А.Я с а у и   у н и в е р с и т е т і н і њ   х а б а р ш ы с ы,  №6, 2010

 

55 

А.Я с а у и   у н и в е р с и т е т і н і њ   х а б а р ш ы с ы,  №6, 2010 

 

 

Б.Х.ТУРМЕТОВ  

доктор физико-математических наук, профессор 

 

Г.Ж.МОЛДЫБАЕВ  

магистрант МКТУ имени А.Ясави 

 

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С 

НАКЛОННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 

 

 

 

 

Бұл  жұмыста  Лаплас  теңдеуі  үшін  локалді  емес  шеттік  есептің  шешілімділігі  мәселесі 

қарастырылады. Есептің шешімі бар және жалғыз болуы туралы теоермалар дәлеледенеді. 

 

This  article  deals  with  the  solvability  of  a  non-local  boundary  value  problem  for  the  Laplace 

equation. The authors of the article stress that the solution of the problem exists and there are some other 

theories proving the uniqueness of this problem.   

 

Пусть 





:  

1

n

x

R

x

 





  -  единичный  шар,   





:  

1

n

x

R

x

 





  - 

единичная  сфера.  Пусть  далее  заданы  последовательность  чисел 

k



  и 

k

a

, 

1,2,...,

k



  удовлетворяющие  условиям 

0

1

k











, 

1, 2,...,

k



 

1

|

|

k

k

a





 



. 

 

Рассмотрим в области 



 следующую краевую задачу 

( )

0

u x





, 

x



                                                              (1) 

1

(

)

( )

( )

k

k

k

n

n

u

x

u x

a

f x

x

x





















, 

x



                                    (2) 

( )

0

u x



, 

x



                                                               (3) 

где 





:  

0

n

x

x

  



. 

Решением 

задачи 

(1)-(3) 

назовем 

гармоническую 

функцию 

2

( )

( )

( )

u x

C

C



  

  для  которой 

( )

(

)

n

u x

C

x









  и  выполняются 

условия (2) и (3) в классическом смысле. 

 

Отметим,  что  в  случае 

0

k

a



, 

1,2,...,

k



  задача  (1)-(3)  была 

изучена в работе [1]. Приведем теорему о единственности. 

Теорема 1. Пусть 

1

1

k

k

a









и решение задачи (1)-(3) существует.  

Тогда 

1)

 

если 

1

1

k

k

a









,  то решение задачи единственно; 

2)

 

если 

1

1

k

k

a









,  то  решение  задачи  единственно  с  точностью  до 

функции вида 

( )

n

g x

Cx



, где С=const. 

 

56 

А.Я с а у и   у н и в е р с и т е т і н і њ   х а б а р ш ы с ы,  №6, 2010 

 

Турметов Б.Х., Молдыбаев Г.Ж. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи с наклонной... 

 

 

Доказательство.  Пусть  существуют  функции   

1

( )

u x

  и 

2

( )

u x

 

удовлетворяюшие условиям (1) - (3).  Обозначим  

1

2

( )

( )

( )

u x

u x

u x





. Тогда 

( )

u x

 гармоническая функция и удовлетворяет однородным условиям

 

(2)-(3).  

Применим к функции 

( )

u x

 оператор 

n

x





 и обозначим  

1

( )

(

)

( )

k

k

k

n

n

u x

u

x

w x

a

x

x





















                                           (4) 

 

Тогда  очевидно,  что 

( )

w x

  является  решением  следующей  задачи 

Дирихле: 

( )

0

w x





, 

( )

0

w x





.  В  силу  единственности  решения 

задачи Дирихле 

( )

0

w x



, 

x



. А тогда из равенства (4) получаем 

1

( )

(

)

k

k

k

n

n

u x

u

x

a

x

x



















                                            (5) 

Далее,  если 

( )

n

u x

const

x







,  то  в  силу  принципа  максимума  функция 

( )

n

u x

x





 свое максимальное значение достигает на 



. 

Пусть 

0

( )

(

)

max

x

n

n

u x

u x

M

x

x















, 

0

x



. Тогда из равенства (5) 

получаем 

0

0

1

1

(

)

(

)

k

k

k

k

k

k

n

n

u

x

u

x

M

a

a

x

x





























                               (6) 

Так  как 

0

1

k







 

,  то  для  всех   

0

x



  имеем 

0

k

x



 

. 

Следовательно, 

0

(

)

k

n

u

x

M

x









.  Тогда  из  (6)  вытекает  неравенство 

1

k

k

M

M

a









. 

 

Если теперь 

1

1

k

k

a









, то получаем неравенство 

M

M



, которое не 

имеет смысла. Поэтому при выполнении условии  

1

1

k

k

a









 необходимо,  

 

 

 

57 

А.Я с а у и   у н и в е р с и т е т і н і њ   х а б а р ш ы с ы,  №6, 2010 

 

Турметов Б.Х., Молдыбаев Г.Ж. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи с наклонной... 

 

 

чтобы 

( )

n

u x

C

const

x









, 

x



. Подставляя функцию 

( )

n

u x

C

x







 в 

условие (2) при 

( )

0

f x



 имеем 

1

1

0

1

0

k

k

k

k

C

a C

C

a



































 

Отсюда вытекает условия 

0

C



 или 

1

1

k

k

a









. 

Если   

1

1

k

k

a









,  то 

C

  -  произвольное  постоянное  и  следовательно 

( )

n

u x

C

x







.  Тогда 

( )

( )

n

u x

Cx

h x





, 

1

1

( ,...,

)

n

x

x

x





 

где 

( )

h x

  - 

гармоническая  функция  в  области   





1

:  

1

n

B

x

x







.  Из  условия    (4) 

следует, что 

0

( )

( )

( )

n

u x

Cx

h x

h x















. 

Таким образом, функция 

( )

h x

 - решение задачи 

( )

0

h x





, 

1

n

x

B





, 

( )

0

h x





.  Тогда  в  силу  единственности  решение  задачи  Дирихле  имеем 

1

( )

0,

n

h x

x

B







.  Отсюда  следует,  что  если 

1

1

k

k

a









,  то 

( )

n

u x

Cx



 

будет решением однородной задачи (1) - (3). 

Если  же 

1

1

k

k

a









,  то  необходимо  чтобы 

0

C



.  Тогда 

( )

0,  

n

u x

x

x





 



,  т.е. 

( )

( )

u x

h x



.  А  так  как  при  выполнении  условии 

(3)  функция 

( )

h x

  будет  тождественной  функцией,  то 

( )

0,  

u x

x



 

. 

Теорема доказана. 

Теперь  переходим  к  изучению  существования  решения  задачи  (1)-(3). 

Исследуем  некоторые  вспомогательные  задачи.  Рассмотрим  следующую 

задачу 

1

( )

0,    

( )

(

)

( ),  

k

k

k

v x

x

v x

a v

x

f

x

x











 











 







                                 (7) 

Пусть 

2

1

1

|

|

(

,

)

|

|

n

n

x

P x y

x

y









 - ядро Пуассона. 

 

 

58 

А.Я с а у и   у н и в е р с и т е т і н і њ   х а б а р ш ы с ы,  №6, 2010 

 

Турметов Б.Х., Молдыбаев Г.Ж. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи с наклонной... 

 

 

Лемма 1. Пусть 

0

1







. Тогда функция 

(

,

)

P

x y



 непрерывна на 



. 

Доказательство. Оценим функцию 

(

, )

P

x y



. Если 

,

x y



 и 

0

1



 

, то выполняется неравенство  

1

0

x

y

y

x







 



  

. 

 Отсюда         

1

0

(

, )

(1

)

n

n

P

x y













                         (8) 

Так как при 

,

 

0

x y

x

y









, то функция 

n

x

y







 - непрерывна и 

поэтому 

(

, )

(

)

P

x y

C



 

. 

Лемма доказана. Аналогично доказывается следующее утверждение. 

Лемма  2.  Пусть 

0

1



 

.  Тогда  для  любого 

k

N



  имеет  место 

соотношение 

(

,

)

(

)

x

D P

x y

C







  

, 

где 

1

2

(

,

,...,

)

n



 





 

мультииндекс

 

с длиной 

k





. 

Лемма 3. Пусть 

0

1

k











, 

1, 2,...

k



 и 

1

k

k

a





 



. Тогда для 

любого 

1,2,...

m



 функция       

1

( , )

(

, )

k

k

k

K x y

a P

x y







 



                      (9) 

принадлежит классу 

(

)

m

C

 

. 

жүктеу/скачать 5,72 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: