КЕЙБІР ФИЗИКАЛЫҚ-ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЫҒАРУДА

406 

 

4 км/сағ   жылдамдықпен қозғалады, ал жолаушы, қайықтан түсіп,  сағатына 5 км жүре алады. 

Жолаушы селоға ең аз уақытта  жету  үшін  қайық жағаның  қай тұсына келіп  тоқтауы керек?  

   Шешуі: 

 

(1-сурет) 

     Қайықтағы  жолаушының    көл  бетіндегі  орнын  D  деп  алайық.  Ал    жолаушының  

жағалауға  шыққан жерінен  В нүктесіне  дейінгі қашықтықты  

ВС = ?????? ???????????? болсын(1-сурет). Онда 

жолаушының   жағаға шыққан жерінен  жағалау нүктесіне дейінгі қашықтық  

???????????? = 5 − ??????  ????????????   ,  

көлдегі  қайықтың  тұрған  орнына    дейінгі  қашықтық 

???????????? = √(5 − ??????)

2

+ 3

2

 болады.  Енді 

жолаушының  барлық  жүрген жолына кеткен t уақытты  табайық. Оның  қайықпен жүргендегі  

жылдамдығы 4 км/сағ ,  уақыты    

??????

1

=

√(5−??????)

2

+3

2

4

 ,  ал  жаяу жүргендегі  жылдамдығы  5 км/сағ,  

уақыты   

??????

2

=

??????

5

.  Cонда  жолаушының    жалпы  жүрген  жолына  кеткен  уақыт   

?????? = ??????

1

+ ??????

2

 ,  яғни   

?????? =

√(5−??????)

2

+3

2

4

+

??????

5

.    Енді  осы 

??????(??????) -    функциясының   ?????? ∈ [0; 5] аралығындағы    ең  кіші  мәнін 

табайық. Ол үшін  

??????(??????) -  функциясын экстремумға зерттейік. 

??????

′

(??????) = −

1

4

2(5−??????)

2√(5−??????)

2

+3

2

+

1

5

=   −

5−??????

4√(5−??????)

2

+3

2

+

1

5

;             ??????

′

(??????) = 0

 - 

теңдеуінен  

−

5−??????

4√(5−??????)

2

+3

2

+

1

5

= 0 ;  −

5−??????

4√(5−??????)

2

+3

2

= −

1

5

    , бұдан   

5(5 − ??????) = 4√(5 − ??????)

2

+ 3

2

  ; 

       

25

16

(5 − ??????)

2

= (5 − ??????)

2

+ 9    немесе    (5 − ??????)

2

= 16  ;  5 − ?????? = ±4      бұдан        ??????

1

=

1  ;   ??????

2

= 9  болатын сындық нүктелерін алдық.Мұндағы  ??????

2

= 9  ізделінді  аралыққа кірмейді  

??????

2

∉ [0; 5], сондақтан біз сындық нүкте ??????

1

= 1 -дегі және кесіндінің ұшарындағы нүктелердегі 

функцияның мәндерін табайық:  

??????(0) =

√(5 − 0)

2

+ 3

2

4

+

0

5

=

√5

2

+ 3

2

4

=

√34

4

≈ 1,46 сағ 

??????(1) =

√(5 − 1)

2

+ 3

2

4

+

1

5

=

√4

2

+ 3

2

4

+

1

5

=

5

4

+

1

5

=

29

20

= 1,45сағ 

??????(5) =

√(5 − 5)

2

+ 3

2

4

+

5

5

=

3

4

+ 1 = 1,75сағ 

    Осы мәндерді салыстырсақ, ең  кішісі 

  ??????(1) = 1,45 сағ , яғни  жолаушы  В селосынан 1 

км  қашықтықтағы  жерден жағаға  шығу керек. 

407 

 

     Біз бұл есепті бірінші дифференциалдық есептеулерді қолданып шығардық.Енді  осы 

есепті дифференциалдық есептеулерді  қолданбай  шығарып көрейік. Олай болса , АВ  кесіндісін  

өзара тең  бес  бөлікке  бөліп, жолаушының  жағадағы А  нүктесінен  бастап әрбір 1км  сайынғы  

нүктеден  шығып  В нүктесіне  барғандағы  уақытты  жеке-жеке  есептейік(2-сурет). 

 

 

(2-сурет) 

  Ең алдымен  жолаушы  жағалаудағы ең жақын   А  нүктесінен  шықсын, яғни, 

3

AD

km



; 

5

AB

km



,    жолаушының    судағы  жылдамдығы    4км/сағ,ал    жағадағы  жылдамдығы  5км/сағ, 

онда  жолаушының  барлық  жолға жұмсаған уақыт 

1

3

5

3

1

1, 75

4

5

4

5

4

AD

AB

t

cаг





  



 болады. 

  Екінші рет  жолаушы  А  нүктесінен  1 км  қашықтықтағы   G  нүктесінен  шықсын, яғни,

1

;

AG

km



5 1 4

BG

AB

AG

km





  

;ал

2

2

2

2

3

1

10

DG

AD

AG

km







 

 болады. 

Жолаушының  судағы  жылдамдығы  4 км/сағ  болғандықтан, 

D

 дан 

G  -ге дейін баруға  кеткен 

уақыт  

10

0, 79

4

4

DG

саг





, ал жағадағы жылдамдығы 5 км/сағ  болғандықтан,   G  ден  

B

-ға 

дейін баруға кеткен уақыт 

4

0,8

5

5

BG

саг

 

 . Сонымен  жолаушының  барлық  жолға жұмсаған 

уақыты  

2

0, 79 0,8 1,59

t

cаг







 болады. 

  Үшінші  рет  жолаушы  А  нүктесінен  2 км  қашықтықтағы   F  нүктесінен  шықсын, 

яғни, 

2

;

AF

km



5 2

3

BF

AB

AF

km





  

;  ал 

2

2

2

2

3

2

13

DF

AD

AF

km











 болады.  

Жолаушының  судағы  жылдамдығы  4км/сағ  болғандықтан, 

D

 дан 

F

 -ге дейін баруға  кеткен 

уақыт   

13

0,90

4

4

DF

саг





,  ал  жағадағы  жылдамдығы  5  км/сағ    болғандықтан, 

F

 тен   

B

-ға 

дейін баруға кеткен  уақыт 

3

0, 6

5

5

BF

саг

 

.Сонымен  жолаушының  барлық  жолға жұмсаған 

уақыты  

3

0,90 0, 6 1,5

t

cаг







 болады. 

Төртінші рет  жолаушы  А  нүктесінен  3 км  қашықтықтағы   Е  нүктесінен  шықсын,яғни,

3

;

AE

km



 

5 3

2

BE

AB

AE

km





  

;  ал 

2

2

2

2

3

3

18

3 2

DE

AD

AE

km

km













 

болады. Жолаушының  судағы  жылдамдығы  4 км/сағ  болғандықтан, 

D

 дан 

E

 -ге дейін баруға  

кеткен уақыт  

3 2

1, 06

4

4

DE

саг





, ал жағадағы жылдамдығы 5 км/сағ  болғандықтан,  

E

 ден  

B

-ға  дейін  баруға  кеткен  уақыт 

2

0, 4

5

5

BE

саг

 

.  Сонымен    жолаушының    барлық    жолға 

жұмсаған уақыты  

4

1, 06 0, 4 1, 46

t

cаг







 болады. 

408 

 

 Бесінші рет жолаушы  А  нүктесінен  4 км  қашықтықтағы   С  нүктесінен  шықсын, яғни,

4

;

AС

km



 

5 4 1

BС

AB AС

km





  

; ал 

2

2

2

2

3

4

25

5

DС

AD

AC

km

km













 болады. 

Жолаушының  судағы  жылдамдығы  4 км/сағ  болғандықтан, 

D

 дан 

С  -ге дейін баруға  кеткен 

уақыт  

5

1, 25

4

4

DС

саг

 

, ал жағадағы жылдамдығы 5 км/сағ  болғандықтан,  

С  дан  

B

-ға дейін 

баруға кеткен уақыт 

1

0, 2

5

5

BС

c

с





 . Сонымен  жолаушының  барлық  жолға жұмсаған уақыты  

5

1, 25 0, 2 1, 45

t

c







 болады. 

 Ең соңында   жолаушы  А  нүктесінен  5 км  қашықтықтағы   В  нүктесінен  шықсын,яғни, 

5

;

AB

km



   ал 

2

2

2

2

3

5

34

BD

AD

AB

km











 болады.  Жолаушының    судағы  

жылдамдығы    4  км/сағ    болғандықтан, 

D

 дан 

С  -ге  дейін  баруға    кеткен  уақыт  

34

1, 46

4

4

DB

саг





,  ал  жағадағы  жылдамдығы  5  км/сағ    болғандықтан, 

A

 дан   

B

-ға  дейін 

баруға кеткен уақыт 

5

1

5

5

AB

саг

 

. Сонымен  жолаушының  барлық  жолға жұмсаған уақыты  

6

1, 46 1 2, 46

t

cаг



 

 болады. 

  Енді 

осы 

 

барлық 

 

мүмкін 

 

мәндердің  

1

2

3

4

5

6

1, 75

;

1,59

;

1,5

;

1, 46

;

1, 45

;

2, 46

t

cаг t

cаг t

cаг t

cаг t

cаг t

cаг













   ішінде    тек    бесінші  

жағдайдағы  уақыт  ең  кіші,  яғни   

5

1, 45

t

cаг



.  Бұл    жолаушының    В  нүктесінен    1  км 

қашықтықтағы  С  нүктесінен    жағаға    шығып,  В  нүктесіне    жеткендегі  уақыты.  Бірақ      бұл 

нүктенің   дәл  біз  іздеп отырған  нүкте екенін  анықтау үшін, бұл нүктенің  маңайынан  бірқанша 

нүктелер алып , салыстырып көру қажет. 

   Алдымен  А нүктесінен  3,5 км  қашықтықтағы  N  нүктесін алайық. Онда жолаушының  

бұл  нүктеден    жағаға  шығып,  одан  В    нүктесіне    барғанға  жұмсаған  уақытын  есептейік:

3,5

;

AN

km



 

5 3,5 1,5

BN

AB

AN

km





 



; 

ал 

2

2

2

2

3

3,5

21, 25

4, 6098

DN

AD

AN

km

km













 болады. 

Жолаушының    судағы  

жылдамдығы    4  км/сағ    болғандықтан, 

D

 дан  N  -ге  дейін  баруға    кеткен  уақыт  

4, 6098

1,1524

4

4

DN

саг





, ал жағадағы жылдамдығы 5 км/сағ  болғандықтан,   N  нен  

B

-ға дейін 

баруға  кеткен  уақыт 

1, 5

0, 3

5

5

BN

саг





 .  Сонымен    жолаушының    барлық    жолға  жұмсаған 

уақыты   

1,15 3 1, 4524

n

t

cаг



 

 болады.  Егер    А    нүктесінен    4,5  км    қашықтықтағы    M  

нүктесінен  шықса , онда жолаушының  бұл нүктеден  жағаға шығып , В  нүктесіне  барғанға 

жұмсаған уақытын есептейік:  

 

4,5

;

AM

km



 

5 4,5

0,5

BM

AB

AM

km





 



; 

ал

2

2

2

2

3

4,5

29, 25

5, 408

DM

AD

AM

km

km













 болады. 

Жолаушының    судағы  

жылдамдығы    4  км/сағ    болғандықтан  , 

D

 дан 

M

 -ге  дейін  баруға    кеткен  уақыт  

5, 408

1,352

4

4

DM

саг





, ал жағадағы жылдамдығы 5 км/сағ  болғандықтан,  

M

 нен  

B

-ға дейін 

баруға  кеткен  уақыт 

0, 5

0,1

5

5

BM

саг





 .  Жолаушының    барлық    жолға  жұмсаған  уақыты  

1,352 0,1 1, 452

m

t

cаг







 болады. 

409 

 

   Енді  осы  мәндерді  салыстырайық: 

;

c

n

c

m

t

t t

t





.  Осылай    С  нүктесінің    екі    жағынан  

нүктелер алып, С нүктесіне  барынша  жақындатсақ, С нүктенің  дәл  біз іздеген  нүкте екеніне  

көз  жеткіземіз.  Сонымен      мынадай    қорытындыға    келеміз,  жолаушы    В    селосынан    1    км  

қашықтықтағы  С  нүктесінен  шықса , уақытты ең  аз жұмсайды екен. 

   Бұл  берілген  есептің    екі  тәсілін  қарастырдық,яғни,бірінші  жолы  дифференциалдық 

есептеулерді қолдану арқылы шығарсақ, екінші жолы дифференциалдық есептеулерді қолданбай 

шығардық.  Бұдан  екінші  тәсілге  қарағанда,  бірінші  тәсілмен  шығарған  ең  тиімді,есептеуге 

кететін уақыт аз және есептің нақты,дәл шешімін алатынымызді көрдік. Сондықтан, оқушыларға 

дифференциалдық  есептеулерді  осындай  есептерді  шығартуда    қолдану,  оларды  олимпиадаға 

дайындауға, мамандық таңдауға көмектеседі деп ойлаймыз. 

    

ӘДЕБИЕТ 

1.

 

А.Н.Колмогоров,А.М.Абрамов,Ю.П.Дудницын,Б.М.Ивлев,С.И.Шварцбурд.Алгебра 

және анализ бастамалары, (10-11 сынып). Алматы-2002. 

2.

 

Погорелов А.В. Геометрия  Орта мектептің  7 – 11-сыныптарына арналған оқулық.3 

басылым – Алматы : Рауан,1997. 

3.

 

Берікханова Г.Е. «Математикалық анализдің есептік практикумы»  Семей - 2015  

 

 

 

УДК 517.958:536.2;  

 

 

THE ANALYTICAL SOLUTIONS OF HEAT EQUATIONS BY USING THE 

METHOD OF INTEGRAL ERROR FUNCTIONS

 

Математические модели теплопроводности 

 

Targyn Nauryz, Bizhigit Sagidolla, ZhangirRayev 

Suleyman Demirel University, 

 

KEYWORDS: Integral Error Functions, Heat equations 

ABBREVIATIONS: IEF-Integral Error Functions 

ABSTRACT: The main idea of the developed method is based on use of Integral Error 

Functions and its properties are to find coefficients of linear combination which a priory 

satisfies the heat equation. The main purpose of this method is to solve problems with 

moving (known) boundaries. 

 

INTRODUCTION: 

 

The integral error functions determined by recurrent formulas 

              

v

erfcvd

i

erfcx

i

x

n

n









1

,      n=1,2,…        

v

d

v

erfcx

erfcx

i

x











)

exp(

2

2

0



     

410 

 

were introduced by Hartree  in 1935. 

  One can obtain   











x

n

n

dv

v

x

v

n

erfcx

i

)

exp(

)

(

!

1

2

2



                            

   They satisfy the differential equation   

                                          

0

2

2

2

2







erfcx

ni

erfcx

i

dx

d

x

erfcx

i

dx

d

n

n

n

                            

and recurrent formulas      

erfcx

xi

erfcx

i

erfcx

ni

n

n

n

1

2

2

2









                                        

 Integral error functions (some times they are called also Hartree functions) are very 

useful for investigation of heat transfer, diffusion and other phenomena which can be 

described by the equation                    

                                     

2

2

2

x

u

a

t

u











                                                         

in a region  

))

(

0

,

0

(

t

x

t

D









  with free boundary  

)

(t

x





  , since the functions 

                            

t

a

x

erfc

i

t

t

x

u

n

n

n

2

)

,

(

2







                                                              

satisfy the heat equation  as well as their linear combination or even series 

                      

)]

,

(

)

,

(

[

)

,

(

0

t

x

u

B

t

x

u

A

t

x

u

n

n

n

n

n













 

for any constants

n

A

,   

n

B

.   We can choose these constants to satisfy the boundary 

conditions at  

0



x

  and    

)

(t

x





, 

жүктеу/скачать 15,88 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: