ОҚУШЫЛАРҒА КЕЗДЕЙСОҚ ОҚИҒАЛАРДЫҢ АНЫҚТАМАЛАРЫН ТҮСІНДІРУ

343 

 

 Егер тәжірибеде  бір оқиғаның  пайда болуы қалғандарының пайда болуына кедергі 

болса,  ондай  оқиғаларды  үйлесімсіз  оқиғалар  дейді.  Мысалы,  теңгені  бір  рет  тастағанда 

«герб» түсуі  «цифр» түсуіне мүмкіндік бермейді  (кедергі жасайды). 

Сондықтан  «герб  түсті»  және  «цифр  түсті»  деген  оқиғалар  өзара  үйлесімсіз.  Кез 

келген  екі  оқиғасы  үйлесімсіз  болатын  оқиғалар  жиынын қос-қостан  үйлесімсіз  оқиғалар 

дейді.  Егер  тәжірибе  негізінде  оқиғалардың  тек  әйтеуір  біреуінің  сөзсіз  пайда  болуы 

ақиқат болса, ондай оқиғаларды жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар дейді. Мысалы, сынау 

нәтижесінде  кубтың  алты  жағының  біреуінің  (А  оқиғасы)  шығуы  сөзсіз,  сондықтан 

А

1

,А

2

,А

3

,А

4

,А

5

,А

6

  оқиғалары  жалғыз  ғана  мүмкіндікті  оқиғалар  және  олар  оқиғалардың, 

толық  тобын  (жүйесін)  құрайды  деп  атайды.  Сондықтан  бұл  оқиғалар  қос-қостан 

үйлесімсіз  және  оқиғалардың  толық  жүйесін  құрайды  дейміз.  Мұндай  оқиғалар  жүйесін 

құрауды оқиғалар кеңістігі деп атайды. 

Егер  оқиғалардың  пайда  болу  мүмкіндіктері  бірдей  деп  есептелінсе,  ондай 

оқиғаларды тең мүмкінді оқиғалар дейді. Ойын сүйегін лақтырғанда 1-ден 6-ға дейінгі кез 

келген  тең  ұпайдың  пайда  болуы  тең  мүмкінді  оқиға.  Себебі,  ойын  сүйегі  біртекті 

материалдан жасалынған, цифр саны оның әрбір жағының салмағына әсер етпейтін дұрыс 

көпбұрыш деп есептелінеді. 

Оқиғаларға қолданатын амалдар 

1.  А  және  В  оқиғаларының  қосындысы  деп  А  оқиғасының  немесе  В  оқиғасының 

пайда болуынан немесе екеуі де пайда болатындай оқиғаны айтады. Оны А+В немесе АUВ 

арқылы белгілейді, U–біріктіру (қосу) таңбасы. 

Мысалы, А оқиғасы  –  институтқа кіре берісте бірінші  кездескен студент спортшы 

екені;  В  оқиғасы  –  институтқа  кіре  берісте  бірінші  кездескен  студент  2  курста  оқитын 

болсын.  Сонда  С=А+В  оқиғасы  бірінші  кездескен  студент  не    спортшы  екенін;  не  2-ші 

курста оқитынын; немесе ол әрі спортшы екенін, әрі 2 курста оқитынын білдіреді. 

2. А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп осы А және В оқиғаларының екеуінің 

бірдей  орындалуын  айтамыз  да  оны  АВ  немесе  А∩В  арқылы  белгілейміз,  мұндағы  ∩-

қиылысу  (көбейту)  таңбасы.  Мысалы,  мерген  нысананы  көздеп  екі  рет  атты.  Мергеннің 

бірінші рет атқанда нысанаға оқ тигізуі А оқиғасы, екінші рет атқанда оқ тигізуі В оқиғасы 

болсын.  Сонда  С=АВ  оқиғасы  –  мерген  екі  рет  атқанда  екеуінде  де  нысанаға  оқ  тигізуін 

білдіреді.  

3.  А  оқиғасы  орындалып,  В  оқиғасы  орындалмайтын  оқиғаны  А  мен      В-ның 

айырымы деп атайды да А-В немесе А/В (/ азайту таңбасы арқылы) белгілейді. 

4.  Екі  үйлесімсіз  А  және  Ā  (А  емес)  оқиғалары  оқиғалардың  толық  тобын құраса, 

оларды  қарама-қарсы  оқиғалар  деп  атайды.  Олардың  қосындысы  ақиқат  оқиға,  яғни 

А+Ā=U,  ал  көбейтіндісі  –  мүмкін  емес  оқиға.  Өйткені  олардың  екеуіне  ортақ  оқиға 

болмайды, яғни Ā·А=V, сондай-ақ Ū=V, V=U, Ā=А болуын байқау қиын емес. 

5.  Сынау  нәтижесінде  пайда  болған  В  оқиғасы  екінші  бір  А  оқиғасының  да  пайда 

болуын  қамтамасыз  етсе,  онда  В-ның  пайда  болуы  А-ның  пайда  болуын  ілестіреді  деп 

атайды да мұны ВсА (жату, ену таңбасы) арқылы белгілейді.  

Біз  жоғарыда  қосу  мен  көбейту  амалдарын  екі  оқиға  үшін  анықтадық.  Бұл 

анықтамаларды  бірнеше  оқиғалар  үшін  де  жалпылауға    болатындығы  түсінікті.  Мұндай 

жалпыланған амалдардың таңбалануы мынадай:  

А

1

 А

2 

 

А

3 

...  А

n

= 

  

А

1

∩ А

2 

∩

 

А

3 

∩... ∩А

n

= 

 

Сондай-ақ  оқиғаларды  қосу,  көбейту  амалдары  төмендегі  қасиеттерін  қанағаттандырады 

[2]: 

344 

 

1.  A+B=B+A (қосудың коммутативтік заңы) 

2.  AB=BA (көбейтудің коммутативтік заңы) 

3.  (A+B)+C=A+(B+C) (қосудың ассоциативтік заңы) 

4.  (AB)C=A(BC) (көбейтудің ассоциативтік заңы) 

5.  (A+B)C=AC+BC (дистрибутивтік заң) 

 

Белгілі бір есептер шығарғанда шешуі: «нешеу», «неше тәсілмен» деген сұрақтарға жауап 

беруді  қажет  ететін  есептер  комбинаторикалық  есептер  делінеді.  Мұндай  есептерді 

шешумен айналысатын математика саласы комбинаторика деп аталады. 

Комбинаторларлық  есептерді  шығару  барысында  мынадай  екі  ережені  жиі 

қолданатынымызды ескерте кеткен жөн [3]. 

Қосу  ережесі:  Егер  А  және  В  элементерін  сәйкес  n  және  m  рет  жолмен  таңдап  ала 

алатын  болсақ,  онда  осы  екі  элементтің  біреуін  (А-ны  болмаса  В-ны)  m+n  рет  жолмен 

таңдап алуға болады. 

Көбейту ережесі: Егер бірінші топта m элемент, екінші топта n элемент болса, онда 

бір элементі бірінші топтан және бір элементі екінші топтан алып жасалған түрлі парлар 

(жұптар) саны mn, көбейтіндісіне тең болады. Шынында да, бірінші топтың бір элементі m 

түрлі тәсілмен, екінші топтың бір элементін n түрлі тәсілмен алуға болады. Бірінші топтан 

әрбір  элемент  алу  тәсілін  екінші  топтан  әрбір  элемент  алу  тәсілімен  біріктіре  отырып, 

мүмкін болатын барлық әртүрлі mn парларын (жұптарын) жасап шығамыз.  

Мысалы,  0,1,2,3,4  цифрларынан  жасалатын  барлық  үш  орынды  сандардың  санын 

есептеу  үшін  былай  талқылаймыз:  үш  орынды  санның  бірінші  цифры  0-ден  өзгеше, 

ендеше,  оны  тек  төрт  тәсілмен  алуға  болады;  екінші  цифрды  бес  тәсілмен  алуға  болады 

(екінші  цифр  ноль  де  болады).  Мүмкін  болатын  бірінші  цифрдың  әрқайсысымен  мүмкін 

болатын екінші цифрды біріктіріп, 4·5=20 әртүрлі екі орынды сандарды жасаймыз. Осы екі 

орынды сандардың әрбіреуін мүмкін болатын үшінші цифрмен (бұларды да бес тәсілмен 

алуға болады) біріктіріп 20·5=100 әртүрлі үш орынды сандарды табамыз. 

Элементтер жиынынан комбинация жасағанда одан алынған элемент жиынға қайыра 

енбейтін  (енетін)  болса,  онда  мұндай  комбинацияларды  қайталанбайтын  (қайталамалы) 

комбинация дейміз. 

Бір-бірлеп алынған комбинация. Айталық k элементтер тобы берілсін: бірінші топта 

n

1 

элемент, екінші топта n

2  

элемент және т.б., k-ші топта n

k 

элемент болсын. Бірінші топтан 

бір  элемент  –а

і1

,  екінші  топтан  бір  элемент  –b

і2 

т.т.,  k-ші  топтан  бір  элемент  –с

іk 

алып, 

оларды алынған реттеріне қарай бір–бірлеп жазып, мынадай комбинация жазалық: (а

і1

, b

і2 

,..., с

іk

,). 

Міне осындай кобинацияларды кортеж немесе бір-бірлеп алынған комбинация деп 

атайды, оның саны n

1

· n

2 

·...· n

k 

көбейтіндісіне тең. 

Комбинаториканың үш түрін қарастырамыз: 

1. Алмастырулар. a және b элементтен, олардың ретін өзгертіп, екі алмастыру жасауға 

болады: ab, ba. Үш (a,b,c) элементтен 6 алмастыру алынады: abc, bac, bca, acb, cab, cba.  

Алмастырулар  мына  заңдылыққа  бағынады:  екі  элементтен  2  алмастыру  немесе  2! 

алмастыру  алуға  болады,  3  элементтен  үштен  6  алмастыру  –  6!  алуға  болады,  онда  4 

элементтен 4!=24 алмастыру алуға болады т.с.с. 

Анықтама.  Алмастырулар  деп,  бір-бірінен  айырмашылығы  орналасу  ретінде    ғана 

болатын  элементтер  комбинацияларын  айтады.  Сонымен,  m  элементтен  m!  алмастыру 

жасауға болады, Р

m 

арқылы белгілейміз.  

Қайталанбайтын комбинация үшін алмастырулар саны: 

Р

m

=1·2·3·...·m=m!, 

345 

 

ал қайталамалы комбинация үшін алмастырулар саны  

                                        

!

                                          

формуласымен есептелінеді.  

2.  Орналастырулар.  n  элементтен  k-дан  алынған  орналастыру  деп  әрқайсысында  k 

элемент  бар,  бірінен-бірінің  айырмашылығы  не  элементтерінің  орналасу  ретінде,  не 

элементтерінің өздерінде болатын комбинацияны айтады.  

Қайталанбайтын комбинация үшін орналастырулар саны (k

 

формуламен, ал қайталамалы комбинация үшін орналастырулар саны  

 

формуласымен  есептелінеді. 

3. Терулер. N элементтен k-дан жасалған терулер дегеніміз – бір-бірімен 

айырмашылықтары ең болмағанда бір элементінде болатын комбинация. 

Қайталанбайтын комбинация үшін терулер саны 

                                            

                                                                                             

ал қайталамалы комбинация үшін терулер саны 

                                     

                                                     

формуламен есептелінеді. 

 

жүктеу/скачать 7,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: