Пікір берушілер
Элементар функциялардың анықталу облысы
жүктеу/скачать 5,73 Mb.
|
Матанализдің кейбір есептерін теңсіздіктерді пайдаланып шешу
| Элементар функциялардың анықталу облысы
Функция анықталатын аргументтің мәндерінің жиынын функцияның анықталу облысы деп атайды. Функциялардың анықталу облысын табуға бірнеше мысалдар келтірейік: 1. Шешуі: Есептің берілуіне қарағанда функцияның нақты мәні болу үшін бөлшектің бөлімі яғни - ге тең болмауы керек. Сөйтіп, санынан басқа барлық нақты сандар жиыны берілген функцияның анықталу облысы немесе оның аргументінің мүмкін мәндерінің облысы (ММО). Оны былай жазуға болады. ММО: немесе және , яғни және . 2. Шешуі: Бұл функцияның анықталу облысын мына теңсіздіктерімен табамыз. а) , бұдан , яғни аргумент - тің барлық нақты мәндері үшін, , яғни аралығында орындалады. б) , бұдан , яғни теңсіздік аргумент - тің барлық нақты мәндері үшін еш уақытта орындалмайды, сондықтан (б) теңсіздігінің ешқандай шешімі болмайды, сөйтіп, берілген функцияның анықталу облысы немесе ондағы аргументтің ММО (жиыны) төмендегінше жазылады: , яғни . 3. Шешуі: Алдымен бұл функцияны төмендегіше түрлендіріп жазамыз: . Бұл функцияның нақты мәні болу үшін радикал астындағы өрнек болуы керек. Мұндай теңсіздіктерді шешкенде мыналар ескерілуі керек, яғни (1) теңсіздігі еш уақытта (2) теңсіздігіне эквивалентті болмайды. Сондықтан (1) теңсіздікті шешу үшін ең алдымен (2) теңсіздікті шешіп алып, мұның шешімдерінен теңдеудің түбірлерін алып тастау керек. Осы айтылған ереже бойынша (3) теңсіздігін интервалдар методымен шешеміз, яғни , бұдан . Енді осы түбірлерді сан осінде белгілейік: 1 - сурет Суретте қарағанда (3) теңсіздіктің шешімдері: . Енді осылардың , яғни теңдеуінің түбірлері - ні алып тастасақ, онда және қалады. Сөйтіп, берілген функцияның анықталу облысы: немесе және . 4. . Шешуі: Логарифмдердің қасиеті бойынша бұл функция анықталу үшін, (4) болуы керек. Бұл теңсіздікті шешкенде мына теоремаларды пайдаланамыз. I Теорема. теңсіздігі әр уақытта теңсіздігіне эквивалентті, яғни . II Теорема. теңсіздігі әр уақытта теңсіздігіне эквивалентті, яғни . Ендеше I теорема бойынша (5) Соңғы теңсіздіктің сол жағындағы көпмүшеліктің түбірлері: . Енді бұл теңсіздікті интервалдар методымен шешсек, яғни түбірлерді сан осінде белгілесек, 2 - сурет Суретке қарағанда (5) теңсіздіктің шешімдері: . Ендеше соңғы (5) теңсіздікке эквивалентті (4) теңсіздіктің де шешімдері осылар болады. Сөйтіп, берілген функцияның анықталу облысы: , яғни . 5. . Шешуі: Бұл функцияның нақты мәні болу үшін радикал астындағы өрнек, яғни болуы керек.Енді бұл теңсіздікті төмендегіше түрлендіріп жазуға болады: немесе . Ал мұндағы және . Ендеше немесе (6) Енді бұл тригонометриялық теңсіздікті шешу үшін, алдымен мына теңдеуді шығарамыз: . Осыдан:
а) , , . б) , , , немесе . Ендеше (6) теңсіздіктің шешімі: . Сонымен берілген функцияның анықталу облысы , яғни . Бұл (6) теңсіздікті төмендегіше шешуге болады: , , , , яғни . 6. функциясының анықталу облысы қандай болады. Шешуі: Берілген функция квадрат түбір нақты мән алатындай - тің мәндері үшін анықталған. Демек, функциясы немесе болғанда ғана анықталады. Сөйтіп функция ізделіп отырған анықталу облысы аралығы болады. 3 - сурет 7. функциясының анықталу облысын табыңдар. Шешуі: Бұл формуланың бөлімі нөлге айналып кететін және болатын жағдайлардан басқа, - тің кез келген мәндері үшін мағынасы болатыны айқын. Осы жағдайда функцияның анықталу облысы үш интервалдан жинақталады: және . 4 - сурет 8. функциясының анықталу облысын тиянақтаңдар. Шешуі: Бұл функцияны, қосылғыштардың үшеуінің де шекті нақты мәндері болатындай - тің барлық мәндері үшін орындалады деп есептейміз. Сондықтан, алдымен қосылғыштардың әрқайсысы үшін жеке анықталу облыстарын табамыз. өрнегінің болғанда ғана мағынасы болады, бұл арадан немесе . өрнегінде , яғни болғанда ғана мағына болады. Анықталу облысы интервал болады. Функция - тің анықталу облысы барлық үш қосылғыштың да мағынасы болатындай - тің мәндерінен құралатын болғандықтан, іздеп отырған анықталу облысы аралығы болады. Бірнеше қосылғыштардың қосылғыштары қосындысы ретінде берілген функцияның анықталу облысын оңай табу үшін әрбір жеке қосылғыштардың анықталу облыстарын бір сан осінде геометриялық кескіндейді. Сонда берілген функцияның анықталу облысына нені алу керек екені дереу байқалады. Мәселен, біздің мысалда қосылғыштардың жеке әрқайсысының және берілген функцияның анықталу облыстары төменгі сызбада берілген. 5 - сурет 9. функциясы кескінде анықталған. , , , және функцияларының анықталу облыстары қандай болады. Шешуі: Бұл функциялардың барлығы да бір символымен таңбаланғандықтан , , , , және өрнектеріне де - ке жүргізілген амалдар жүргізеді. Шарт бойынша функциясының тек өрнектер де сол шартты қанағаттандыруы тиіс. функциясы теңсіздікті қанағаттандыратын үшін анықталған, олай болса осыдан және . Демек, функциясы аралықта анықталған. функциясы теңсіздікті қанағаттандыратын үшін анықталған, ендеше осыдан , мұндағы . Мұндай функцияның анықталу облысы кесінділердің шексіз жиынынан тұрады: ; ; ; , және т.т. функциясының анықталу облысы теңсіздіктерімен сипатталады, осыдан келіп . Анықталу облысы кесінді болады. Осылайша пікірлеу арқылы функциясы кесіндіде, функциясы кесіндіде және функциясы кесіндіде анықталатынын көрсету оңай. 10. Радиус шеңбердің ұзындығы формула бойынша анықталатыны белгілі. Шеңбердің ұзындығын есептеп шығаруда - ге қандай мәндерді беру жөн болады? Геометриялық мағынасына тәуелсіз қарастырылатын функцияның анықталу облысы қандай болады? Шешуі: Шеңбер ұзындығы пайдалану тек болатын жағдайда ғана орынды болады, себебі радиус оң болу керек. Егер формуласына, ешқандай геометриялық ұғымдармен байланыссыз, тек функцияның аналитикалық берілуі деп қараса, онда функциясының мағынасы барлық үшін болады, яғни функцияның анықталу облысы бүтін ось болады. 11. аралықта және функциялары тепе – тең бе? Егер және функциялары бір аралықта анықталып және осы аралықтың кез келген нүктесіндегі олардың мәндері бір – біріне тең болса, яғни , онда бұл екі функция осы аралықта тепе – тең деп аталатыны бізге мәлім. функциясы және , яғни болғанда ғана бар болады. Оның анықталу облысы аралығы болады. Функция болғанда аралығы болады. Бұл соңғы теңсіздіктерден: немесе Бірінші жүйенің шешімі болады да, ал екіншісі болады. Демек, функциясының анықталу облысы екі аралықтан тұрады: және . Функцияның екеуі де аралығында анықталғандықтан және осы аралықта олардың мәндері бірдей болғандықтан бұл берілген функциялар аралығында тепе – тең болады. 12. және функциялары қандай аралықта тепе – тең болады? Шешуі: Функция - тің кез келген мәні үшін, яғни аралықта бар болады. функциясы тек болғанда ғана аралықта анықталатын болғандықтан, берілген функциялар осы аралықта тепе – тең болады. жүктеу/скачать 5,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|