Математическая статистика

жүктеу/скачать 1,65 Mb.

бет	9/16
Дата	07.12.2022
өлшемі	1,65 Mb.
	#55622
түрі	Учебное пособие

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 16

1	13/30	14		27		37 а	0,224	48

2		15	ко второй	28	24, 25	37 б	0,1992	49 а	0,89
3	0,83	16		29		37 в	0,5769	49 б	0,89
4		17		30		38	0,0782	49 в	0,11
5	0,52	18		31		39	0,0498	50	0,68
6	20/21	19	0,088	32 а	0,088	40	0,273	51	14
7		20	0,77	32 б	0,104	41	0,0006	52	14, 15
8	38/105	21	3/7	33	0,088	42	0,1562	53	7
9		22	3/13	34		43	первое	54	100, 101
10		23	256/715	35		44
11		24		36 а	0,0613	45
12	6/17	25		36 б	0,9197	46
13		26	5	36 в	0,019	47

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Студент должен знать:
- понятие случайной величины и ее виды;
- способы задания случайной величины;
- закон распределения случайной величины;

Студент должен уметь:
- строить ряд распределения случайной величины;
- находить функцию распределения случайной величины.

Литература: [5] стр.60-72 .

Основные теоретические сведения

Величина, которая в результате опыта может принимать те или иные значения называются случайной величиной. Например, время ожидания автобуса на остановке, число свободных мест в вагоне поезда и т. д. Обозначать случайные величины будем заглавными латинскими буквами X, Y, Z и т. д.

Случайная величина называется дискретной, если мы можем перечислить все ее возможные значения и указать вероятность каждого значения.
Возможных значений может быть бесконечно много. Обычная дискретная величина задается рядом распределения в виде следующей таблицы.

X				. . .
P				. . .

Здесь, - все возможные различные значения случайной величины, а - вероятности, с которой случайная величина принимает соответствующие значения,
Не всегда можно задать случайную величину, указав вероятность каждого отдельного значения. В ряде случаев вероятность каждого отдельного значения равна 0. Любую случайную величину можно задать, указав ее функцию распределения.
Функция F(x)=P(Xинтегральной функцией распределения случайной величины X или просто функцией распределения.
Функция распределения обладает следующими свойствами.

Монотонностью, то есть, если то
Для любых справедливо

С помощью функции распределения можно подсчитать вероятность попадания случайной величины Х в интервал [a, b).

Назовем случайную величину непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F(x).
Заметим, что в этом случае вероятность каждого значения случайной величины равна нулю.
Будем считать, что существует функция такая, что
при всех .
В этом случае функцию назовем плотностью распределения случайной величины Х или дифференциальной функцией распределения. Справедливо равенство
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (а,b) можно посчитать по формуле .
Свойство плотности распределения .
Примеры

Пример 1. Имеется 10 деталей, из них 6 стандартные. Составить ряд распределения числа стандартных деталей из двух выбранных.
Решение: Очевидно, что при выборе двух деталей, число стандартных деталей может оказаться равным 0, 1, 2, то есть мы имеем дело с дискретной случайной величиной. Найдем вероятность, с которой принимается каждое значение, и составим ряд распределения. Считаем, что выбор каждой детали равновозможен, и применим для нахождения вероятностей классическое определение.
Число всех возможных исходов для выбора двух исправных деталей равно .
Число благоприятных вариантов для выбора только нестандартных деталей равно.
Число благоприятных вариантов для выбора одной исправной детали равно .
Число благоприятных вариантов для выбора только стандартных деталей равно .
Таким образом,
Составим ряд распределения.

Х	0	1	2
Р

Для проверки убедимся, что сумма вероятностей равна 1.

Пример 2. В партии из семи деталей четыре окрашенные. Наудачу взяты три детали. Построить ряд и многоугольник распределения случайной величины - числа окрашенных деталей среди отобранных.
Решение: Случайная величина может принять следующие четыре значения: , , , . Вероятности этих значений равны:

, ,
Складывая полученные вероятности, имеем:
.
Составим ряд распределения:

x	0	1	2	3
p	1/35	12/35	18/35	4/35

Построим многоугольник распределения случайной величины Х (рис.4).

Рисунок 4. Многоугольник распределения

Пример 3. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения. Построить ее график.

	-1	0	2
p	0,1	0,4	0,5

Решение. Чтобы найти вероятность события Х< x, разобьем числовую ось на интервалы точками – 1, 0 и 2. Если , то событие невозможно и в этом случае . Если то событие имеет место тогда и только тогда, когда , то есть

1 0 2 х

Если , то событие может произойти только в том случае, если Х = 1 или Х = 0, то есть

И, наконец, если , то событие достоверно и
На координатной плоскости построим график (рис.4).
F(x)
1
0,5
0,1
1 0 2 x
Рисунок 5. График интегральной функции распределения
Пример 4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

X	1	4	8
p	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и начертить ее график.

Решение: Если , то , поскольку случайная величина не принимает значений меньших 1.
Если , то .
Если , то – на этом интервале принимает значение 1 с вероятностью 0,3 и значение 4 с вероятностью 0,1. Поскольку эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей 0,3+0,1=0,4.
Если , то .
Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График данной функции:

Рисунок 5. График функции распределения.

Пример 5. Найти функцию плотности непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения

Построить графики функций F(x) и f(x). Найти вероятность попадания в интервал .
Решение. Найдем дифференциальную функцию распределения (функцию плотности):

Построим график функции распределения (рис. 6) и график дифференциальной функции распределения (рис. 7)
F(x)
1

0 1 x

Рисунок 6. График интегральной функции распределения

f(х)
2

1
0 1 х

Рисунок 7. График дифференциальной функции распределения

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал

Пример 6. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0,1).
Решение: Вероятность того, что примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале .
Положив , получим:

Пример 6. Разыгрываются две вещи стоимостью по 150 рублей и одна вещь стоимостью 300 рублей. Составьте закон распределения выигрышей, купившего 1 билет из 50.
Решение. Искомая случайная величина Х представляет собой выигрыш и может принимать три значения: х₁ = 0, х₂ = 150 и х₃ = 300 рублей.
Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату – два случая и третьему – один случай. Найдем их вероятности:
; ; .
Закон распределения случайной величины имеет вид:

Значения x_i	0	150	300
Вероятности p_i	0.94	0.04	0.02

В качестве проверки найдем
.

Задачи

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	2	4	5	6
Р	0,3	0,1		0,4

Построить многоугольник распределения и функцию распределения F(x).

Дан ряд распределения случайной величины

Х	-2	-1	0	1	2
Р		0,2	0,2	0,4	0,1

Требуется: а) построить многоугольник распределения;

б) построить F(x);
в) найти

В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 1 шар. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения F(x).
Устройство состоит из 3-х работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
Бросают 3 монеты. Требуются: построить ряд распределения и функцию распределения F(x) случайной величины Е, равную числу выпавших «решек».
Построить ряд распределения и функцию распределения F(x) числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4.
В партии из 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа бракованных изделий в выборке.
Случайная величина Е задана функцией распределения

Найти: а) f(x); б) ; в) .

9. Дано:
Построитьи начертить ее график.

10. Дано:
а) Построить ; б) Найти: .

11. Дано:
Найти и построить ее график

12. Дано:
Найти: построить графики и .

13. Дано:
Найти: построить графики и

14. Дано:
Найти: построить графики и

15. Дано:
Найти: построить графики и

16. Дано:
Найти: построить графики и

17. Дано:
Найти: построить графики и

18. Дано:
Найти: построить графики и

19. Дано:
Найти:

20. Дано:
Найти:

21. Дано:
Найти:

22. Дано:
Найти:

23. Дано:
Найти:

24. Дано:
Найти:

25. Дано: Найти: С.

26. Дано: . Найти:

Ответы:
1. 2. в) 0,8. 3.
4.

Х	0	1	2	3
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

5.
а)

Х	0	1	2	3
Р

б)

Х	0	1	2	3
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

Х	0	1	2
Р	0,36	0,48	0,16

8. а) б) 0,25 в) 0,75
9. 10.
11.
20. 1, 25. С=1, 26. .

жүктеу/скачать 1,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 16