Функцияның қасиеттерін зерттеу

а) f(x₁) < f(x₂) теңсіздігі орындалатын болса, онда функция өсетін, ал

б) f(x₁) > f(x₂) теңсіздігі орындалатын болса, онда ол кемімелі болады.

Теорема. Егер кейбір арлықтың барлық нүктелерінде f ^/(x) = 0 болса, онда f(x) функциясы осы аралықта тұрақты мәнін сақтайды.

Салдар. Егер екі функцияның кейбір аралықта туындылары тең болса, онда олардың бір – бірінен айырмашылығы тұрақты қосылғышқа байланысты болады.

Теорема. Егер (a,b) интервалында дифференциалданатын y = f(x) функциясы өсетін (кемитін) болса, онда оның туындысы осы интервалдың ешбір нүктесінде теріс (оң) болмайды, яғни x (a,b) үшін f ^/(x) ≥ 0 (f ^/(x) < 0).

Анықтама. Егер x = c нүктесінің төңірегіндегі кез келген x нүктесі үшін (x ≠ 0)

Максимум және минимум мәндерді бір сөзбен функцияның экстремумы деп атайды.

Ферма теоремасы. (Функция экстремумының қажетті белгісі) Егер x = c нүктесінде диффренциалданатын функция осы нүктеде максимум немесе минимум мәнін қабылдайтын болса, онда оның туындысы осы нүктеде нөлге тең болады, яғни f ^/(c) = 0.

Анықтама. Аргументтің х = c мәнінде функцияның туындысы нөлге айналса, немесе үзілісті болса, онда функция аргументінің бұл нүктесін күдікті (сындық) нүктесі деп атаймыз.

Теорема. (Функция экстремумының жеткілікті белгісі). Егер үздіксіз y= f(x) функциясының күдікті нүктесі жататын аралықтың барлық нүктесінде (күдікті нүктенің өзінен басқасы) туындысы f ^/(x) бар болсын және ол күдікті нүктеден өткенде таңбасы ”+” (плюстен) “-” (минусқа) өзгерсе, онда функция бұл нүктеде өзінің максимум мәнін, ол туынды f ^/(x) таңбасын “-“ - тан “+” – ке ауыстыратын болса, онда функция бұл нүктеде өзінің минимум мәнін қабылдайтын болады.

Вейерштрасс теоремасы. Егер [a,b] кесіндісінде f(x) функциясы үздіксіз болса, онда осы кесіндіде функция шектелген және өзінің ең үлкен, ең кіші мәнін қабылдайды.

Теорема. Күдікті x = c нүктесінде f ^/(c) = 0, ал f ^//(c) = 0 бар және f ^//(c) ≠ 0 болсын деп ұйғарайық. Бұл жағдайда егер f ^//(c) < 0 болса, x = c нүктесінде функция өзінің максимум мәнін, ал егер f ^//(c) > 0 онда x = c нүктесінде функция өзінің минимум мәнін қабылдайтын болады.

Функцияның дөңестігі мен ойыстығы.

Анықтама. Қисықтың дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұратын нүкте оның иілу нүктесі деп аталады.

Теорема. Егер (a,b) аралығыда екінші ретті туындының таңбасы теріс болса, яғни

f ^//(c) < 0, онда y = f(x) функциясының графигі бұл аралықта дөңес, ал керісінше болса, яғни

f ^//(c) > 0, онда бұл аралықта функция графигі ойыс болады.

Теорема. y = f(x) функциясы берілген болсын. Егер x = x₀ нүктесінде f ^//(x₀) = 0 немесе f ^//(x) = 0 жоқ және осы нүкте арқылы өткенде f ^//(x) таңбасын өзгертетін болса, онда

Қисықтық асимптоталары.

Басқаша айтқанда:

1. Горизантальдық асимптоталар. y = b түзуі y = f(x) қисығының горизантальдық асимптотасы болуы үшін (немесе ) болуы қажетті және жеткілікті.

2. Көлбеу асимптоталар. Егер y = kx + b f(x) қисықтың асимптотасы болып және y = kx + b теңдеуіндегі k ≠ 0 оны көлбеу асимптотасы деп атайды.

Теорема. y = kx + b түзуі y = f(x) қисықтың асимптотасы болуы үшін ақырлы шектер пен бар болуы қажетті және жеткілікті шарт.

3. Вертикальдық асимптоталар. Егер y = f(x) қисығы үшін

болса, x = x₀ түзуі берілген қисықтың вертикальдық асимптотасы деп аталады.

Мысал. функциясының асимптоталарын табыңыз.

Шешуі. 1. Горизонтальдық асимптотасы: ;

Демек, - көлбеу асимптота.

3. Вертикальдық асимптотасы: , -үзіліс нүктесі және вертикальдық асимптота.