идеальные. К м а т ер и а льн ы м моделям относятся таки е,
которые построены из каких-либо вещ ественны х предме
тов. Все эти модели могут быть непосредственно чувственно
познаны , ибо они сущ ествуют реально, объективно. Они
представляю т собой вещ ественны й продукт человеческой
деятельности.
М атериальны е модели, в свою очередь, разделяю тся на
следую щ ие виды: ст ат ические (неподвижные) и ди н а м и
ческие (дейст вую щ ие).
К ст ат ическом у виду относят модели, геометрически
подобные ори ги н алам . Эти модели передаю т ли ш ь п ро
странственны е (геометрические) особенности оригиналов
в определенном масш табе (например, м акеты домов, за
стройки городов или сел, разного рода м у л я ж и , модели
геом етри чески х ф игур и тел, изготовленны е из дерева,
проволоки, стекла, пространственны е модели молекул и
кристаллов в хим ии, модели самолетов, кораблей и других
м аш ин и т. д.).
К динам ическим (действую щ им) моделям относят та
кие, которые воспроизводят какие-то процессы, явлен и я.
Они могут быть ф изически подобны оригиналам и воспро
изводить моделируемые явлен и я в каком-то масштабе. Н а
пример, для расчета проектируемой гидроэлектростанции
строят действующую модель реки и будущей плотины; мо
дель будущего корабля позволяет в обычной ванне изучить
некоторы е аспекты поведения проектируемого корабля в
море или на реке и т. д.
Следую щ им видом д ей ствую щ и х моделей явл яю тся
всякого рода аналоговые и имитирующ ие, которые воспро
изводят то или иное явление с помощью другого, в каком-то
смысле более удобного. Таковы , наприм ер, электрические
модели разного рода м ехан и чески х, тепловы х, биологи
ческих и прочих явлений . Д ругим примером может быть
модель почки, которую ш ироко используют в медицинской
практи ке. Эта модель — искусственная почка — ф ункцио
нирует одинаково с естественной (ж ивой) почкой, выводя
из организм а ш л аки и другие продукты обмена, но, конеч
но, устроена она совершенно иначе, чем ж и вая почка.
И деальны е модели делят обычно на три вида: образные
(иконические); знаковы е (знаково-символические); м ы с
ленн ы е (умственные).
86
К образным, или иконическим (картинны м ), моделям
относят разного рода рисунки, чертеж и, схемы, передаю
щ ие в образной форме структуру или другие особенности
моделируемых предметов или явлен и й . К этому ж е виду
идеальны х моделей следует отнести географ ические к а р
ты, планы , структурны е ф ормулы в хим ии, модель атома
в ф изике и т.д.
З н а к о во -с и м во ли ч е с ки е м одели п р ед ставл яю т собой
запись структуры или некоторы х особенностей м оделиру
емых объектов с помощью знаков-символов какого-то ис
кусственного я зы к а. П рим ерами так и х моделей являю тся
м атем атические уравнения, хим ические формулы.
Н аконец, мы сленны е (умственные, воображаемые) мо
дели — это представления о каком-либо явлении , процессе
или предмете, вы раж аю щ ие теоретическую схему моде
лируемого объекта. М ысленной моделью явл яется любое
научное представление о каком-либо явлении в форме его
описания на естественном язы к е.
И деальны е модели часто и сп ользую тся в тео р ети ч е
ских исследованиях. Н априм ер, на основе исследования
свойства и деальн ого м ате м ати ч е с к о го м а я т н и к а у с т а
н ав л и ваю тся зак о н ы , кото р ы м п о д ч и н я ется р еал ьн ы й
м аятн и к . В научны х исследованиях н аряду с активны м
использованием идеализированны х представлений об объ
ектах ш ироко прим еняю т и знаковы е модели.
П ри знаковом м оделировании м оделям и служ ат зн а
ковы е образования какого-ли бо вида: схем ы , гр аф и ки ,
чертеж и, формулы, граф ы , слова и предлож ения в неко
тором алфавите (естественного или искусственного язы ка).
З н аковое м одели рован и е основано на построении и
применении м атематической модели какого-либо класса
явлений, не используя ф изические модели объекта. Такие
модели иногда назы ваю т абст р а кт ны м и м а т ем ат иче
скими моделями. Знаковое моделирование требует постро
ения знаковой модели, где отнош ения и свойства объекта
проявляю тся в виде зн ак а и его взаи м освязи . Затем эта
модель исследуется логическим путем и знания приобре
таю тся дедуктивны м методом.
В ш кольном курсе м атем ати к и термин модель часто
используется в узком смысле, акц ен ти руется внимание
87
только на модели геом етрических ф игур, сделанны х из
дерева, стекла, проволоки и т. д. Однако такое понимание
не противоречит общему понятию терм ина модель. Д ей
ствительно, куб, пирам ида и другие абстрактны е п оняти я
определяю тся с помощью других абстрактны х понятий.
Г ео м етр и ч еск ая ф и гу р а, п р ед ставл я ю щ ая абстрактн ое
понятие о реальном теле, обладает свойствами, х ар актер и
зую щ ими абстрактное понятие вне зависимости от того, из
какого м атериала сделана эта ф игура и какого цвета, по
этому она явл яется абстрактной моделью реального тела.
В процессе обучения ш кольной м атем атике проводит
ся работа по созданию м атем атических, вернее, логико-м а
тем атических моделей конкретны х задач. В данном случае
модель задачи явл яется абстракцией высш его уровня, чем
сама задача. Различны е задачи с конкретны м содержанием
могут иметь одинаковую логико-математическую модель.
В старш и х к л ассах вместо тради ц и он н ы х терминов: со
ст а ви т ь у р а в н е н и е , н а й т и всевозможные зн а ч ен и я неиз
вестного, обозначить неизвестное и т. п. целесообразно
использовать термины: построить м ат емат ическую (или
логико-м ат ем ат ическую ) модель за да ч и ; написат ь усло
вие задачи на язы ке логико-математической модели и т. п.
Здесь не идет речь о необходимости введения какого-либо
термина, а затрагивается вопрос о постепенном введении
м атем атических идей. Эти термины обозначают п оняти я,
идеи, поэтому необходимо их правильно усвоить.
Д ля подготовки учащ ихся к этим вопросам нет необхо
димости введения новых тем. В учебном м атериале ш колы
им еется достаточно элементов матем атического модели
рования, просто необходимо п оказать и объяснить их суть
учащ им ся.
И ндукция и дедукция — взаим освязанны е меж ду со
бой методы познания. Деление основано на индуктивны е
и дедуктивны е ум озаклю чения. Существуют три значения
терминов индукции:
1) виды ум озаклю чений;
2) методы исследования;
3) формы и злож ен и я материала.
И н д у к ц и я (от л а т. іпсіисііо — н а п р а в л я т ь ) — ум о
за к л ю ч е н и е, в р езу л ьтате которого п о л у ч ается общ ий
вывод, содерж ащ ий некоторое знание о всех предметах
88
класса, на основании зн ан и я об отдельны х предметах д ан
ного класса, т.е. умозаклю чение, сделанное при переходе
от частного к общему. В более ш ироком смысле, и н д укц и я
является методом познания, познавательной операцией,
основанной на результате д в и ж ен и я м ы сли от частн ы х
ситуаций к общим.
В общем, в м атем атике под индуктивны м методом по
нимается получение новых выводов или теорий на основе
фактов теоретического хар актер а, проверенны х п р а к т и
кой, и истинность которы х строго доказан а (36).
Различаю т два вида индукции: полную и н еп о лн ую .
П о л н а я и н д у кц и я явл яется умозаклю чением, в резуль
тате которого делается общий вывод о классе объектов при
рассмотрении всех возм ож ны х частны х случаев, им евш их
место. П олная ин дукц и я ш ироко используется в д о к аза
тельствах утверж дений, так к а к сделанны й вывод по пол
ной индукции является истинны м .
Н апример, “Д ля любых правильны х м ногогранников
вы полняется соотношение В — Р + Г = 2, где В — верш ины ,
Р — ребра, Г — гран и” . Чтобы доказать истинность данного
у м о за к л ю ч е н и я , п р о в е р я е т с я в ы п о л н и м о с т ь д ан н о го
соотнош ения для тетраэдра, октаэдра, куба, додекаэдра,
и к о с а эд р а . П р ав и л ь н о с ть сд ел ан н о го у м о за к л ю ч е н и я
для п яти видов м н огогран н и ка п роверяется с помощ ью
составления следующей таблицы:
Достарыңызбен бөлісу: |