Ғылыми журнал 1996 жылдың қарашасынан бастап екі айда бір рет шығады
жүктеу/скачать 5,72 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №6, 2010
виде ряда Фурье 1 ) ( ) ( k k k t u t u , 1 0 0 k k k z z ,
(4) с условием 1 2 ) (
k u ,
2 0 1
k k z
(5) Искомую функцию (решению) задачи (1), (2) представим в виде 1 ) ( ) ( k k k t z t z
(6) Поставляя эти разложения в (1), (2) и приравнивая коэффициенты при k
с одинаковыми номерами, получаем бесконечную систему линейных дифференциальных уравнений ) (
( t u z t z k k k k , T t 0 ,
(7)
0 ) 0 ( k k z z ,
(8) где ...
, 2 , 1
. Из (7), (8) имеем t k x t k t k d u e z e t z k k 0 ) ( 0 ) ( ) ( ,
... , 2 , 1 k .
(9)
Теперь, проверим, что построенная функция (6), по коэффициентам (9) действительно является решением задачи (1), (2). Из (9) имеем t k t t k t k d u d e z e t z k k 0 2 0 ) ( 2 0 ) ( ) ( t k k k t d u z e k 0 2 0 2 ) ( 1 , T t 0 , откуда ) ) ( 1 2 ) ( 0 2 0 2
k k k k d u z t z ,
T t 0 ,
... , 2 , 1 k .
(10) Домножая соотношение (10) на k k , получаем
1 1 0 2 2 0 1 2 ) ( 2 ) ( k k t k k k k k k d u z t z , T t 0
отсюда имеем 2 ) ], 1 , 0 ([ 2 0 2 0 2 1 1 ) ( 2 ) ( H L H H u z t z
51
А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №6, 2010 Ибрагимов Б.У., Жумашова Т.У., Ибрагимов У.М. Достаточные условия сильной и слабой...
Последнее неравенство означает, что 1 ) ( H t z для каждого ] , 0 [ T t . Теперь проверим ее непрерывность по t в норме пространства 1
. Для этого рассмотрим выражение
2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 1
z h t z t z h t z k k k H k
2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( t z h t z t z h t z k k N k k k k N k k , где числа 0
и N выбираются далее по заданному 0
. В силу (9) имеем
e e u e e z t z h t z h t t k h h k k k k k k k ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 0 0
d e u h t h t t k k ) ( ) ( , так как 1 e t k , то 2 1 ) ( ) ( H t z h t z
2 0 ) ( 2 0 2 1 ) ( 1 3 t t k k h N k k d e u z e k k
2 0 ) ( 2 0 1 ) ( 3
t k k k N k d e u z k 2 ) ( 1 ) ( 3 d e u h t t h t k k k k (11)
Пусть -произвольное положительное число. Так как 2 0 1
k k z и t t k k k d e u k 0 ) ( 1 ) ( d e d u t t t k k k k 0 ) ( 2 2 0 1 ) (
2 ) ], , 0 ([ 2 0 1 2 0 2 ) ( ) ( ) 1 ( 2 1
t L t k k t u d u e k , поэтому выбором числа N можно сделать среднего слагаемого (11) меньше чем 3
. Значит первого слагаемого также можно сделать меньше чем 3 2
выбором положительного числа h .
Для третьего слагаемого получим следующую оценку 2 ) ( 1 ) ( h t t h t k k k d e u k
52
А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №6, 2010 Ибрагимов Б.У., Жумашова Т.У., Ибрагимов У.М. Достаточные условия сильной и слабой...
d e d u h t t h t h t t k k k k ) ( 2 2 1 ) (
d u d u e k h t t k h t t k k h k k k ) ( 2 1 ) ( 2 1 1 2 2 2 1
2 ) ], , ([ 0 2 ) ( 2 1
h t t L u . Отсюда следует, что выбором числа h , третьего слагаемого суммы (11), также можно сделать меньше чем 3 2 . Из этих оценок получим
1 ) ( ) ( H t z h t z , которое означает непрерывность функции ) (t z ,
t 0 . Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что функция, определяемая рядом (6) удовлетворяет интегральному равенству (3) для любых функций ) (
v из пространства
1 ], , 0 [
T C с условием 0 )
(
x v . Задачу (1), (2) рассмотрим с точки зрения управления, т.е. функции ) ( u
примем в качестве управляющих функции. Они удовлетворяют условиям: 1 2 ], , 0 [ ) ( H T L u , ) ( u , где
- некоторое положительное число. исходя из этого введем следующее обозначение ) ( ; ], , 0 [ ) ( 1 2 u H T L u V ,
элементы которого называются допустимыми управлениями. Определение 1. Множество 1
W называется сильно инвариантным на отрезке ] , 0 [ T времени относительно системы (1), если для любых
|| || 0
и V u ) ( выполняется включение W z || ) ( || .
1
называется слабо инвариантным на отрезке ] , 0 [ T времени относительно системы (1), если для любого
|| || 0
существует V u ) ( , такое, что выполняется включение W z || ) ( || .
Здесь и далее нормы элементов соответствуют нормам соответствующих пространств. Рассматривается сильно и слабо инвариантность множества вида ] ,
[ b W , где b - некоторое положительное число. Нашей дальнейшей целью является нахождение соотношения между параметрами , ,b T таким образом, чтобы обеспечить данного множества
сильно или слабо инвариантность на отрезке ] , 0 [ T времени относительно системы (1).
53
А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №6, 2010 Ибрагимов Б.У., Жумашова Т.У., Ибрагимов У.М. Достаточные условия сильной и слабой...
Пусть 1 0
z любой элемент, удовлетворяющий условию W z 0 , т.е.. ) ( u любое допустимое управление из множества V . Тогда соответствующее решение уравнения (1) имеет вид
0 , ) ( ) ( 1 0 ) ( 0
отсюда имеем d d u e e z z T t k t t k k k k k 2 0 0 ) ( 0 1 2 ) ( ) ( , где || || - норма пространства 1
.
Сначала рассмотрим подинтегральное выражение с суммой, т.е. 2 0 ) ( 0 1 ) ( t k t t k k k d u e e z k k . Имеем 1 2 0 ) ( 0 ) ) ( ( k t k t t k k d u e e z k k
d u e e z e z k t t t k k t k k k k k k ) ( 2 0 ) ( 0 2 2 0 1
u d e t k t t k k ) ( 0 2 0 ) ( 2 1 2 2 0 1 (
t k k e z ) ) ( 2 1 ) ( 2 0 2 2 0 2 0 ) ( 2 0 t k t t k t t t k k d u e d u d e e z k k k
t k k k k t t T t d u z e e z e k 0 2 0 1 2 2 0 0 2 ) ( 2 1 2 ( 1 1 d d u e k t k t k ) ) ( ) 1 ( 1 0 2
dt p e d u e e z e T t k t k t t t 0 2 1 0 2 2 2 0 2 ) 1 ( ) ( 2 1 2 1 1 1 1
e e b e b e T t t t t k k 0 2 2 2 ) 1 ( 1 2 1 1 dt e b e T t t 2 0 2 1 1 1 .
(12)
Для исследования подинтегрального выражения введем следующее обозначение 0 ,
) ( 1 1 2
e b e t t t . |