Теория и методика обучения математике
жүктеу/скачать 5,92 Mb. Pdf көрінісі
|
| П р иведем прим ер. Д о к а з а т ь , что б и с с е к т р и с а т р е
у го л ь н и к а , п о л у ч ен н ая соединен ием оснований высот остроугольного треугольника, отрезкам и совпадает с соот ветственными высотами первого треугольника. Решение. Допустим, что проведена окруж ность с д и а метром, равным соответственно стороне АС треугольника АВС (рис. 5). Тогда А В Ғ Е = ААСВ, так к а к А В Ғ Е + /1АҒЕ = 180° (сум ма см еж н ы х углов), ААСЕ + +/1АҒЕ = ^ (^ п р о т и в о п о л о ж ные углы вписанного в о к руж ность ч еты р ех у го л ьн и ка А С Е Ғ ). А А Ғ В = А А С В , т ак к а к А А Ғ В + А В Ғ В = 180° и А В Ғ В -I- ААСВ = 180°. Следова тельно, А В Ғ Е = ААҒВ. Так как Ғ С /. А В , то м ож но н ап и сать АСҒА - А А Ғ В =АСҒВ - А В Ғ Е , а так к ак АСЕ А - А А Ғ В = =АСҒВ, то АСҒА = АС Ғ Е . Т аки м образом, отрезок ҒС я в л я е т с я биссектрисой т реугольника ЕҒВ. Точно т а к ж е м ож н о д о к а за ть , что /ІА Е Ғ = А А Е В и А Ғ В В = А В В Е . При доказательстве учителю нелегко будет показать, для чего нуж но осущ ествить дополнительные построения или почему были выбраны именно эти отнош ения меж ду элементами данной фигуры. Т акж е в процессе доказательства ученик не сразу по нимает, для чего проводятся эти преобразования. Многие теоремы ш кольного курса доказы ваю тся синтетическим методом. К ак мы увидели выш е, при доказательстве м ате матических утверждений синтетический метод непригоден для нахож дения метода реш ения задачи. 74 При доказательстве синтетическим методом полученное утверж дение может противоречить доказываемому. В т а ком случае делается вывод, что доказываемое утверждение является неверным и оно не является теоремой. Если при доказательстве теорем синтетическим методом правильно осущ ествляется выбор приемов логического вы вода, то результат доказательства будет достоверным. Учителю необходимо иногда заменить синтетическое излож ение доказательства теоремы на аналитический м е тод. Это будет способствовать активизации познавательной деятельности учащ ихся и создавать условия для осознан ного осущ ествлен и я п о и ск а путей д о к азател ь ства, что приведет к качественному усвоению учебного м атериала, излож енного синтетическим методом. А н а л и т и ч е с к и й м е то д . А н а л и т и ч е с к и й м етод д о казател ьства делится на восходящ ий (а н а л и з П а п п а ) и нисходящ ий {анализ Е в к л и д а ) ан а ли зы . В о с хо д я щ и й а н а л и з {анализ П а п п а ). Д ля того чтобы понять смысл этого метода, рассмотрим пример. Д оказать неравенство: ^(а + с)(Ь + (і) >л[аЬ + л[ы (1), здесь а, Ъ ,с,й — полож ительны е числа. Доказат ельст во: Д ля того чтобы доказать неравенство (1), достаточно д о к азать, что (а + с)(Ь + й)>аЬ + Ы + 2л1аЬс(1 или асІ + сЬ^ 2л1аЪсс1 . (2) Н ер ав ен ство (1) я в л я е т с я сл ед ст ви ем н е р а в е н с т в а 2 ас1-2у1аЪсй + сЬ > 0 или асІ-лІЪс^ > 0 . (3) Следовательно, неравенство (1) доказано. Из рассм отренн ого п р и м ер а видно, что при д о к а з а тельстве методом восходящ его ан али за отталкиваю тся от заклю чения теоремы и подбирают для него достаточные условия. В символической записи процесс доказательства методом восходящ его ан али за можно представить следу ющим образом. П усть А => В — д а н н а я теорем а. Д ля зак л ю ч ен и я В подбираем достаточное условие А т. е. такое, что А г=> В. Д ля А х, в свою очередь, находим достаточное условие А г '■ А 2 => А 1 и т. д. Подбор достаточных условий продол ж ается до тех пор, пока для какого-либо А достаточным услови ем о к а ж е т с я у сл о ви е тео р ем ы , т. е. услови е А: 75 А = > А.. В итоге д о к азател ьство теорем ы заверш ается: А = > А ., А.=>А. _1, ... , А 2=>А1, А 1= > Б . Следовательно, А = > В .‘ Таким образом, доказательство методом восходящ его ан ал и за нап равляется двум я вопросами: что требуется до казать и что для этого достаточно знать. Ход рассуж дений, общ ая их направленность становят ся м отивированны м и, естественными. Н и с х о д я щ и й а н а л и з (а н а л и з Е вкли д а ). П ри нисходя щ ем анализе рассуж дения так ж е начинаю т с заклю чения теоремы, однако подбирают уж е не достаточные, а необхо димые условия. Выведение необходимых условий продол ж аю т до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляю щ ем у собой или условие теоремы, или ранее изученное предложение. Если окаж ется возможным прове сти рассуж дения в обратном порядке, при котором условие теоремы или очевидное предложение выступают отправной посы лкой, то получим искомое доказательство. Рассмотрим пример. Д оказать, что при п > 1 верно неравенство: - р < (уІп + 1 + л І п - і ) . (4) л/п- ' ' Доказательство'. Допустим, что верно неравенство (4). У множ им обе части неравенства на м нож итель: ( л / г с + Т + л/ Т1 — 1 1 . П реобразуя вы раж ен и я, получим: ~ ( уіг ^ + л [ п - І ) < 2 , (5) жүктеу/скачать 5,92 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|