Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 1. Элементы теории множеств
9
2. 
Доказать принцип двойственности:
С (A 
U 
Я) = СА 
П 
СВ, 
(1)
С (А П В) = С А и С В
щ
(см. равенства (1), п. 1.4). 
!
◄ Докажем равенство (
1
) (равенство (
2
) доказывается аналогично). 
- ;
Пусть I € С (A U В), тогда, согласно равенству (5) предыдущей задачи, х £ A  U В , т. е.
х g А Л х g В. Отсюда х £ СА Л х € СВ, а следовательно, х £ СА П СВ. Таким образом,
С 
(A 
U 
В) С СА 
П 
СВ. 
. 
(3)
Предположим теперь, что ж € СА П СВ. Тогда х £ СА Л х € СВ, т. е. х & А  Л х 0 В, а 
значит, г ^ А и В и х € С (A U В). Отсюда
С (A U В) С С А П СВ. 
(4)
Из включений (3) и (4) следует равенство (1). ►
3 . Доказать равенства
А и (А П .
8
) = А П (А и В) = А. 
_ 
(Д)
◄ Пользуясь свойствами 4) и 5) задачи 
1
, получаем первое из равенств (1): 
Г
A 
U 
(А П В) -  (A 
U 
А) П (A 
U 
В) = А П (A 
U 
В).
Остается доказать, 
что А П (A U В) = А. Если х £ А П (A U В), т о ж € А Л ж € Д и В и <
следовательно,
А П (A 
U 
В) С А. 
(2)
Если же х £ А, то х € A 
U 
В, а значит, х £ А П (A 
U 
В), т. е. 
• 
1
 > 
;
А С А П (A U В). 
(3)
Из включений (
2
) и (3) следует второе из равенств (
1
). ► 
'■
4 . Доказать равенства:
а) СОА = А; б) C J  =
0
; в) С
0
= J .  
,
◄ а) Если х £ 
ССА, то х £ СА, а поэтому х £ А и справедливо включение CCA С А.
Наоборот, если х £ А, то х £ СА, а поэтому х £ ССА и справедливо включение А С ССА.
Из доказанных включений следует равенство а). 
. 
,
б) Множество C J  пустое, так как отрицание х £ C J  справедливо для любого х £ 3 .
в) Если х € J , то х ^
0
, а поэтому х £ С
0
и, следовательно, J  С С
0
. Поскольку всегда
С
0
С 3 ,  то из последних двух включений следует равенство в). ► 
'
5 . Доказать справедливость включения
(
а
\
в
) с (
a
\
d
) п (
d
\
b
).
◄ Пусть х 
£ 
(А \В ), тогда х £ А Л х 
Д. Если при этом x £ D , то х £ 
(А\Р)
и, 
следовательно, х £ (A \D ) 
U 
(D \B ). Если же х € Л , то поскольку х £ В, находим,.что, 
х £ (D \B ) , а поэтому х € (А \Л ) 
U 
(D \B ). Таким образом, как при х £ D, так и,при 
х £ Z) из условия х £ (А \В ) следует х £ (A \D ) 
U 
(D \B ), что равносильно доказываемому 
включению. ►
6
. Определить множества A 
U 
В, А П В , А \ В , В \ А ,  А А В , если:
а) А = {х : 0 < х <• 2}, В  = {х : 
1
^ х ^ 3};
б) А = {х : х
2
— Зх < 0}, В = {х : х
2
— 4х + 3 ^ 0};
в) А = {ж : |ж — 1| < 2}, В  = {ж : |х — 
1
) + |х — 2| < 3}.
◄ Пользуясь определениями объединения, пересечения, разности и симметрической раз­
ности множеств, находим:
a) A 
U 
В = {ж : (0 < х < 2) V (1 ^ х ^ 3)} = {х : 0 < ж ^ 3}; 
. ,(. ,
А П В  = {х : (0 < х < 2) Л (1 sj х sj 3)} = {х : 1 sj х < 2}; 
ич
А \ В = {х : (0 < х < 
2
) /\ ж & [1, 3]} = {х : 
0
< х < 
1
}; 
.; .!■ ,г Г
В \ А = {ж : (1 sj х ^ 3) Л х ^  ]0, 2[} = {х : 2 ^ х sj 3};
А Д В = ( х : ( А \ г ) и ( 3 \ А ) ) = { х : ( 0 < х < 1 ) У ( 2 ^ х < 3 ) } .

10
Гл. 1. Введение в анализ
б) Поскольку х
2
— Зх < 
0
для 0 < х < 3 , т о Л = { х : 0 < х < 3}. Неравенство х
2
—4х+3 ^ 0 
справедливо для — оо < х ^ 1 и 3 
х < +оо. Обозначим 
D
= {х : — оо <
х 
<
1
), 
Е
= 
{х 
: 3 ^
х 
< +оо}, тогда 
В
=
D
U 
Е.
Используя свойства операций над множествами, находим:
A U В = A U (D U Е) = A U D U Е = {х : (0 < х < 3) V
V (—оо < х < 1) V (3 <
х
< +оо)} = {х : —оо < х < + оо}; 
А
П 
В = А
П 
(D
и
Е)
=
( А
П 
D)
и
(А
Л 
Е)
= {х : (0 < х < 1) V х € 0 } = {х : 0 <
х
^ 1}; 
А \ В
= Н \( Л
u
£ ) = {
x
:
x
€
j
4
a
(
x
^ ] ) V
x
^
Е)} =
-
{х : (х 6
А
А х 6
D)
V (х €
А
А х € 
Е)}
= ( И \Д ) и ( Л \ £ ) = {х : 1 < х < 3};
В \ А = (D U Е ) \ А
= {х : (х €
D
V х € 1?) А х 0 И} =
= {х : (х € 
D
А 
х £ И) 
V 
(х 
6
£
А 
х 0 Л)} =
( 0 \ Л ) U 
(
Е \ А )
=
= {х : (—оо < x < 0 ) v ( 3 ^ x < +оо)};
A A B = A A ( D L > E ) = ( A \ ( D
U 
Е))
и
((D
и
Е )\ А) =
/ 
= {х : (1 < х < 3) V (—оо < x ^ 0 ) V ( 3 ^ x < +оо)} =
= {х : (—оо < x ^
0
) v ( l < x < -foo)}.
в) Запишем явное выражение для множества А = {х : 
—2
< х — 
1
<
2
} = {х : — 1 < х < 3}. 
Затем, решая неравенство |х — 
1
| + |х — 
2
| < 3, находим явное выражение для множества 
В
= {х : 0 < х < 3}. 
Тогда
A
U 
В
= {х : (-1 < х < 3) 
V 
(0 < х < 3)} = {х : - 1 < х < 3};
А
П 
В
= {х : ( - 1 < х <
3) 
А 
(0 
<
х 
<
3)} 
=
{х 
: 
0 
<
х 
<
3};
А \ В
= {х : (—1 < х < 3) А х 0]О, 3[} = {х : — 1 < х ^ 0};
В \ А —
{х : (0 < х < 3) А х $£] — 1, 3[} = 0 ;
А А В =
(
А \ В
) U 
( В \ А ) = А \ В
=
{х 
: 
- 1
<
х 
<
0}. 
►
Рис. 7
Рис. 9
7 .  Имеем А = {(х, у) : |х| + \у\ < £} (рис. 7), В =
{(х,у) : \ / х
2
 + у
2
< £} (рис. 
8
), D — {(х, у) : тах{ |х|, |у|} < 
6
} 
(рис. 9). Показать, что А  С В С D . 
ч 
◄ Пусть (х,у) € А, тогда |х| + |у| <
6
. Отсюда
i / x
2
+ у
2
^ \ J
%2
+
2
|х||у| -f у
2
= |х| + |у| < Ь,
т. е. (х,у) € В, что, в свою очередь, влечет выполнение нера­
венства
шах{|х|, |у|} < \ J x
2
 + у
2
< 
6
,
х
а следовательно, и включение (х,у) £ D. Таким образом,
А С В  С D. ► 
Рис. Ю
8
. 
Пусть А = {х : 2 ^ х ^ 4}, В - {у : 
1
^ у ^ 3}. Изобразить на плоскости хОу 
множество точек А х В.
4
Поскольку А х В  = {(х,у) : (2 ^ х ^ 4) л (1 ^ у < 3)}, то А х В есть совокупность 
точек прямоугольника, ограниченного прямыми х = 2, х = 4, у — 
у — Z (рис. 10). ►

и
9 . Показать, что семейство R, замкнутое относительно объединения и разности, является 
кольцом.
◄ Пусть А и В — произвольные множества семейства R. Поскольку А  П В  = А \ ( А \ В ) , 
а А С R, А \ В  С R, то А П В С R. Следовательно, семейство R замкнуто относительно 
объединения, пересечения и разности, т. е. является кольцом. ►
1 0
. Показать, что семейство R = {«, 
0
}, состоящее из непустого множества а и пустого 
множества 
0
, образует кольцо. Является ли это кольцо алгеброй?
◄ Семейство R содержит своими элементами объединение а и 
0
= си и разности а
\0
= 
а, 
0
\« =
0
. Поэтому R замкнуто относительно объединения и разности, т. е., согласно 
предыдущему примеру, является кольцом. А так как элемент « € R содержит все остальные 
множества семейства R, то а — единица семейства, a R — алгебра. ►
1 1 . Пусть множество J  = {«, /?, у} состоит из трех элементов, a P ( J )  — семейство всех 
подмножеств множества J .
а) Записать все алгебры, которые можно построить из элементов множества P(J)> и 
указать их единицы.
б) Описать все кольца, которые можно построить из элементов множества P { J ) -
в) Описать все полукольца, которые можно построить из элементов множества Р(S )  и 
которые не являются кольцами.
◄ а) Простейшими алгебрами являются: семейство {
0
}, состоящее из одного пустого 
множества; три алгебры
{{« }, 
<
2
,
 }, {{З Ь 0 } , {{7}, 
0),
состоящие из двух элементов с единицами, соответственно равными {«}, {/?}, {
7
} (см. пре­
дыдущий пример); шесть алгебр
{{«, /?}, {«}, {/?}, 
0
}, {{«, 
7
}, {а}, {
7
}, 
0
},
{{/3. 7>, {3}, М ,
0}, 
0), 
0)>
{{3, т}, 
&
},
единицами которых соответственно являются множества {а, 
0
), { « ,
7
}, {/3,7}, {«, /?}, 
{«, 
7
}, {/?, 
7
}. Легко видеть, что любое из этих семейств замкнуто относительно объединения 
и разности; четыре алгебры
{ J ,  {«, /3}, {У}, 0 }, { J ,  {«, 
7
}, {3}, 
0
}, { J , {0, 
7
}, {«}> 0}> 
0}>
единицей которых является множество J . Наконец, объединение всех перечисленных алгебр
{J ,  {«, /*}, {«, 7}, {3, 7}, {«}, {/?}, {7>, 0 )  
также является алгеброй с единицей J .
б) Все приведенные в пункте а) алгебры, естественно, являются кольцами. Других колец
нет.
в) Всякое кольцо является полукольцом. Действительно, из условия, что Л и Л; С Л 
принадлежат кольцу R, следует, что
А = Ai U А
2
, где А
2
= A\Ai С R-
Кроме того, в нашем случае можно построить примеры полуколец, которые не являются 
кольцами. Например, семейства
{{«}, { у } ,
0
}, {{-з}, М ,
0
),
{{« , (3), {
7
}, 
0],
{{« , 7},{(3}, 
0},
{{/3,7>, {« }. 
0}-
В самом деле, в каждом из шести семейств пересечение любых двух элементов семей­
ства принадлежит этому семейству. Далее, каждый непустой элемент семейства имеет в 
качестве своего подмножества только само множество, поэтому, например, для семейства 
Ш , у}, {«}, 
0
}, имеем
{/?, 
7
} = {/3, 
7
} □ 
0
= {/?, 
7
}, {«} = {«} U 
0
= {«},
т. е. второе условие определения полукольца выполняется. Полукольцом является любое 
семейство, содержащее {«}, {/?}, {
7
}, 
0
, но не совпадающее с P (J )-
{{«, 3}. {«},{/?}, {
7
}, 
0
}, {{«, 7}. {«}> {|3}, {7>, 0 } и т . д.
§ 1. Элементы теории множеств

12

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: