-техникалық проблемалар өз шешулерін тапты. Ғарышта, атом энергиясын игерудегі жетістіктер электроника мен информатика саласындағы табыстармен тікелей байланысты. Бүгінгі есептеу техникасы күнделікті от басындағы тіршіліктен бастап ғарыштағы күрделі техникалық жүйелерді басқаруға дейін қолданылып жүр. Осы саладағы қол жеткен жетістіктер, бір жағынан математика ғылымының жедел дамуына байланысты болса, екінші жағынана, электрондық есептеуіш машиналар (ЭЕМ) математиканың дамуына өз әсерін тигізді. Мұның бір дәлелі – ЭЕМ-дер математикалық алгоритмдермен және бағдарламалармен жабдықталған.

Электрондық машиналар арқылы есептеу және ойлау жылдамдығы бірнеше миллион есе артып, ғылым мен техниканың күрделі есептерінің математикалық модельдерін жасауға мүмкіндік туды.

Тәжірибелік зор мәні бар есептерді электрондық есептеуіш машиналар арқылы шешу бірнеше сатыдан тұрады:

Көп жағдайда есептерді математикалық әдістер арқылы ЭЕМ-де дәл шешу мүмкін болмайды. Себебі, біріншіден, ЭЕМ-ді пайдаланар алдында математикалық есептер шекті өлшемге келтіріледі. Шекті өлшемге келтіру, әдетте берілген есепті дискреттеу арқылы орындалады. Бұл жағдайда функцияның үзіліссіз аргументтері дискретті аргументтермен алмастырылады. Есеп дискреттелгеннен кейін оның есептеу алгоритмі құрылып, керекті математикалық және логикалық амалдардың ЭЕМ арқылы қай тәртіпте орындалатыны көрсетіледі.

5

Ғылым мен техникада көптеген есептер функциялар, алгебралық, дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы математика тілінде сипатталып жазылады. Мұндай есептер түрліше жолдармен шешіледі. Анализдік әдістер сондай жолдардың бірі болып табылады. Бірақ оларды пайдалану көп жағдайда мүмкін бола бермейді.

Есептеу кезінде анализдік әдістерді пайдалану қиындық келтірген немесе тіпті пайдалану мүмкін болмаған жағдайда есептеу математикасының сандық әдістері қолданылады. Ол әдістер бастапқы берілген есепті мағынасы бойынша соған жуық басқа есеппен алмастыру мүмкіндігіне негізделген. Ал соңғы есеп кейбір шарттарды қанағаттандыруы тиіс. Мәселен шешімнің бар болуы, орнықты, жинақты болуы және т.с.с. бұл есептің шешімі алғашқы есептің жуық шешімін беруі тиіс немесе оған белгілі бір дәлдікпен жинақталуы қажет.

Дәл және жуық шешімдердің айырымын жуықтау немесе әдіс қателігі деп атайды.

Есепте негізгі деректер, яғни ондағы коэффициенттер, бос мүшелер немесе қосымша шарттар жуық шамалармен берілуі мүмкін, соның нәтижесінде пайда болған қателіктерді жөнделмейтін (түзетілмейтін) қателіктер деп атайды.

ЭЕМ-де цифрлар саны шексіз көп сандармен арифметикалық амалдар қолданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны шектеулі жуық сандармен алмастырылады. Ол, әдетте, орта мектептен белгілі дөңгелектеу әдісі арқылы жүзеге асырылады. ЭЕМ-де дөңгелектеу амалы арифметикалық амалдар орындалған кездерде де жүргізіледі. Өйткені нәтижеде цифрларының саны шексіз көп сандар пайда болуы мүмкін. Осындай дөңгелектеулердің салдарынан пайда болған қателіктерді есептік қателіктер деп атайды. Олар есептің жуық шешімінің дәлдігіне тікелей әсерін тигізетіні анық.

Шамалардың жуық мәндері жуық сандармен беріледі. Сандық әдістер немесе есептеу әдістері пәндерінде алынған нәтижелердің барлығы жуық шешімдер деп аталады. Тура шешім мен жуық шешім айырмасы әдіс қателігі немесе дөңгелектеу қателігі деп аталады. Қателіктер 3 түрге бөлінеді:

1. 
   Әдіс қателігі
   
2. 
   Шеттетілмейтін қателік
   
3. 
   Есептеу қателігі
   

Бұл қателіктердің өздері абсолютті және салыстырмалы ([3] қараңыз) болады.

1. 
   Егер а саны – тура мән, а^* саны оған белгілі жуықтау болса, онда жуықтаудың абсолютті қателігі деп - олардың айырымын, ал шектік абсолютті қателігі деп мына шартты қанағаттандыратын қателікті айтады: .
   
2. 
   Жуықтаудың салыстырмалы қателігі деп келесі шартты қанағаттандыратын шартты айтады: немесе
   

3. 
   Санның мәнді цифрлары деп оның жазылуындағы солдан бастағанда нөлден өзгеше барлық цифрларын айтады.
   
4. 
   Мәнді цифрды дұрыс дейді, егер санның абсолютті қателігі осы цифрге сәйкес разряд бірлігінің жартысынан аспаса.
   

Арифметикалық операциялар нәтижелерінің қателіктері

1. 
   Қосынды қателігі. F(x)=x=x₁+x₂+x₃+…+x_n қосындысы берілсін.
   

Егер болса, онда , ал n>=10 болса, Чеботарев формуласы қолданылады: .

a) айырманың абсолютті қателігі: .

b) айырманың салыстырмалы қателігі:

.

3 Көбейтіндінің қателіктері. X=x₁*x₂*…*x_n көбейтіндісі берілсін. Көбейткіштердің жуық мәндері және абсолютті, салыстырмалы қателіктері белгілі болсын.

a) көбейтіндінің абсолютті қателігі: .

b) көбетіндінің салыстырмалы қателігі: .

4 Бөліндінің қателігі: бөліндісі берілсін. Алымы мен бөлімінің жуық мәндері, абсолютті, салыстырмалы қателіктері берілген болсын.

a) бөліндінің абсолютті қателігі: .

Анықтама бойынша: шарты орындалса, 3 цифрын дұрыс цифр деуге болады. Шындығында 0,0025<0,05 екен, яғни 3 - дұрыс цифр. 9 цифрын тексерсек: 0,0025<0,005, яғни 9 цифры да дұрыс. Ал 4 пен 1 цифрлары үшін 0,0025<0,0005 және 0,0025<0,00005

болғандықтан, олар күмәнді цифрлар болады. Қорыта айтқанда үтірден кейінгі 3 және 9 цифрларын жоғалтпау керек, яғни санды 0,39 деп дөңгелектеуге болады, 0,4 деп дөңгелектесек дөңгелектеу қателігі өсіп кетеді. Санның дұрыс цифрлар саны төртеу.

8 цифры - дұрыс, өйткені: .