Матрицалық формадағы регрессиялық талдау. ([1] 146 б.)
Матрицалық форманы пайдалану жазылудың өзімен қатар регрессия теңдеуінің коэффициенттерін анықтау есебін шешуді де көп оңайлатады. Келесі белгілеулерді енгізейік (4.1 кесені қара):
1) Тәуелсіз X айнымалыларының матрицасы – бастапқы статистикалық материалды қамтиды (алдыңғы тақырыптағы кестенің соңғы бағанынан басқаларын қара) ол жерде n – жол және k+1 баған бар:
2) Бақылаулар матрицасы (вектор) Y (вектор – баған): оның n – жолы бар.
X және Y мәндері жұргізілген белсенді емес тәжірибе нәтижесінен белгілі.
3) Регрессия теңдеуінің B коэффициенттер матрицасы (вектор): ол k+1 – жолдан тұрады.
Мақсатымыз белгілі X пен Y арқылы (4.15) формула бойынша B анықтау.
Кесте 4.1
Регрессиялық талдауда матрицалық жазба элементтері
матрицасын ақпараттық (информационная) матрица деп атайды (моменттер матрицасы), ал қателер матрицасы немесе ковариациялық матрица.
Нормаль теңдеулер жүйесі матрицалық формада келесідей жазылады:
(4.14)
Бұл теңдеу шешімінің түрі:
(4.15)
(4.15) теңдеуі оңай жүзеге асырылады, мысалы Mathcad-та және сонымен қатар, экспериментті жоспарлау әдістерінде кеңінен пайдаланылады. Бырақ, кейде В коэффициенттер векторын матрицаның өзгешеленуіне байланысты есептеу мүмкін емес. Мұндай жағдай орын алуы мүмкін, егер Х матрицаның элементтері бір-бірінен өте қатты айырмашыланатын болса. Мысалы, элементтердің біреуі 0.00005, ал екіншісі 100000.0 тең болса.
Қалдық дисперсияны анықтау үшін баған-матрицаны анықтайды:
(4.16)
Қалдық дисперсияның алымын келесі формула бойынша алады:
(4.17)
Үш кірісі және бір шығысы бар (2.2) түрдегі математикалық модельді құру үшін регрессиялық талдауды пайдалану мысалын қарастырайық:
(2.2)
Немесе келесі түрде:
(2.2А)
Математикалық модельді құру үшін бастапқы деректер 4.2 кестеде келтірілген. Эксперимент негізінде 2 баған (Y – шығыстың мәндері) және 4-6 бағандар (Х1, Х2 және Х3 кіірстердің мәндері) толтырылған. Бұл мәндер кестеде қалын шрифтпен ерекшеленген.
3-ші баған 1-ге тең мәндермен, ал 7-13 бағандар 4-6 бағандар негізінде есептелген мәндермен толтырылған. 20 тәжірибе жүргізілген.
Кесте 4.2
Математикалық модельді құру мысалы үшін бастапқы деректер