Абсолют жəне шартты жинақты қатарлар
жүктеу/скачать 288,54 Kb.
|
| Теорема. Егер таңбалары кезекпен ауысып отыратын (33) қатардың мүшелері келесі теңсіздіктерді қанағаттандыратын болса
және болса, онда мұндай қатар жинақты болады. (33) қатардың бірінші 2n мүшелерінің қосындысын деп белгілейік. Сонда (34) Теореманың шарттары бойынша сандар біркелкі кемиді, олай болса жақшалардың ішіндегі айырмалардың таңбалары оң. Сондықтан (34) теңдікті былай жазуға да болады: Осы кейінгі теңсіздіктен мынадай қортындыға келеміз: сандардан тұратын тізбек біркелкі үдемелі. (34) теңдікті тағы да мына түрде жазуға болады: Бұл арадан мынадай теңдікке келеміз: Сонымен, сандардан тұратын тізбек біркелкі үдемелі жəне оң жағынан шектелген болатын болады. Демек, тізбек жинақты, яғни Егер айнымалы таңбалы қатарының мүшелерінің аюсолют шамаларынан құралған қатар жинақты болса, онда берілген қатарды абсолютті жинақты деп атайды. Егер айнымалы таңбалы қатардың мүшелерінің абсолюттік шамаларынан құралған қатар жинақсыз болса, ал оның өзі жинақты болса, онда мұндай қатарды шартты жинақты деп атайды. (8.2) мысалында келтірілген қатар шартты жинақты қатар.
қатары абсолютті жинақты қатар болады, себебі берілген қатардың мүшелерінің абсолюттік шамаларынан құралған қатар жинақты. Айнымалы қатарлардың ішіндегі абсолютті жинақты қатарлардың ақырлы қосындылары негізгі қасиеттерге бағынады (үлестірімділік, ауыстырымдылық, терімділік). Абсолютті жинақты қатарлардың негізгі қасиеттерін дәлелдемелерін келтірейік. 1. Егер қатар абсолютті жинақты болса және оның S қосындысы бар болса, оның мүшелерін ауыстырғаннан шыққан қатар да жинақты болады және оның берілген қатардың қосындысындай S қосындысы бар болады. (Дирихле теоремасы). 2. S1 және S2 қосындысы бар абсолютті жинақты қатарларды мүшелеп қосуға болады (азайтуға). Нәтижесінде абсолютті жинақты қатар шығады, оның қосындысы S1 +S2 -ге тең (немесе сәйкес S1 -S2). 3. u1+u2+…+ және v1+v2+…+ қатарларының көбейтіндісі деп келесі қатар:
S1 және S2 қосындысы абсолютті жинақты қатарлардың көбейтіндісі абсолютті жинақты қатар болады және оның қосындысы S1 -S2 -ке тең. Сонымен абсолютті жинақты қатарлар кәдімгі сандық қатарлар сияқты біріне қосылады, азайтылады және көбейтіледі. Мұндай қатарлардың қосындысын олардың мүшелерінің жазылу ретінен тәуелсіз болады. Қатарлар шартты жинақты болған жағдайда сәйкес ұйғарымдар (қасиеттер) жалпы айтқанда орындалмайды. Шартты жинақталатын қатардың a мүшелерінің орындарын ауыстырып, қосынды берілген жинақты қатар немесе жинақсыз қатар алуға болады (Риман теоремасы). Сондықтан қатардың абсолютті жинақты қатар екеніне көз жеткізбей тұрып, қатарларға амалдар қолдануға болмайды. Абсолютті жинақты қатарды анықтау үшін оның жалпы мүшелерін абсолют шамасымен ауыстырып, оң таңбалы қатарлардың барлық жинақталу белгілерін қолданылады. Мысалдар жүктеу/скачать 288,54 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|