Тақырыбы: Көрсеткіштік теңдеулер

                Қарапайым көрсеткіштік теңдеулерді шешу. 

  Егер а>0

1

, 

а

 және в>0 болса, онда 

                            

в

а

х

             (1) 

теңдеуін қарапайым көрсеткіштік теңдеу деп атайды. 

  Егер в>0 болса, онда бір түбірі бар, ал 

0



в

болғанда түбірлері болмайды. Осы 

мәліметтер бойынша в>0 жағдайында (1) теңдеудің жалғыз түбірі 

                            

в

х

a

log



               (2) 

теңдігімен анықталатындығы шығады. 

  1-мысал. 

16

2

2





х

 теңдеуін шешейік. 

  Шешуі: (2) формула бойынша 

6

2

log

4

2

2

log

2

16

log

2

2

4

2

2





















x

x

x

х

 

болады. Жауабы: х=6. 

  Әдетте, мұндай қарапайым теңдеуді шешу үшін мүмкін болса, оң жақ бөлігіндегі өрнекті 

(в-ны) негізі а-ға тең дәреже түріне келтіріп шешеді. Мысалы, қарастырылған есепте 

4

2

16 

 болатынын ескеріп, беріген теңдеуді 

4

2

2

2





х

түрінде жазса, жеткілікті. Осыдан 

6

4

2









х

х

. 

  Жалпы, теңдеулерді шешуде, негізінен, екі түрлі тәсілді жиі қолданады: жаңа айнымалы 

енгізу және көбейткіштерге жіктеп, оны 0-ге теңестіру тәсілдері. Бұл екі тәсілде де 

берілген күрделі теңдеуді қарапайымдау бірнеше теңдеулер жиынтығына келтіріп шешеді. 

Сонымен көрсеткіштік теңдеулерді шешу барысында, яғни түрлендіргенде олардың тең 

шамалылығын қадағалай отырып, көрсеткіштік функцияларға тән қасиеттерлдіде қолдану 

керек. Енді күрделі көрсеткіштік теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырайық. 

 

                Көрсеткіштік теңдеулерді шешу. 

  Әдетте көрсеткіштік теңдеулерді 

                            

)

1

,

0

(

,

)

(

)

(







a

a

a

a

x

g

x

f

      (1) 

түріне келтіріп шешеді. Бұл теңдеу 

)

( x

f

у 

 және 

)

( x

g

у 

 функцияларының ортақ 

анықталу облысында 

)

(

)

(

x

g

x

f



теңдеуімен мәндес болады. 

  1-мысал.

0

3

9

*

2

81







x

x

 теңдеуін шешейік. 

  Шешуі: Мұнда 

y

x



9

 белгілеуін енгізсек, онда берілген теңдеуді 

0

3

2

2





 y

y

 түрінде 

жазамыз. Осыдан 

x

y

y

9

.

3

,

1

2

1







 өрнегі тек оң мәндер қабылдайтын болғандықтан, 

1

1





y

 түбірін қарастырмаймыз. Онда 

3

9 

x

 теңдеуінен х=0,5 теңдігін аламыз. 

Жауабы:0,5. 

  2-мысал: 

х

х

х

х

х

х

х

2

*

2

2

2

*

2

1

2













 теңдеуін шешейік. 

  Шешуі: Теңдеудің мүмкін мәндер жиыны 

0



х

 теңсіздігімен анықталады. Топтау 

арқылы теңдеуді 

0

)

1

2

(

2

)

1

2

(

)

1

2

(

2













х

х

х

х

х

 не 

0

)

1

2

)(

2

(

2









х

х

х

 түріне 

келтіреміз. Онда берілген теңдеу 

0

2

2





 х

х

 және 

0

1

2





х

 теңдеулері жиынтығымен 

тең шамалы. Бірін ші теңдеудің түбірлері 

2

,

1

2

1







х

х

 болса, онда 2-ші теңдеудің шешімі 

0

3



х

. Мұнда 



)

;

0

1







 және 0; 2



)

;

0 



 болғандықтан, есептің жауабы: 0; 2. 

  Сонымен қатар  

                            









)

(

)

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x

a

х

а



         (2) 

түріндегі көрсеткіштік-дәрежелік теңдеулер де кездеседі. Мұнда f(x) және g(x) 

өрнектерінің анықталу облыстары мен а(х)>0 теңсіздігін қанағаттандыраиын х мәндері 

жиындарының қиылысуы теңдеудің ММЖ-ын анықтайды. Егер 

1

,

0





m

m

 болса, онда 

(2) теңдеу 

                 

)

(

log

)

(

)

(

log

)

(

x

a

x

g

x

a

x

f

m

m



 

теңдеуімен мәндес. Ал бұл теңдеу мынадай екі теңдеумен мәндес:  

 

)

(

)

(

,

0

)

(

log

x

g

x

f

x

a

m





 

3.Логарифмдік теңдеулер ұғымы. 

1-мысал. 

16

2

2





x

 теңдеуін шешейік. 

Шешуі. (2) формула бойынша 

6

2

log

4

2

2

log

2

16

log

2

2

4

2

2





















x

x

x

x

 болады. 

Жауабы.

6



x

. 

Әдетте,мұндай қарапайым теңдеуді  шешу үшін мүмкін болса,оң жақ 

бөлігіндегі өрнекті (



b

ны) негізі 



a

ға тең дәреже түріне келтіріп шешеді. 

Мысалы,қарастырылған есепте 

4

2

16 

 болатынын ескеріп, берілген теңдеуді 

4

2

2

2





x

 түрінде жазса,жеткілікті.Осыдан 

.

6

4

2









x

x

Егер 

1

,

0



a

a 

 

болса,онда 

                             

p

x

a



log

                                                      (3) 

түріндегі теңдеуді қарапайым логарифмдік теңдеу деп атайды. 

Е нді 



p

ның кез келген мәнінде жалғыз түбірі бар екенін көрсетелік. 

Шынында да,(3) теңдеудің түбірі 

x

y

a

log



 функциясының графигі мен 

p

y 

 

түзуінің қиылысу нүктесінің абсциссасына  тең болатынын жақсы білеміз.

p

- ның 

кез келген мәндерінде  бұл екі график жалғыз нүктеде  қиылысатынын 

көреміз.Олай болса, 

p

 - ның кез келген мәндерінде  (3) теңдеудің жалғыз түбірі 

бар. Логарифмнің негізгі теңбе-теңдігі бойынша 

x

a

a

x

log



 теңдігі орындалатынын 

ескерсек,онда (3) теңдеудің жалғыз шешімі 

                               

p

a

x 

                                                             (4) 

формуласымен анықталады. 

4.Логарифмдік теңдеулерді шешудің әдістері. 

2-мысал. 

1

)

1

(

log

)

3

(

log

3

3









x

x

 теңдеуін шешейік. 

Шешуі. 

)

*

(

log

log

log

c

b

c

b

a

a

a





 формуласы бойынша берілген теңдеудің сол 

жақ бөлігін 

)

1

)(

3

(

log

3





x

x

 не 

)

3

4

(

log

2

3



 x

x

 түріне келтіреміз.Сонда бұл теңдеуді 

былай жазамыз: 

                            

.

1

)

3

4

(

log

2

3





 x

x

 

Осыдан (4) формула бойынша 

.

4

,

0

0

4

3

3

4

2

1

2

1

2





















x

x

x

x

x

x

 

Логарифмдік функция бүкіл сан өсінде анықталмағандықтан,бұл табылған 

шешімдердің берілген теңдеуді қанағаттандыратынын не 

қанағаттандырмайтынын тексеру қажет. 

Т е к с е р у.Егер 

0



x

 болса,онда 

,

1

3

log

)

0

1

(

log

)

0

3

(

log

3

3

3











 яғни 

қанағаттандырады. Егер 

4





x

болса,онда 

)

4

1

(

log

)

4

3

(

log

3

3







 өрнектерінің 

мағынасы болмайды. Сонымен,ж а у а б ы : 

0



x

. 

Берілген теңдеудің жауабын анықтаудың тағы бір тәсілі бар – ол теңдеудің 

ММЖ-ын (мүмкін мәндері жиынын) анықтау тәсілі.Берілген теңдеудің ММЖ            

0

3

,

0

1









x

x

 

теңсіздіктері жүйесімен анықталады.Олай болса,ММЖ 

1





x

 

теңсіздігімен анықталады немесе 

)

;

1

(





 жиыны 

болады.Ал 

)

;

1

(

4

),

;

1

(

0















 болғандықтан есептің ж а у а б ы : 

0



x

. 

Жалпы, теңдеулерді шешуде,негізінен екі түрлі тәсілді жиі қолданады: 

жаңа айнымалы енгізу және көбеткіштерге жіктеп, оны 0-ге теңестіру тәсілдері. 

Бұл екі тәсілде де берілген күрделі теңдеуді қарапайымдау бірнеше теңдеулер  

жиынтығына келтіріп шешеді.Сонымен көрсеткіштік және логарифмдік 

теңдеулерді түрлендіру барысында олардың тең шамалылығын қадағалай 

отырып, көрсеткіштік және логарифмдік функцияларға тән қасиеттерді де 

қолдану керек. Енді күрделі көрсеткіштік және логарифмдік  теңдеулерді шешу 

тәсілдерін қарастырайық.  

Әдетте көрсеткіштік теңдеулерді 

                            

а

f

(х) 

= 

а

g

(х)

, (

а>0,а≠1)                                                (5)                                                                      

түріне  келтіріп  шешеді.  Бұл  теңдеу  y=f(x)  және  y=g(x)  функцияларының  ортақ 

анықталу облысында f(x)=g(x) теңдеуімен мәндес болады. 

№19,20 дәріс. 

Тақырыбы:Теңсіздіктер. 

Дәріс  мазмұны.  Рационал  теңсіздіктер.  Интервалдар  әдісі.  Модулі  бар 

теңсіздіктер.Иррационал теңсіздіктер. 

 Рационал теңсіздіктер. Рационал теңсіздіктерді шешу. 

     Теңсіздікті  шешу  дегеніміз-оның  құрамындағы  айнымалылардың  теңсіздікті 

қанағаттандыратындай мәндерінің барлық жүйесін табу немесе мәндерінің ондай 

жүйесі жоқ екенін дәлелдеу. 

Модулі бар теңсіздіктер. Модулі бар теңсіздіктерді шешу әдістері. 

Абсолют  шама  таңбасы  бар  (модуль  таңбасы)  теңсіздіктерді  шешкенде 

теңсіздіктің  ММО-н,  әрқайсысында    модуль  таңбасы  астында  тұрған  өрнектер 

таңба  сақтайтындай  жиындарға  бөлеміз.Сондай  жиындардың  әрқайсысында 

теңсіздікті  шешіп  және  алынған  шешімдерді  берілген  теңсіздіктің  шешімдері 

жиыны етіп біріктіру қажет. 

Иррационал теңсіздіктер. Иррационал теңсіздіктерді шешу әдістері. 

е 



2

0



y



 теңсіздігін аламыз.  

№21, 22 дәрістер. 

Тақырыбы:Көрсеткіштік теңсіздіктер.Логарифмдік теңсіздіктер. 

 Дәріс мазмұны. Құрамында көрсеткіштік функциясы бар теңсіздіктер. 

Логарифмдік теңсіздіктер. 

№23,24 дәрістер. 

Тақырыбы:Тригонометрия. 

Дәріс 

мазмұны.Тригонометриялық 

функциялар.Тригонометриялық 

функциялардың түрлері. Тригонометриялық функциялардың графиктері. 

Тригонометриялық функциялардың графиктерінің қасиеттері. 

  

x

у

sin



.Синусоида  

  Бұрыш  синусының  қасиеттерін  пайдалана  отырып, 

x

у

sin



  функциясының 

келесі қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 









 ;

; 

б) өзгеру облысы: 





1

;

1



; 

в) функция жоғарыдан және төменнен шектелген; 

г)  функция  әрбір 











k

k

х

k

,

2

2





  үшін  ең  кіші 

1





у

  мәнін  және 









m

m

х

m

,

2

2





 үшін ең үлкен 

1



у

 мәнін қабылдайды; 

д) функция периодты, басты периоды 



2

; 

е) функция тақ. 

ж)  функция  барлық  анықталу  облысында  монотонды  болмайды,  бірақ  функция 

әрбір 























k

k

k

,

2

2

,

2

2









, 

аралығында 

өседі, 

және 

әрбір 





















k

k

k

,

2

2

3

,

2

2









 аралығында кемиді. 

  

 

        

 

 

сosx

у 

. Косинусоида. 

 Бұрыш  косинусының  қасиеттерін  пайдаланып, 

сosx

у 

  функциясының  келесі 

қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 









 ;

; 

б) өзгеру облысы: 





1

;

1



; 

в) функция төменнен және жоғарыдан шектелген; 

г)  функция  әрбір 









k

k

х

k

,

2





-да 

1





у

  ең  кіші  мән  қабылдайды  және 







m

m

х

m

,

2



-да 

1



у

 ең үлкен мән қабылдайды; 

д) функция периодты, басты периоды 



2

; 

е) функция жұп. 

ж)  функция  барлық  анықталу  облысында  монотонды  болмайды,  бірақ  функция 

әрбір 





k

k







2

,

2



  аралығында  өседі, 





k

  және  функция  әрбір 













k

k 2

,

2

 

аралығында кемиді, 





k

. 

з) 

Oy

  осімен  қиылысу  нүктесі  - 

 

1

;

0

, 

Ox

  осімен  қиылысу  нүктелері  шексіз  көп, 

әрбір 















0

,

2

k





 нүктесі 

Ox

 осімен қиылысу нүктесі, мұндағы 





k

. 

    Периодтылығын  ескеріп, 

сosx

у 

  функциясының  графигін,  косинусоиданы 

тұрғызуға болады. 

 

 

 

 

tgx

у 

.Тангенсоида. 

       Бұрыш тангенсі қасиеттерін пайдалана отырып, 

tgx

у 

 функциясының келесі 

қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 











k

k

х

k

,

2





-дан өзге кез-келген 

х

 ; 

б) өзгеру облысы: 









 ;

; 

в) функция шектелген емес; 

г) функция ең кіші мәнде, ең үлкен  мәнде болмайды; 

д) функция периодты, басты периоды 



; 

е) функция тақ. 

ж) функция барлық нақты сандар облысында монотонды болмайды, бірақ келесі 

















2

,

2









k

k

 мұндағы 





k

, аралықтардың әрқайсысында өседі.   

з) Координаталар осімен қиылысу нүктелері - 





0

;

m



 нүктелері, мұндағы 





m

.  

   Периодтылығын ескеріп, тангенсоида деп аталатын 

tgx

у 

 функциясы графигін 

тұрғызуға болады. 

 

 

 

 

 

сtgx

у 

.Котангенсоида. 

       Бұрыш  котангенсі  қасиеттерін  пайдалана  отырып, 

сtgx

у 

  функциясының 

келесі қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 







m

m

х

k

,



-нан өзге кезкелген 

х

 ; 

б) өзгеру облысы: 









 ;

; 

в) функция шектелген емес; 

г) функция ең кіші мәнде, ең үлкен  мәнде болмайды; 

д) функция периодты, басты периоды -



; 

е) функция тақ. 

ж) функция барлық нақты анықталу облысында монотонды бола алмайды, бірақ 

функция  











m

m

m

,

,







  аралықтарының әрқайсысында кемиді.   

з)  Координаталар  осімен  қиылысу  нүктелері  - 















0

;

2

m





  нүктелері,  мұндағы 





m

.  

   Функцияның  периодтылығын  ескере, 

сtgx

у 

  функциясының  графигі  - 

котангенсоиданы тұрғызуға болады. 

 

 

 

 

 

Негізгі кері тригонометриялықфункциялар. 

arcctgx

y

arctg

y

x

y

x

у









,

,

arccos

,

arcsin

 функциялары негізгі кері тригометриялық 

функциялар деп аталады. 

 

 

x

у

arcsin



 кері тригонометриялықфункциясы. 

 

x

у

arcsin



  функциясы  қасиеттері  (санның  арксинусы  қасиеттерін  пайдалана 

аламыз): 

а) анықталу облысы: 





1

;

1



; 

б) өзгеру облысы: 















2

;

2





; 

в) функция жоғарыдан және төменнен шектелген; 

г) функция 

1





x

болғанда 

2







у

 ең кіші  мәнді қабылдайды және 

1



x

 болғанда 

2





у

 ең үлкен  мәнді қабылдайды; 

д) функция периодты емес. 

е) функция тақ. 

ж) функция барлық анықталу облысында өседі.  

 

 

x

у

arccos



 кері тригонометриялықфункциясы. 

   Санның  арккосинусы  қасиеттерін  пайдалана,

x

у

arccos



  функциясының  келесі 

қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 





1

;

1



; 

б) өзгеру облысы: 







;

0

; 

в) функция жоғарыдан және төменнен шектелген; 

г) функция 

1





x

болғанда 





у

 ең үлкен мәнін, 

1



x

 болғанда 

0



у

 ең кіші мән 

қабылдайды; 

д) функция периодты емес. 

е) функция жұп та, тақ та емес. 

ж) функция барлық анықталу облысында кемиді.   

з) 













2

;

0



 және 

 

0

;

1

 нүктелері - координаталар осьтерімен қиылысу нүктелері.   

 

 

 

 

 

 

 

arctgx

у 

 кері тригонометриялықфункциясы. 

   Санның  арктангенсі  қасиеттерін  пайдалана,

arctgx

у 

  функциясының  келесі 

қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 









 ;

; 

б) өзгеру облысы: 















2

;

2





; 

в) функция төменнен де, жоғарыдан да шектелген; 

г) функция  ең үлкен, ең кіші мәндерінде болмайды; 

д) функция периодты емес. 

е) функция тақ. 

ж) функция өзінің барлық анықталу облысында өседі.   

з) 





0

;

0

 нүктесі - координаталар осьтерімен жалғыз қиылысу нүктесі.  

 

 

 

 

  

arcctg

у 

 кері тригонометриялықфункциясы. 

   Санның 

арккотангенсі 

қасиеттерін 

пайдалана 

отырып,

arcctgx

у 

 

функциясының келесі қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 









 ;

; 

б) өзгеру облысы: 







;

0

; 

в) функция төменнен де, жоғарыдан да шектелген; 

г) функция  ең үлкен, ең кіші мәндерінде болмайды; 

д) функция периодты болып табылмайды. 

е) функция тақ та, жұп та емес. 

ж) функция өзінің барлық анықталу облысында кемиді.   

з) 













2

;

0



нүктесі - координаталар осьтерімен жалғыз қиылысу нүктесі.  

 

 

 

№ 25 дәріс. 

Тақырыбы:Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру. 

Дәріс  мазмұны.  Қосу  формулалары.Келтіру  формулалары.Көбейтінді  және  еселі 

аргумент формулалары. 

№26 дәріс. 

Тақырыбы:Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру. 

Дәріс  мазмұны.  Тригонометриялық  өрнектерді  түрлендіру.Теңбе-теңдікті 

дәлелдеу. 

№27,28 дәрістер. 

Тақырыбы:Тригонометриялық теңдеулер. 

Дәріс  мазмұны.    Тригонометриялық    теңдеулер.Тригонометриялық  теңдеулерді 

шешудің негізгі тәсілдері.Біртекті тригонометриялық теңдеулер. 

       Қарапайым 

тригонометриялық 

теңдеулер 

деп 

1)

a

x 

sin

; 

2)

b

x 

cos

;3)

c

tgx 

;4)

d

ctgx 

 түріндегі теңдеулерді атайды. 

a

x 

sin

теңдеуінің  барлық  шешімі 

n

a

a

x

n











arcsin

)

1

(

arcsin

  формуласында 

шектеледі. 

       

1



a

  болғанда  теңдеудің  шексіз  көп  шешімі  болады  және 

1



a

  болғанда 

ешбір шешімі болмайды. 

Осыған ұқсас,

b

x 

cos

теңдеуінің барлық шешімі 

n

b

b

x



2

arccos

arccos









 формуласында шектеледі, мұндағы 

1



b

. 

c

tgx 

  және 

d

ctgx 

  теңдеулерінің  кез-келген  нақты

c

  және

d

    мәндерінде 

шешімдері  болады.Бұл  шешімдердің  барлығы  сәйкесінше 

,

n

arctgc

arctgc

x









 

n

arcctgd

arcctgd

x









 формулаларында шектеледі. 

 

Егер 

0

sin



x

 болса,онда 

n

x





; 

Егер 

1

sin



x

 болса,онда 

;

2

2

k

x









 

Егер 

1

sin





x

 болса,онда 

;

2

2

k

x











 

Егер 

0

cos 

x

 болса,онда  

;

2

n

x









 

Егер 

1

cos 

x

 болса,онда 

;

2 k

x





 

Егер 

1

cos





x

 болса,онда 





n

n

x







2

1

2









. 

 

1.

2

3

sin





x

 теңдеуін шешу. 

Шешуі. 

 

 

Z

n

n

n

n

x

n

n

n



































































,

3

1

3

1

2

3

arcsin

)

1

(

1











 

2.

2

1

10

sin





x

 теңдеуін шешу. 

Шешуі.Бұл теңдеудің шешімі болмайды,өйткені 

3

10



және 

1

2

1

10





. 

Тригонометриялық теңдеулерді шешу тәсілдері. 

Тригонометриялық  теңдеулердің  түбірлерін  табу  процесінде  жалпы,  кез  келген 

теңдеулерді  шешкенде  сақталатын  ережелердің  орындалуын  қамтамасыз  ету 

қажет.  Мысалы,  түрлендіру  барысында  теңдеудің  мәндестігінің  сақталуын 

қадағалап,  ол  теңдеуге  енген  әрбір  функциялардың  анықталу  облыстарын 

ескерген жөн. 

      Тригонометриялық 

теңдеулерді 

шешу 

барысында 

қандай 

да 

бір 

тригонометриялық  өрнектерді  түрлендіруге  және  осы  түрлендіру  процесінде 

тригонометриялық функциялардың қасиеттері мен теңбе – теңдіктерді қолдануға 

тура  келеді.  Осындай  түрлендірудің  нәтижесінде  берілген  теңдеуді  мынадай 

қарапайым теңдеулердің біріне келтіруге тырысу керек. 

                         

.

,

cos

,

sin

a

tgx

a

x

a

x







                                (1) 

     Кез  келген  тригонометриялық  теңдеуді  шешуге  болатын  универсал  тәсілді 

көрсетуге  болмайды.  Дегенмен  мектепте  математика  курсында  қарастырылатын 

тригонометриялық  теңдеулерді  шешуге  қолданатын  тәсілдерді  қарастыруға 

болады. 

  1.  Бір  бұрыштың  тригонометриялық  функциясына  келтіру.  Бұл  жағдайда 

тригонометриялық  функциялардың  біреуін  екіншісі  арқылы  өрнектейтін 

формулаларды 

пайдаланып, 

түрлендірудің 

нәтижесінде 

бір 

функцияға 

байланысты алгебралық теңдеу шығады. Сол алгебралық теңдеуді шешу арқылы 

жоғарыдағы (1) түрдегі қарапайым теңдеулердің біріне келеміз. 

М ы с а л. Теңдеуді шешіңіздер: 

.

2

1

3

sin

sin





x

x

 

Ш е ш у і:   





,

2

1

2

sin

sin







x

x

x

    

    





,

2

1

2

sin

cos

2

cos

sin

sin









x

x

x

x

x

 





,

2

1

cos

sin

2

cos

sin

sin

cos

sin

2

2

2









x

x

x

x

x

x

x

 

   









,

2

1

sin

2

1

sin

2

sin

2

1

sin

2

2

2

2









x

x

x

x

 

,

2

1

sin

2

sin

2

sin

2

sin

4

2

4

2









x

x

x

x

 

.

0

1

sin

6

sin

8

2

4







x

x

 

Егер 

y

x 

2

sin

 десек, онда 8

,

0

1

6

2





 y

y

 осыдан 

.

4

1

;

2

1

2

1





y

y

 

Онда 

2

1

sin

2



x

 және 

.

4

1

sin

2



x

  

Олай болса 

.

2

1

sin

,

2

1

sin

,

2

2

sin

,

2

2

sin













x

x

x

x

 

Бұл қарапайым бірігуін былай жазуға болады: 

                   

.

,

4

1

2

Z

k

k

x









 

Соңғы екі теңдеудің шешімдерін тапсақ, онда 

 

 

.

,

6

1

,

,

6

1

4

3

Z

n

n

x

Z

k

k

x

n

k







































 

Бірігуі былай жазылады:       

.

,

6

1

6

Z

n

n

x









 

Ж а у а б ы:    



4

1

2 



k

x

        және 

.

,

6

1

6

Z

k

k

x









 

Алгебралық  теңдеуді  шешіп  оның  түбірлерін  тапқан  соң  тригонометриялық 

функцияларының  мәндерінің  жиынын  ескерген  жөн.  Мысалы 

0

4

sin

5

sin

2







x

x

 

теңдеуінен 

4

sin



x

  және 

1

sin



x

  теңдеулерін  аламыз.  Мұның  біріншісінің 

орындалуы мүмкін емес, себебі 

.

1

sin



x

 

 

Кей  жағдайларда  қандайда  бір  тригонометриялық  өрнекке  байланысты 

алгебралық теңдеудің шығуы мүмкін. 

М ы с а л.Теңдеуді шешіңіздер: 

.

0

2

6

3

3

6







x

tg

x

tg

x

tg

x

tg

 

Ш е ш у і. 

y

x

tg

x

tg



3

6

деп ұйғарайық ,сонда квадрат теңдеу аламыз:

.

0

1

2

2





 у

у

 Бұл 

жағдайда 

,

,

2

6

,

2

3

Z

k

k

x

k

x

















яғни 





,

6

1

2 



k

x







,

12

1

2 



k

x



Z

k 

 

және 

tg3x



0, немесе  

.

,

3

Z

k

k

x







 

 

Шыққан квадрат теңдеудің бір ғана түбірі бар,ол: y=-1. онда 

,

3

6

,

3

6

;

1

3

6

k

x

x

x

tg

x

tg

x

tg

x

tg

















.

,

9

Z

k

k

x







 

Енді  функциялардың  анықталмаған  болатын  аргумент  мәндерінің  жиынын 

жоғарыда  табылған  түбірлер  жиынынан  алып  тастайық





6

1

2

9

1





k

k





  жағдайы 

орындалады,  себебі  бөлшектің  сол  жағындағы  бөлімі  тақ  сан,  ал  оң  жағындағы 

бөлімі  жұп  болғандықтан  теңдіктің  орындалуы  мүмкін  емес. 

9

3

2

1

k

k







  теңдігі  k

2

 

саны 3-ке еселі болғанда орындалады.Сондықтан берілген теңдеудің түбірлерінің 

жиыны 

9

k

x





-  дан  k  саны  3-ке  еселі  болатындарын  шығарып  тастау  қажет. 

1

3

6





x

tg

x

tg

 теңдеуін былай шешуге болады. 

,

1

3

3

1

3

2

2







x

tg

x

tg

x

tg

 мұнда 

.

0

3 

x

tg

 

 

Онда 

3

3

2



x

tg

 немесе 

,

3

9

k

x











 бұл жиынға

3

k

x





 түріндегі мәндер енбейді. 

Ж а у а б ы: 

,

3

9

k

x











Z

k 

 

2. 

Көбейткіштерге 

жіктеу. 

Берілген 

теңдеуді 

теңдіктің 

бір 

жағы 

тригонометриялық өрнек, ал екінші жағы ноль болатын түрге келтіргеннен кейін, 

ол  өрнекті  көбейткіштерге  жіктеу  мүмкін  болады  делік.  Бұл  жағдайда  бірнеше 

теңдеулер  алынады.  Әрбір  теңдеуді  шешіп,  оның  түбірлерін  тапқан  соң, 

табылған  түбірлердің  ішінен  тек  бастапқы  берілген  теңдеудің  анықталу 

облысына 

тиістілері 

ғана 

оның 

түбірлері 

болатын 

ескерген 

жөн. 

Мысалы,

1

cos

cos









x

ctgx

ctgx

x

  теңдеуін 







0

1

1

cos







ctgx

x

түріне  келтірген  соң, 

шыққан 

0

1

,

0

1

cos









ctgx

x

  теңдеулерінің  біріншісінің  түбірлері 





1

2 



k

x



 

берілген  теңдеудің  түбірлері  бола  алмайды,  себебі  х-тің  ол  мәндерінде 

ctgx

y 

функциясы анықталмаған. 

 

Әрине,  тригонометриялық  өрнектерді  көбейткіштерге  жіктейтін  жалпы 

универсал  тәсіл  жоқ.  Әрбір  дербес  жағдайда,  оны  сол  өрнектің  түріне  және 

қандай  тригонометриялық  формулалар  мен  теңбе-теңдіктерді  қолдануға 

болатындығына қарап анықтайды.  

№29,30 дәрістер. 

Тақырыбы:Тригонометриялық теңдеулер. 

Дәріс  мазмұны.  Біртекті  тригонометриялық  теңдеулер.Біртекті  теңдеуге 

келтірілетін теңдеулер. 

 Біртекті тригонометриялық теңдеу деп 

0

sin

sin

cos

...

sin

cos

cos

1

1

1

1

















x

a

x

x

a

x

x

a

x

a

n

n

n

n

n

n



 түріндегі теңдеуді,яғни 

барлық қосылғыштарындағы көрсеткіштерінің қосындысы бірдей болатын 

теңдеуді атаймыз. 

Егер  теңдеуге  бір  ғана  аргументке  тәуелді  болатын  синус  пен  косинус 

функциялары қатынасса және теңдеудегі әрбір қосылғыштағы ол функциялардың 

дәреже  көрсеткіштерінің  қосындысы  бірдей  болса,онда  теңдеу  біртекті  теңдеу 

деп  аталады.  Бұл  типтегі  теңдеулер  тангенске  (котангенске  )  байланысты  

алгебралық теңдеуге оңай келтіріледі.Ол үшін косинустың (синустың )белгілі бір 

дәрежесіне бөлу қажет. 

 М  ы с а л. Теңдеуді шешіңіздер: 

                 

.

4

cos

sin

3

cos

6

sin

5

2

2







x

x

x

x

 

Шешуі.Жалпы  алғанда  бұл  теңдеу  біртекті  теңдеу  сияқты  емес.Бірақ 

тригонометриялық 

негізгі 

теңбе-теңдікті





1

cos

sin

2

2





x

x

 

пайдалансақ,оны 

біртекті теңдеуге келтіруге болады. 





.

cos

sin

4

cos

sin

3

cos

6

sin

5

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x











 

Бұл  теңдеуде   

0

cos 

x

  (себебі 

0

cos 

x

  болса, 

1

sin



x

  болар  еді  де,  берілген 

теңдеудің  түбірі  болмас  еді,  өйткені  мұнда  5=4  жалған  теңдігі  шығады) 

болмағандықтан, теңдеудің екі жағында 

x

2

cos

-ке бөлеміз, сонда  

 

.

2

1

3

2

8

9

3

,

0

2

3

2





















tgx

tgx

x

tg

  

Бұдан  

 

.

,

4

,

1

Z

n

n

x

tgx

















 





.

,

2

,

2

Z

n

n

arctg

x

tgx















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Практикалық сабақтар жоспары. 

№ 

Тақырып 

Мазмұны 

Апта 

Әдебиет 

1 

Арифметика. 

 

1.Бүтін 

сандардың 

бөлінгіштігі. 

2.Бөлінгіштік қасиеттері. 

3.ЕҮОБ және ЕКОЕ табу. 

 

1 

[7] №1-21;[8] 

№1.1-2.38 

2 

Арифметика. 

 

1.Евклид 

алгоритмі.           

2.Рационал 

және 

иррационал 

сандар.                  

3.Санның 

дәрежесі.                  

4.Санның 

абсолют 

шамасы.    

 

2 

[7]  №  22-35;  [8]  

3.1-3.20; [6] №215-

258 

 

3 

Алгебралық 

өрнектер.Көпмүшелер. 

 

1.Алгебралық 

өрнектер.Қысқаша 

көбейту формулалары. 

 2.Алгебралық өрнектердің 

МБМ.                 

3.Көпмүшелермен амалдар 

орындау. 

 

3 

[9] 

II тарау 

§1-§3 

№1-65; [10] 1 

тарау №1.001-

1.046     

 

 

4 

Көпмүшелер. 

 

 1.Жиындардың 

бөлінгіштігі.Горнер 

схемасы. 

 2.Көпмүшенің  түбірі.Безу 

теоремасы. 

 3.Көпмүшені 

көбейткіштерге жіктеу. 

 

4 

[9]

IIтарау

§5; 

[11]

Iтарау

жүктеу/скачать 0,96 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: