Коммерциялық емес акционерлік қоғам
жүктеу/скачать 1,79 Mb. Pdf көрінісі
|
|
2-модуль. Математикалық физика теңдеулері 6-Дәріс. Дербес туындылы теңдеулер туралы негізгі түсініктер. Бірінші және екінші ретті дербес туындылы теңдеулерге мысалдар, олардың шешімінің ерекшеліктері, бастапқы және шеттік шарттар
дербес туындылы теңдеулерге мысалдар, олардың шешімінің ерекшеліктері, бастапқы және шеттік шарттары мен таныстыру.
Математикалық физика теңдеулер пәнінің негізгі объектілері физикалық объекттер болғанмен, зерттеу әдістері таза математикалық жолдармен жүргізіледі. Математикалық физиканың кез келген есебі әртүрлі құбылыстардың, заңдылықтардың математикалық моделі бола алады. Физикалық процестердің қарапайым модельдерінде белгісіз функция тек бір тәуелсіз айнымалыға байланысты қарапайым дифференциалдық теңдеулер болуы мүмкін. Алайда мұндай процестердің толық сипаттамасы, әдетте, бірнеше тәуелсіз айнымалылары бар дербес туындылы теңдеулер арқылы нәтиже береді. Көптеген физикалық есептер класы математикалық тұрғыдан сызықтық (яғни функция және оның туындылары бірінші дәрежелі) екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерге келтіріледі, яғни «Математикалық физика теңдеулер» курсы мұндай есептерді зерттейді.
25 Мысал 1. Сейсмикалық, электромагниттік толқындардың таралуын, ішектердің, мембраналардың және т.б. тербелістер процесін сипаттайтын теңдеулер (гиперболалық типті). Түбіндегі шөгінділерді зерттеу кезінде акустиканың тікелей және кері есептері қарастырылады:
(6.1) (6.2)
(6.1) есебі – акустиканың тікелей есебі: g(t) құлаған толқын мен σ(z) судың акустикалық тұтқырлығын ескеру арқылы ортаның реакциясын, (z>0) u(0,t)=f(t) - сейсмограммасын анықтау (6.1 сурет).
6.1 сурет Кері есебі. (6.1), (6.2) берілген g(t) және f(t) бойынша өзен түбінің құрылымын, яғни σ(z) ортаның акустикалық тұтқырлығын анықтау.
емес жылу алмасу.
6.2 сурет Есепті қою. θ 1 (градус) температураға дейін қыздырылған мұнай жер асты құбыры арқылы тасымалданады. Мұнай құбырын төсеу терендігі Н(м) (6.2 сурет). Жылу беру тек тік бағытта болатының ескере отырып, құбырдан жер бетіне дейінгі температураның таралуын анықтау керек.
26 Математика тілінде есепті қойю: аралас шекаралық шарттарды қанағат- тандыратың стационарлық емес параболалық теңдеудің шешімін табу. Әрі қарай (мұнда )
көп айнымалылы функцияларды қарастырамыз. Егер болса, онда айнымалыларды х және у немесе x және t деп белгілейміз, әдетте t деп уақыт моментін, ал x деп түзудегі нүктенің координатасын белгілейміз. Егер болса, онда айнымалыларды немесе деп
белгілейміз, мұндағы – жазықтықтағы нүктенің координаталары, t - уақыт моменті. Егер
, онда – кеңістіктегі нүктенің координаталары, t - уақыт моменті. Көп айнымалылы функциясының дербес туындыларын келесідей белгілеу ыңғайлы:
, , ,
және т.с.с. Анықтама. белгісіз функциясын және оның дербес туындыларын байланыстыратын теңдеуді:
дербес туындылы дифференциалдық теңдеу
деп атайды, мұндағы берілген F өзінің аргументтері бойынша белгілі функция. Екі тәуелсіз x және у айнымалылары болған жағдайда бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің жалпы жазылуы:
немесе .
Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің жалпы жазылуы:
немесе
.
Анықтама. Дербес туындылы теңдеудің шешімі
деп – берілген теңдеуді тепе–теңдікке айналдыратын қандайда бір функциялар жүйесін атайды. Мысал 3. Аңықтаңыз: келесі теңдік 27
дербес туындылы дифференциалдық теңдеу бола ма? Шешуі. Теңдікті түрлендіреміз:
, онда
. Осыдан .
Жауабы: теңдік дербес туындылы дифференциалдық теңдеу болмайды. Анықтама. Дербес туындылардың ең үлкен көрсеткішін онын реті
деп атайды. Мысал 4. Теңдіктің ретін анықтаңыз:
. Шешуі. Мектеп курсынан , онда бірінші ретті теңдеу аламыз: .
Жауабы. Теңдіктің реті бірге тең. Анықтама. Егер дербес туындылы теңдеу белгісіз функциясы және барлық дербес туындылары бойынша сызықтық болса, онда дербес туындылы теңдеу сызықтық
деп аталады. жүктеу/скачать 1,79 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|