Үшбұрыштың ауданы.Үшбұрыштың ауданы оның табаны мен биіктігінің жарым көбейтіндісіне тең: (3)
Дәлелдеуі. АВС үшбұрышында болсын. Онда -суретте көрсетілгендей, АВС үшбұрышын параллелограмына толықтырайық. және АС қабырғасы ортақ болғандықтан, үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісі бойынша . Сонда . Екінші жағынан, болғандықтан, .
Салдар 2. Тікбұрышты үшбұырыштың ауданы оның катеттерінің жарым көбейтіндісіне тең:
(4)
Дәлелдеуі. (3) формуладан шығады. Өйткені, егер тік бұрышты үшбұрыштың бір катетін оның табаны ретінде алсақ, онда екінші катеті осы табанға түсірілген биіктік болады (10.12-сурет).
Салдар 3. және -ға тең қабырғаларының арасындағы бұрышы -ға тең үшбұрыштың ауданы (5) формуласымен есептеледі.
Дәлелдеуі. (3) формуланың дәлелдеуінен және 1-салдардан шығады (10.13-сурет).
Салдар 4. (Герон формуласы). Қабырғалары және с-ға тең үшбұрыштың ауданы
(6)
формуласымен анықталады. Мұндағы үшбұрыштың жарты периметрі.
1-есеп. Егер болса, онда АВСD –төртбұрышының ауданын табыңыз.
Берілгені. АВСD-төртбұрыш:
.
Табу керек: SABCD.
Шешуі. ;
Герон формуласын қолданып табатынымыз:
;
Демек, .
Жауабы: 84.
2 B
-есеп. Тіктөртбұрыштың ені ұзындығынан 8 см артық, ал ауданы 65 см2. Қабырғаларын табыңыз.
Берілгені. ABCD - тік төртбұрыш.
AD=AB+8 см, S=65 см2.
Табу керек: АВ,АD.
Шешуі. Тіктөртбұрыштың ені х см болса,
онда ұзындығы (х+8)см болады.
Есептің шарты бойынша: S=x(х+8)=65, x2+x-65=0, бұдан x=5 см.
x+8=5+8=13см.
Жауабы: 5см, 13см.
3-есеп. ABCD төртбұрышындағы N және L нүктелері ВС және AD қабырғалараның орталары. болатынын дәлелдеңдер.
Шешуі. BD диагоналін жүргіземіз.
1. қарастырамыз: медиана.
Демек,
2. қарастырамыз:
- медиана, сонда
.
3. .
4. Демек, .