Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
Өз бетімен шығаруға арналған тапсырмалар. Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение следующих систем
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 5 практикалық сабақ
- 6 практикалық сабақ
- Мысалдар. 1.
| Өз бетімен шығаруға арналған тапсырмалар. Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение следующих систем:
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 №5 практикалық сабақ Ляпуновтың екінші әдісінің негізгі элементтері Мысалдар. 1. -оң таңбалы функция. 2. -теріс таңбалы функция. 3. -оң таңбалы функция. 4. -анықталған оң таңбалы, -анықталған теріс таңбалы функция. 5. Егер алынған функциясы -дан тәуелсіз, яғни болса, онда облысы бойынша тұйық және болғандықтан, ол ақырсызаз жоғарғы шекке ие болады. 6. Егер функциясындағы -ны бекітсек, мысалы десек, онда алынған функциясы ақырсыз аз жоғарғы шекке ие болады. Бірақ бұл жағдайда саны -ден басқа -ден де тәуелді болады. 7. Егер функциясы мына теңсіздікті қанағаттандырса, онда оның облысында ақырсыз аз жоғарғы шегі бар болады. 8. -анықталған оң таңбалы функция. 9. -анықталған теріс таңбалы функция. 10. - болғанда анықталған оң таңбалы функция, себебі 11. -оң таңбалы, бірақ анықталған таңбалы емес. Себебі болғанда, сондықтан №6 практикалық сабақ Ляпуновтың орнықтылық туралы теоремалары. Тақырып бойынша сұрақтар: 1. Ляпуновтың бірінші теоремасы (орнықтылық туралы). 2.Ляпуновтың екінші теоремасы (асимптотикалық орнықтылық туралы) Мысалдар. 1. Берілген жүйенің нөлдік шешімінің орнықты, орнықсыз болатындығын тексеру керек. Теоремадағы функциясы үшін функциясын қарастырайық. Ол-анықталған оң таңбалы және ақырсыз аз жоғарғы шекке ие. Жүйеге сүйеніп табылған толық туындысы: теріс таңбалы функция. Мұндағы -дәреже көрсеткіші екіден үлкен мүшелердің қосындысы. Оның модулі шамалары барынша аз болғанда -тің мәнінен аспайды. анықталған таңбалы емес, себебі болғанда болғандықтан теореманың барлық шарттары орындалып тұр. Олай болса берілген жүйенің нөлдік шешімі бірқалыпты орнықты. Бірақ асимптотикалық орнықтылық жоқ. Шынында да, Мұндағы: Егер де -ның орнына функциясын алсақ: теңсіздігін алар едік. Сонымен Егер болса, онда берілген жүйенің шешімдерінің траекториялары сақинасының ішінде жатады. Сондықтан олар бас нүктеге ұмтыла алмайды. (13-сызба). Демек, жүйенің нөлдік шешімі асимптотикалық орнықты емес. 13-сызба
нөлдік шешімін орнықтылыққа зерттеу керек. Теоремадағы үшін функциясын алайық. Ол айқындалған оң таңбалы және ақырсыз аз жоғарғы шекке ие. Жүйеге сүйеніп алынған толық туындысы Мұндағы -дәрежелері екіден артық мүшелердің қосындысының белгілемесі. Оның модулі айнымалылары барынша аз болғанда шамасынан аспайды. Сондықтан: яғни -анықталған теріс таңбалы. Олай болса, жүйенің нөлдік шешімі асимптотикалық орнықты. 3. Мына теңдеудің нөлдік шешімнің орнықты не орнықсыз екенін анықтау керек, -тақ сандар. Теореманы қолдану үшін функциясын алайық. Ол анықталған оң таңбалы және ақырсыз аз жоғарғы шекке ие. Жүйеге сүйеніп табылған туындысы анықталған теріс таңбалы. Сондықтан теңдеудің нөлдік шешімі бірқалыпты және асимптотикалық орнықты. 4. Рассмотрим систему (1) Выберем в качестве функции функцию Эта функция определенно-положительная. Производная функции в силу системы (1) равна Из теоремы устойчивости следует, точка покоя системы (1) устойчива. Однако асимптотической устойчивости нет: траектории системы (4)- окружности и они не стремится к точке при 5. Рассмотрим систему (1) Беря опять найдем Таким образом, есть определенно-отрицательная функция. В силу теоремы устойчивости точка покоя системы (1) устойчива асимптотически. Общего метода построения функций Ляпунова нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде и т.д. 6. С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчивость тривиальное решение системы Решение. Будем искать функцию Ляпунова в виде ,где произвольные параметры. Имеем Пологая получим, что Таким образом, при всяком функция будет определенно-положительной, а ее производная оставленная в силу данной системы, является определенно-отрицательной. Из теоремы устойчивости Ляпунова следует, что тривиальное решение данной системы устойчиво асимптотически. Если бы в указанной выше форме функцию не удалось найти, то ее следовало бы поискать в форме или жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|