Екi айнымалылы функцияның экстремумдары
жүктеу/скачать 115,81 Kb.
|
|
Екi айнымалылы функцияның экстремумдары. Анықтама. Егер нүктесiнiң мейлiнше аз аймағында теңсiздiгi орындалса, онда нүктесi функциясының локальдi максимум (минимум) нүктесi деп аталады. Функцияның максимумын немесе минимумын оның экстремумдары деп айтады. Функцияның экстремум мәнi қабылданатын нүктенi экстремум нүктесi деп атайды. Экстремум болуының қажеттi шарттары. Егер нүктесi экстремум нүктесi болса, онда бұл нүктеде дербес туындылар нөлге тең болады: және немесе бұл туындылардың ең болмағанда бiреуi жоқ болады. Экстремум нүктелерi әр уақытта сын нүктелер болып табылады. Ал сын нүктелерi әр уақытта экстремум нүктелерi бола бермейдi. Экстремум болуының жеткiлiктi шарттары. Белгiлеулер енгiзелiк: . (1.19) Айталық, функциясының сын нүктесiнiң мейлiнше аз аймағында бiрiншi, екiншi және үшiншi реттi үзiлiссiз дербес туындылары бар болсын. Сонда 1) егер болса, онда экстремум нүктесi болады және болғанда, максимум нүктесi болады, ал болғанда минимум нүктесi болады; 2) егер болса, онда нүктесiнде экстремум болмайды; 3) егер болса, онда бұл нүктеде экстремум болуы да, болмауы да мүмкiн. Бұл жағдайда бұл нүктеде экстремум барын не жоғын анықтау үшiн, жоғары реттi дербес туындылар қарастырылады. Бұл тақырыптар бағдарламаға кiрмегендiктен, бiз қарастырмаймыз. 1 мысал. функциясының экстремумдарын зертте. Шешуi: әуелi сын нүктелерiн табамыз. Ол үшiн бiрiншi реттi дербес туындыларын тауып, оларды нөлге теңестiремiз: . Осыдан және екi сын нүктелерiн табамыз. Ендi екiншi реттi туындыларды тауып, олардың сын нүктелердегi мәндерiн есептеймiз: , . Сын нүктелерде экстремумның бар болуын жеткілiктi шартты пайдаланып тексеремiз: нүктесiнде , яғни бұл нүктеде экстемум жоқ. нүктесiнде . Сондай-ақ, . Сондықтан . 1) Ескерту. Егер болса, онда , яғни . Демек, А және С бiрдей таңбалы болады. Осыдан функцияның экстремумы бар болса, онда А және С бiрдей таңбалы болатындығы айқын болады. 2) Ескерту. Қарастырылған мысалда екi сын нүктенiң бiреуi экстремум нүктесi болмады. Демек, барлық сын нүктелер экстремум нүктелерi бола бермейтiндiгiне көз жеткiздiк. Екi айнымалылы функцияның ең үлкен және ең кiшi мәндерi. Шектелген тұйық облыста анықталған үзiлiссiз функция өзiнiң ең үлкен және ең кiшi мәндерiн осы облыстың iшкi нүктелерiнде немесе шекаралық нүктелерiнде қабылдайды. Функцияның шектелген тұйық облыстағы ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табу үшiн: 1) функцияның сын нүктелерiн тауып, осы нүктелердегi мәндерiн есептеу керек; 2) облыстың шекарасындағы ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табу керек; 3) табылған мәндердi өзара салыстырып, олардың ең үлкен және ең кiшi мәндерiн алу керек. Ескерту. Егер функциясының анықталу облысының шекарасы бiр немесе бiрнеше кесiндiлерден (доғалардан) тұрып, немесе теңдеулерiмен анықталса, онда осы кесiндiлерде (доғаларда) берiлген функция бiр айнымалы функция болады, яғни немесе . Шартты экстремумдар. Егер нүктесiнiң мейлiнше аз aймағында тәуелсiз айнымалылар X пен Y байланыс теңдеуiн қанағаттандырып және теңсiздiгi орындалса, онда екi айнымалылы функциясының нүктесiнде шартты максимумы (минимумы) бар дейдi. Мұндағы байланыс теңдеуi деп аталады. Шартты экстремумдарды табу үшiн Лагранж функциясының жәй экстремумдарын тапса, жеткiлiктi: , мұндағы – Лагранж көбейткiшi деп аталады. Шартты экстремумдардың қажеттi шарттары: . (1.20) Осы шарттардан – табылады. Мұндағы – сын нүкте, яғни бұл нүктеде шартты экстремум бар болуы мүмкiн. Шартты экстремумдардың жеткiлiктi шарттары: Айталық , (1.20) жүйесінің бiр шешiмi болсын және . Сонда, егер болса, онда функциясының нүктесiнде шартты максимумы болады, егер болса, нүктесiнде шартты минимумы болады. жүктеу/скачать 115,81 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|