Дәріс электродинамиканың негізгі ұҒымдары алдағы үш тарауда басты міндеттердің бірі шешіледі – классикалық электродинамиканың құрылысын салу және егжей-тегжейлі талқылау. Ол кестеде келтірілген
Стационар магнит өрісі үшін теңдеулер
жүктеу/скачать 0,7 Mb.
|
| 7.3. Стационар магнит өрісі үшін теңдеулер.
Келесі қиындық дәрежесі Максвелл теңдеулерінде (2.8.1) уақыт бойынша жартылай туындыларды нөлге тең қоюға болады, алайда электр тогы нөлге айналады. Бұл жағдайда біз тағы да электрлік және магниттік өрістер үшін екі тәуелсіз теңдеулер жүйесін аламыз: (7.27.1) Олар сипаттайтын электромагниттік өріс стационарлық деп аталады. Бірақ макроскопиялық және микроскопиялық деңгейлерде қарастырған кезде бұл терминнің түсіндірмесі біршама ерекшеленетінін есте ұстаған жөн. Макроскопиялық тәсілде ол стандартты түрде түсініледі. Атап айтқанда, зарядталған бөлшектердің қозғалыс процесі оны сипаттайтын кез-келген шамалар үшін болған кезде стационар болады. Сонымен, егер зарядтар көлем бойынша таратылса, онда олардың тығыздығы және ток тығыздығы уақытқа тәуелсіз координаттардың үздіксіз функциялары болуы керек. Стационарлық сызықтық тықылдаулардың болуы жоққа шығарылмайды. Мұндай жағдайда және өрістері де уақытқа тәуелді емес екені анық , сондықтан олар (7.27.1) теңдеулерге бағынады.
Зарядталған бөлшектер финитті қозғалыс жасасын. Ол мерзімді немесе квазипериодты болып табылады, соның салдарынан шамаларын өздерін қарастырмаған жөн, ал олардың уақыт бойынша орташаларын , (7.27.2)
, (7.27.3) соңғы кезеңде қозғалыстың болжамды финитивтілігіне байланысты -тің барлық функциялары шектеулі екендігі ескерілген. Енді Максвелл теңдеулерінде (2.8.1) көрсетілген орташа операцияны жүргізіп, (7.27.3) ескере отырып, біз (7.27.1) теңдеулерге келеміз. Осылайша, оларды финитті қозғалысты жүзеге асыратын нүктелік зарядталған бөлшектер шығаратын орташа электромагниттік өрісті сипаттайтын теңдеулер ретінде түсіндіруге болады. Бұл өріс уақытқа тәуелді емес, оны стационарлық өріс деп те атауға әбден болады. Төменде теңдеулердің екі түсіндірмесі (7.27.1) және олар сипаттайтын стационарлы электромагниттік өріс қолданылады. Сонымен қатар, талқыланатын мәселелердің сипатына байланысты көлемді токтарды, содан кейін сызықтық токтарды немесе нүктелік бөлшектердің қозғалысы нәтижесінде пайда болатын токтарды қарастыру ыңғайлы. Зарядтардың таралуының бір көрінісінен екіншісіне ауысу (1.2.10) типті алмастырулармен жүзеге асырылады. , (7.27.4) оның үстіне бірінші жағдайда көлем бойынша интегралдау, екіншісінде - тұйық контур бойынша интегралдау, үшіншіде - зарядталған бөлшектер бойынша жинақтауды білдіреді. Жоғарыда айтылғандай, зарядтардың дискретті таралуын қарастырғанда, барлық физикалық шамалар уақыт бойынша орташа болуы керек. Бұдан әрі бұл жағдайда қажетті орташалау операциясы орындалды деп болжанады, бірақ қысқарту үшін барлық жерде орташа белгі алынып тасталады. Сондықтан, егер кейбір есептеулер процесінде уақыт туындылары пайда болса, онда (7.27.3) қатынасын ескере отырып, біз оларды жай ғана алып тастаймыз. Стационарлық электромагниттік өріс үшін (7.27.1) теңдеулеріне оралайық. Көріп отырғанымыздай, стационарлық электр өрісі электростатикадағы теңдеулерге (5.19.2) бағынады. Олар алдыңғы тарауда егжей-тегжейлі талданды. Бұл тарауда стационар магнит өрісіне назар аударылады , оны тұрақты магниттік немесе магнитостатикалық (электростатикалық өріске ұқсас) өріс деп те атайды. Алайда, жоғарыда айтылғандарға сәйкес, соңғы екі термин аз сәтті болып көрінеді. Стационар магнит өрісі осы теңдеулермен қанағаттандырылады . (7.27.5)
. (7.27.6) Оның кейбір салдары 1.2-та талқыланды. Олардың арасында ток күші J тұрақтылығын [теңдік (1.2.25)] ток түтік бойымен атап өтеміз. Бұл нәтиже өте маңызды, өйткені сызықтық токтар болған кезде J мәнін тиісті контурлық интегралдың белгісі ретінде алуға мүмкіндік береді. Енді бөлшектердің финитті қозғалысы жағдайында (7.27.6) үздіксіздік теңдеуінен теңдік шығатынын дәлелдейік , (7.27.7) ол бізге келесіде қажет болады. және екенін ескере отырып, біз осыны аламыз .
.
(7.27.8) (3.10.3)-мен салыстр. функциясы магнит өрісінің күйінің басқа айнымалысы ретінде әрекет ететін векторлық потенциал деп аталады. Векторлық потенциал (7.27.8) теңдікпен анықталады. Түрлендіруге сәйкес (3.10.6) оған еркін скаляр функциясы бар түріндегі өрнек қосуға болады. Мұндай озбырлықтың болуы -ға қосымша шарт қоюға мүмкіндік береді , (7.27.8,a)
(7.27.9) және әдетте (бірақ әрқашан емес – 19, 20 параграфтармен салыст.) векторлық потенциал табиғи шекаралық шартты қанағаттандыратындай екінші тұрақтысын таңдауға болады болған . (7.27.10) ұқсас нормалануы, мүмкін болса, төменде барлық жерде қабылданады.
, (7.27.11) және электр тогы жоқ кеңістікте - Лаплас теңдеуі . (7.27.12) Математикалық тұрғыдан алғанда (7.27.11) теңдеу электростатикалық потенциал үшін (5.19.11) теңдеуімен бірдей. Сондықтан оның табиғи шартты қанағаттандыратын шешімі (7.27.10) бірден (6.22.24) ұқсас жазылады: . (7.27.14) Сызықтық токтар мен қозғалатын нүктелік бөлшектер шығаратын магнит өрісінің векторлық потенциалын алу үшін (7.27.13)-ге (7.27.4) ауыстыру жеткілікті. Нәтижесінде осыны аламыз (7.27.14) және . (7.27.15) Магнит өрісін есептеу кезінде формуланы қолданамыз , ,
.
, (7.27.16) немесе, (27.4) ауысуларынан кейін (7.27.17) және . (7.27.18) Нәтижесінде біз био–Савар–Лаплас Заңына сәйкесінше (2.7.16), (2.7.15) және (2.7.17) түрінде келеміз. Белгілі бір уақытта нүктесі арқылы жылдамдығымен ұшатын бір нүктелік зарядының өрісі үшін (7.27.18)-ден біз табамыз . (7.27.19) Егер жылдамдығымен қозғалатын q заряд нүктесіне қойылса, онда оған зарядтың жағынан магниттік күш әсер етеді , (7.27.20) және (2.6.13) формулаға ораламыз. Нәтижелердің (7.27.18) - (7.27.20) жуықтық сипатын атап өтеміз. Олар тек қана әділ, өйткені Максвелл теңдеулерінде (2.8.1) кідіріс әсерін елемеуге болады. Біркелкі қозғалатын бір зарядталған бөлшектің электр және магнит өрістерінің нақты өрнектері келесі бөлімнің қосымшасында алынады. жүктеу/скачать 0,7 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|