Еркін бөлшек үшін Лагранж теңдеуі. Мысал 4
жүктеу/скачать 267,56 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Еркін бөлшек үшін Лагранж теңдеуі. Мысал 4.
- 2.2. Диссипативті күштер болған жағдайдағы Лагранж теңдеулері.
|
Дәріс 2. 2.1. Жалпыланған координаталардағы Лагранж теңдеулері (толықтыру). 2.2. Диссипативті күштер болған жағдайдағы Лагранж теңдеулері. 2.1. Жалпыланған координаталардағы Лагранж теңдеулері (толықтыру). Өткен дәрісте N материялық нүктелерден тұратын механикалық жүйе үшін жалпыланған координаттардағы Лагранж теңдеулерін қорыту барысында біз келесі теңдікті енгіздік Енді осыны оны дәлелдейміз. і-ші бөлшектің радиус-векторы барлық жалпыланған координаттардың функциясы екенін ескерейік бұл жағдайда жалпыланған координаттар уақытқа байланысты. Яғни бөлшектердің радиус алынған өрнектің оң және сол жақ бөліктерін қатысты дифференциалдайық. Мұндай жағдай үшін келесі шарттың бар екенін атап өтеміз Мұндағы δαβ Кронекер символы деп аталады. Кронекер символы (немесе Кронекер дельтасы) - элементтердің теңдігінің индикаторы, формальды түрде: екі бүтін айнымалының функциясы, егер олар тең болса 1-ге, ал әйтпесе 0-ге тең Онда мынаны аламыз жағдайын қоспағанда, берілген сомадағы әрбір мүше нөлге тең екені анық.а=в жағдайынан басқа, нөлге тең. Бұл (2.9) соңғы теңдікті негіздейді. Осылайша, біз (2.5) дәлелдедік. Енді алдыңғы лекцияда қолданған екінші қатынасты дәлелдеп көрейік Туындыны табайық Бұл жерде біз дифференциалдау және қосу ретін өзгерту мүмкіндігін пайдаландық, өйткені айнымалылар тәуелсіз. Соңғы теңдікте біз келесіні ескердік Еркін бөлшек үшін Лагранж теңдеуі. Мысал 4. Төмендегі жағдайлардағы еркін бөлшек үшін Лагранж теңдеуі мен функциясын табыңыз * цилиндрлік координаттар жүйесі * сфералық координаттар жүйесі Цилиндрлік координаттар жүйесін қарастырыңыз. Біз оны тікбұрышты декарттық координаттар жүйесімен байланыстырамыз (сурет. 2.1). Онда тікбұрышты және цилиндрлік координаттар жүйесі арасындағы байланыс Осыдан olypiads. Лагранж функциясын өрнектейміз. Бөлшек еркін, яғни оған сыртқы күштер әсер етпейді, потенциалдық энергия нөлге тең. Кинетикалық энергияны жазайық Координатаның (2.13) уақытқа қатысты туындыларын жазамыз Сонда біз кинетикалық энергияны аламыз Енді Лагранж теңдеулерін жазамыз Осы теңдеуге Лагранж функциясын қоямыз, сонда алатынмыз Бұл ретте, L функциясы z-ке тәуелді емес Сондықтан z осі бойынша теңдеу мына түрге ие болады: ρ осі бойынша теңдеу Осы теңдеуге ρ осі бойынша Лагранж функциясын қоямыз, сонда алатынмыз Келесі туындыны есептейік Сондықтан ρ үшін Лагранж теңдеуін аламыз Енді φ бойынша Лагранж теңдеуін қарастырайық. Келесі туындыны есептейік Осының уақыт бойынша туындысы Ал, L-дің φ бойынша туындысы Сондықтан φ айнымалысы бойынша Лагранж теңдеуі төмендегідей болады: 2.2. Диссипативті күштер болған жағдайдағы Лагранж теңдеулері. Қарастырылып отырған материялық нүктеге потенциалдық күштерден басқа бөлшектердің жылдамдығына пропорционал диссипативті күш әсер етеді деп есептейік: Бұл жағдайда Лагранж теңдеуін өзгеріссіз қалдыруға болатынын көрсетейік: Лагранж функциясы келесідей болсын: Дәлелдейік. Жазылған Лагранж функциясын алып, оған Лагранж теңдеуін жазайық. Бұл үшін біз дербес туындыны табамыз: Осыдан уақыт бойынша толық туынды аламыз: Енді келесі туындыны табайық М ұндағы, потенциалды күш екенін ескерейік. Осылайша, Лагранж теңдеуін аламыз: Теңдеуді түрлендірсек мұндағы, диссипативті күш. Сонымен, біз Ньютонның екінші заңын алдық. Демек, декарттық координаттар жүйесінде (2.57) Лагранж функциясы бар (2.56) Лагранж теңдеуі диссипативті күш болған кезде бөлшектің қозғалысын сипаттайды. Мысал 6. Келесі мысалды қарастырайық. Қатаңдығы k серіппе сұйықтығы бар кюветада массасының m жүкке бекітілген. Серіппе тарапынан түсірілетін күштен бөлек, жүктемеге сұйықтық тарапынан белгілі бір диссипативті Fd күш әсер етеді деп санауға болады. Бұл жағдайда Лагранж функциясы Онда Лагранж теңдеуі бойынша туындылар аламыз Сонда келесідей қозғалыс теңдеуін аламыз жүктеу/скачать 267,56 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|