«Физика математика және ақпараттық жүйе» бөлімі

Шешуі:

АВС үшбұрышына сырттай шеңбер сызылған шеңбердің центрін О деп белгілейік, онда ОМ түзуі ВС хордасына перпендикуляр болғандықтан, ол осы хордамен керілетін шеңбердің әрбір екі доғасын тең екіге бөледі. АD биссектрисасы да  шеңберінің ВАС бұрышы тірелетін дәл осы доғасын тең екіге бөледі. Олай болса, ОМ түзуі мен АD биссектрисасы сырттай сызылған шеңбердің Р нүктесінде қиылысады. О нүктесінен АР – ға түсірілген перпендикулярдың табаны – АР-ның ортасы, яғни S нүктесі болады.

2) (А, m_а) шеңбері

3) (А, m_а)  DН = М нүктесі

4) Мl және l  DН түзуі

5) l  АD = Р нүктесі

6) t - АР кесіндісінің орта

перпендикуляры

7) t  МР = О нүктесі

8) (О, ОА) шеңбері

9) DК   = В және С нүктелері

АВС – ізделінді үшбұрыш.

Шешуі:

(3 - сурет), АD = m_а, CH = h_c, BL = h_в.

АС табанына DF перпендикулярын жүргізсек,

DF = (D–медиананың табаны болғандықтан).

Олай болса, АFD тікбұрышты үшбұрышын

АD = m_а гипотенузасы мен DF = катеті

бойынша сала аламыз. Дәл осылайша DК = катеті мен АD гипотенузасы арқылы АDК тікбұрышты үшбұрышын тұрғызуға болады. Сонда ізделінді үшбұрыштың ВАС бұрышы анықталады.

Салу: 1) АFD тікбұрышты үшбұрышы (АD = m_а, DF =, DFА=90⁰)

2) АDК тікбұрышты үшбұрышы (АD = m_а, DК = , DFА=90⁰)

3) [FD) сәулесіне FЕ = h_в кесіндісі

4) Е нүктесі арқылы l║AF түзуі

5) l ∩ [AК) = В нүктесі

6) ВD түзуі

7) ВD ∩ [AF) = С нүктесі

АВС – ізделінді.

В нүктесінен АС табанына ВL перпендикулярын түсірсек, BL = EF = h_в. Айталық СН  АВ, онда СНВ үшбұрышында DК кесіндісі (КАВ) орта сызық болады. Ал салу бойынша DК = . Бұдан СН = DК = h_с.

теңсіздіктері орындалғанда ғана мүмкін болады. Ал 3) – 7) салу қадамдары әрқашан орындалады. Олай болса, бір уақытта h_в  2m_а және h_с  2m_а теңсіздіктері орындалғанда есептің жалғыз шешуі бар. Басқа тәсілмен шешкенде өзге шешім шығуы мүмкін емес, себебі m_а = m_а, h_c = h_c, h_в = h_в  ∆АВС = ∆АВС.

Шешуі:

АВ + ВС + СА = р

және ВАС = , ВСА = .

Егер АС табанының созындысына АD = AB,

CE = BC болатындай кесінділер белгілесек,

DE кесіндісінің ұзындығы периметрге тең

болады, яғни DE = p. D, E нүктелерін АВС

үшбұрышының В төбесімен қосамыз.

Сонда DBA және EBC тең бүйірлі үшбұрыш-

тары шығады. Үшбұрыштың сыртқы бұрышының қасиетін ескерсек, ADB = ABD = , CBE = CEB = . Демек DEB үшбұрышы бір қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы бойынша белгілі.

Салу: 1) DЕВ үшбұрышы (DE = p, BDE = , BED = ).

2. 
   DB кесіндісінің орта перпедикуляры: n₁
   

4) BЕ кесіндісінің орта перпедикуляры: n₂

5) DE ∩ n₂ = В нүктесі

6) АВ, СВ кесінділері

∆ АВС – ізделінді.

Дәлелдеу: n₁, n₂ орта перпендикулярлар болғандықтан, сәйкесінше АВ = AD, BC = CE. Ал салу бойынша DA + AC + CE = p, бұдан АВ + АС + ВС = р.

Егер n₁∩ DB = K, n₂ ∩ EB = P десек,

KAD = 90⁰ - , PCE = 90⁰ - .

Дәл осылайша, KAВ = 90⁰ - , PCВ = 90⁰ -

Сонда

ВАС = 180⁰ - ВАD = 180⁰ - KAВ - KAD = 180⁰ – 90⁰ + - 90⁰ + =

ВСA = 180⁰ - BCE = 180⁰ - PCB - PCE = 180⁰ – 90⁰ + - 90⁰ + =

Зерттеу:  +    шарты орындалғанда есептің шешімі бар және ол жалғыз болады. Себебі, қарсы жорып, АВС үшбұрышы да шешім болады десек, ВАС = , ВСА = , АВ + ВС + СА = р, онда ∆АВС = ∆АВС.

Есеп 4: а, в, с түзулері, р кесіндісі берілген. с – а, в түзулерін қияды. Ұштары а, в түзулерінде болатын, с - ға параллель және р кесіндісіне тең кесінді салыңыз.

Шешуі:

Айталық с  в = Р. АМ || в сәулесін жүргізсек және АМ  с = Q деп белгіле-сек, АВРQ төртбұрышты параллелограмм болғандықтан PQ = AB = p.

2) с түзуінен PQ = p кесіндісі (Qс )

3) QМ || в түзуі

4) QM  a = A нүктесі

5) AN || c түзуі

6) AN  в = В нүктесі

1) QM  a, онда QM || в || Q'M' болғандық-

тан, Q'M' түзуі де а түзуін қияды (6-сурет).

2) QM || a

3) QM  а (беттеседі)

1) жағдай а, в түзулері қиылысқанда ғана

мүмкін. Онда 4) - 6) салу қадамдар Q, Q'

нүктелерінің әрқайсысы үшін бірмәнді

орындалады да, есептің екі шешімі болады.

2) жағдай а || в және с түзуінің а, в түзулерінің арасындағы кесіндісі р – дан өзге болғанда ғана орындалады. Онда QMa = A нүктесі болмайды да, есептің шешімі жоқ делінеді.

3) жағдай а || в және с түзуінің а, в түзулерінің арасындағы кесіндісі р – ға тең болғанда орындалады. Онда есептің шексіз көп шешімі бар.

Есеп5: СD биссектрисасы және оның С төбесінен жүргізілген биіктікпен, медианамен арасындағы бұрыштары берілген. Осы элементтері бойынша АВС үшбұрышын салыңыз.

Шешуі:

бойынша НСМ тікбұрышты үшбұрыштарын

тұрғызуға болады. Егер -АВС үшбұрышы-

на сырттай сызылған шеңбер десек, оның

СD биссектрисасымен қиылысу нүктесі,

яғни Е нүктесі – АВ хордасының ортасы

болады. Сондықтан ол АВ қабырғасына

тұрғызылған орта перпендикулярдың бойында

жатады, ал ол түзу М нүктесі арқылы өтеді.

Салу: 1) СD гипотенузасы мен НСD бойынша НСD тікбұрышты үшбұрышы

2) СН катеті мен НСМ = МСD + НСD бойынша НСМ тікбұрышты үшбұрышы

3) М нүктесі арқылы МК  НD түзуі

4) МК  СD = Е нүктесі

5) СЕ кесіндісінің орта перпендикуляры: n

6) n  МК  О нүктесі

7) (О, ОС) шеңбері

8)   НD = А және В нүктелері

АВС – ізделінді үшбұрыш.

Дәлелдеу: Салу бойынша НСD – биіктік пен биссектрисаның арасындағы бұрыш, онда

DCM = HCM - HCD = MCD + HCD - HCD = MCD.

Егер МК    Р (Е – ден өзге нүкте) десек, О РЕ (РЕ – диаметр). Салу бойынша АВ  РЕ, онда МА = МВ, яғни Е – АВ кесіндісінің орта перпендикулярында жатыр. Бұдан АЕ = ЕВ, яғни АСЕ  ЕСВ  СD – биссектриса.

Зерттеу: Егер  +   90⁰ болса, есептің шешімі болмайды. Егер  +   90⁰ болса, есептің жалғыз шешімі бар.

Есеп 6: АВСD тіктөртбұрышы берілген. Оның СD қабырғасынан АВМ, BCM, ADM үшбұрыштары ұқсас болатындай етіп, М нүктесін табыңыз.

Шешуі:

екенін ескеріп, АМВ = 90⁰ теңдігін аламыз. Ал тікбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің қасиетін пайдалансақ М, мұндағы -диаметрі АВ болатын шеңбер.

2)  (О, ОВ) шеңбері

3)   DC = М нүктесі

М – ізделінді нүкте.

АМВ  АМD ВМС.

1. 
   ВС  ОВ, онда   DC қимасы М және М нүктелерінен құралады да, есептің екі шешімі болады.
   
2. 
   ВС = ОВ, онда   DC = М – жалғыз нүкте, олай болса, есептің бір ғана шешімі бар.
   
3. 
   ВС  ОВ, онда   DC = , яғни есептің шешімі жоқ.