§6.  О строградский-Гаусс теоремасы  және оны н электр  өрісін

6 -с у р е т
үшііі  де  кернеулік  векторының 
йіі.іны  4 щ   немесе  ц/ео  тең  бола- 
іы ііды ғы н
 
дэлелдейік.  Әжімі  жок 
(кыргысы  жок)  бет  үшін  (
6
а)
«уретгегідей) бүл түжырым  езінен 
йіі
  яйқын.  Ш ынында  да  мүндай 
Псі  сфералық  бет  сиякты  әрбір 
ксрнеулік 
сызығымен 
бір-бір 
рсгісн  киылысады.  Әжімі  бар  бет 
яркылы 
өтетін 
агынды 
іч сптегенде  кернеулік сызығының 
мн.ілысу 
саны 
карастырып
ОТырган  жагдай  үшін  тек  қана тақ болатындығын,  сонымен  бірге  бүл 
Циылысулар  жалпы  алганда  бірде  оң,  бірде  теріс  үлесін  алма-кезек 
ЙОСЫП 
отыратындыгын  ескеру  керек.  Нәтижесінде  берілген  сызык 
ввтгі  канша  рет  қиып  өтпесін  ағынға  қосылатын  қорытынды  үлес  не
♦ I.  (акырында  сыртка  шығатын  сызыктар  үшін)  не 
- 1
  тең  болады 
(ІИікс  кіретін  сызықтар үшін).
Сөйтіп  түйықталған  беттің  формасы  кандай  болғанымен  де  ц 
Иүкгслік  зарядты  қоршаған  осы  бетгі  тесіп  өтетін  кернеулік 
И кторының ағыны 4 щ  (немесе <\!го) тең болады.
Қандай  да  бір  түйықталған  беттің  ішінде  кез  келген  таңбалы 
ц,.і|  .  ...я„  нүктелік  зарядтар  бар  екен дейік.  Сонда аныктама  бойынша 
(14) орнекке сэйкес 
N =* Ф = оЕ„с18.
Өрістер суперпозициясы  принципінің негізінде
= Е„\ +Е
п2
 +... + Е„,  = 
£„,. 
(16)
Сонда
Ф
- о (  
Е*)<15- 
0
 ЕМСІЗ
( I I )  орнек бойынша
о £„,<£■ = 4 п 
я,
3
Щ.
Сондықтан  Ф -  оЕпс18 -  —   (- 4п 
д,)
$ 
е0  м 
і
-1
(17)
бүл  өрнек  Остроградский-Гаусс  теоремасының  дэлелденуі 
Пічм.ім 
табылады.  Оны  бүлай  түжырымдауға 
Л*иі»-ды:
'Гүйыкталған  бет  аркылы  өтетін 
и г к і р  
өрісі  кернеулік  векторынын  агы- 
ИЫ 
осы  беттін  ішінде  корш алған  заряд-
217
7-сурет

тарды ң  алгебралык  косындысын 
Ео-ге 
бөлгенге  (немесе  4я-ге 
көбейткенге)  тен.  Егер  бет  ішінде  зарядтар  болмаса  онда  агын 
нольге тен болады  Ф=0 (7  сурет).
Егер  заряд  көлемдік  тыгыздыгы 
р  = —   болатын  тұйыкталған
сіУ
беттің  ішінде  үздіксіз  таралса  онда  Остроградский-Гаусс  теоремасы 
мына түрде жазылуы керек
(18)
Ф  =  о Е п(18  = —   р а ү  
(= 4тг  р с ІҮ ).
Енді  Остроградский-Гаусс  теоремасына  сүйіне  отырып  бірнеше 
жеке жағдайлар үшін еріс  кернеулігін анықтайық.
1) 
Біртекті зарядталган  шексіз жазыктықтын өрісі 
О строградский-Гаусс  теоремасын  қолданып  жазықтықтың  сыр- 
тындағы  А  және  В  нүктелеріндегі  өріс кернеулігін  анықтау  керек, егер 
жазықтық ст=тұрақты жэне оң зарядпен  зарядталған  болса (
8
-сурет)
<І8
8 -с у р е т
Тұйықталған 
бет 
ре- 
тінде  былайш а  салынган  ци- 
линдірлік  бетті  алайық.  Ци-
линдрдің  бүйір  беті 
Е  
-ге  па-
раллель,  ал табаны 
8
ь 
8
2£ -г е  
перпендикуляр.  Сонда,  сим- 
метрия  шарты бойынш а эрбір 
8
і  жэне 
8 2
  табандары  нүкте- 
лерінің 
бәрінде 
кернеулік 
түрақты  жэне  бір-біріне  сан 
жағынан  алғанда тең,  жэне  ол 
ізделіп 
отырған  А 
нүкте- 
сіндегі  кернеулік  векторына тең деп  қарастырамыз.  Сонда қарастырып 
отырған  цилиндірлік  бет  арқылы  өтетін  кернеулік  векторынын 
ағынын бьшай есептейміз
+Ф,2  + <*>«  +Ф«  = Ф„  +Ф,2
мұндағы 
Ф№  + Ф№ 
-  0,  өйткені  кернеулік  сызықтары  цилиндірдің 
бүйір бетіне параллель сызықгар.
Сондыктан 
Ф 
= Ф,  + 
Ф2
мұндағы  Ф,  жэне 
Ф 2 
ағындар.
218

Цилиндрдің 
8
Ь 
3
2
 
табандары 
кернеулік 
сызықтарына 
исрпендикуляр  болғандықтан,  олардан  өтетін  агындар  кернеуліктің 
іпамасын табанының ауданына көбейткенге тең болады.
Ф,  -  
Е 5 „  
Фг 
-  
Е 5 2.
Ф - Е 5 , +  Е 5 2  -   Е (5 ,  + 5 , ) -  2 Е 5  
О строградский-Г аусс теоремасы бойынша
1
Ф ,
£ 2 5 -  —
еп
П
= а5  болғандықтан (*) өрнектен
■2 л о ) .
'
  2е„("
(19)
Е = -
2еп
Е   = -
Кернеулік  векторының  сан  мәні  А  нүктесінің  жазықтықтан 
клшықтығына  байланысты  емес  екендігін  көреміз,  В  нүктесі  женінде 
дс  осыны  айтуга  болады.  Сөйтіп  біртекті  зарядталған  шексіз 
жіпыктыктан  кезкелғен  каш ыкгыкта  өріс  кернеулігі  шамасы 
жш ынан  бірдей  болады.  Егер  жазыктык  теріс  зарядталган  болса 
(  я),  онда  кернеуліктін  багыты  карастырылғандагыга  карсы  бо- 
ЛЙДЫ.
2) Әр аттас  зарядталган  шексіз  параллель екі жазыктыктың
• р к і .
Ш амалары  жагынан  бірдей,  тү- 
+ а   ' 
- а
рнкты 
о бетгік тыгыздықпен  әр  аттас за- 
ридталған 
екі  параллель  шексіз  жа- 
и.іктықтын 
өрісін  эрбір  жазықтыктың 
ж ске-жеке 
туғызған  ерістерінің  супер-
ііо 
іициясы  ретінде  табуға  болады  (9-су- 
~ 2е0 
е
рст 
бойынша)
£  = £   + £ .   = — (=4ясг).
* 
е 0 
9 -су р ет
(
20
)
Өріс  жазықтыктар  арасына  шоғыр-ланган  жэне  осы  облыстың 
Л*рлык  нүктелерінде  өріс  кернеулігі 
шама  жағынан  да,  бағыты 
ікш ынанда  бірдей  (9-суретті  қара).  Сондықтан  ол  біртекті  өріс 
О
оіінлы
,  ал  жазыктықтан  тыс  жатқан  нүктелер  үшін  қорытқы 
кернсулік Е=0.
3)  Біркелкі  зарядталган  сфсралык  беттің  тудыраты н  өріс 
кгрнсулігі.
Радиусы К сферапық бет оң электрмен  зарядталган  жэне  оның о 
ІП Т Ік 
тыгыздығы  түрақты.  Сонда  осы  сфералык  беттің  сыртында 
Кпгкан 
А  нүктесінің жэне ішінде жатқан  В  нүктесінің өріс  кернеулігін
219

анықтау  керек  (10-сурет).  О строградский-Гаусс  теоремасы  бойынша 
(17):
а) А  нүктесі үшін 
Е  
-  4 
кг
Осыдан
- Ч ( -
4 лд )
1
4те„  г
( - 4 ) .  
(г>Я)
(
21
)
(
22
)
б) В  нүктесі үшін 
Е  
4
п г'г 
=
 0 
сондықтан 
Е  
=
 0
(г<К ).
Ю-с>-рет
Осыдан 
мынандай 
қор- 
тынды  шыгады:  біркелкі  заряд- 
талған  сфералық  беттің  одан  тыс 
жатқан 
нүктелерде 
туғызған 
кернеулігі  барлық зарядтар оның центрінде орналасқандай болады  [(5) 
және  (21)  өрнектерді  салыстыр].  Ал  біркелкі  зарядталған  сфе-ралык 
беттің  ішіндегі  барлық  нүктелерінде  электростатикалық  ерістің 
кернеулігі  нольге  тең  болады.  Осы  (21)  жэне  (22)  формулалар  я 
зарядпен зарядталған өткізгіш  шар  үшін де дұрыс болады.
4)  Біркелкі  зарядталган  сферанын  тудыратын  өрісінің  кер- 
неулігі.
Радиусы  К   сфера  алайық:  оның жалпы  ц  оң заряды  сфераның  V 
көлемінде түрақты о тығыздықпен орналасқан болсын,
Р - - “ 
1Г~-
У 
4
- л К '
3
Сферадан тыс жатқан  жердегі өріс үшін (г>К) беттік зарядталған 
сфера  жағдайындағыдай  (
1 0
-сурет)  (
2 1
)  өрнектегідей  нэтижені 
шығарып  алуға болады.  Алайда сфераның  ішіндегі  нүктелер үшін  бұл 
нэтиже  басқаш а болады.  Ш ынында д а  радиусы  (г’<К)  сфералық  бетте
болады.  О нда  Остроградский-Гаусс  теоремасы
4 
■» 
р - я г  
заряд
Р
бойынша
Е (г   )  4лг 2  « —  р  — пг г(4 п р  — л г 3) .  
е
„  3 
3
Осыдан 
Е (г ')   = —  р ^ - ( = ^ л г )  
£ „ 3  
3
немесе
220

Е ( г )
1
4та
0
  Л! 
мынандай
г - ( - - 2 г г ш
)  (г’<К).
Д
(23)
11-сурет
Е
Осыдан 
қорытынды  шыгады:
Біркелкі 
зарядталган  сфера 
озінен  тыс  жатқан  нүктелерде  (г>Я) 
барлық 
заряд 
оның 
центрінде 
жинақталған  жагдайдағыдай  кер- 
неулік тудырады  [(5) жэне (21) фор- 
мулаларды 
қара)], 
ал 
біркелкі 
іарядталган  сфера  ішіндегі  кер- 
неулік  сфера  центірінен  бастап  ара- 
кашықтыққа  пропорционап  осетінін 
кореміз (23) (1 1-сурет).
5) 
Біркелкі 
зарядталган 
шектеусіз 
цилиндрлік 
беттіц 
гудыратын  өрісініц кернеулігі.
Радиусы  К  цилиндірлік  бет 
шіайық,  оның  зарядының  беттік 
іыгыздыгы  <т  =  түрақты  болсын.
Сонда  цилиндірдің  сыртында  жат- 
кан  бір  А  нүктесіндегі  өріс  кер- 
неулігін анықтайық.  (
1 2
-сурет).
Есептің 
симметриясы 
бой-
і.інша кернеулік  векторы  Е,  радиус- 
кектор  г-дің  созындысымен  сәйкес 
келеді.  Биіктігі  Ь  цилиндірдің  жо- 
щргы  жэне  төменгі  табандары  ци- 
линдір  өсіне  перпендикуляр.  Осы 
ңилиндірге 
Остроградский-Гаусс 
ісоремасын  қолданайық.  Бүл  ци-линдірлік  бет  арқылы  отетін  толық 
•гын  тек  қана  оның  бүйір  бетінен  отетін  агынга  тең  болады,  өйткені, 
цнлиндірдің  табаны  кернеулік  сызыктарга  параллель  болгандықтан, 
олардан  өтетін  агын  нольге  тең  болады.  Сонда  кернеулік  сызықтары 
цилиндірдің  бүйір  бетіне  перпендикуляр  болатындықган,  біз  Ф  толық 
иі і.інды  кернеуліктің  Е  сан  мэнін  цилиндірдің  бүйір  бетінің 
2
пгЬ 
иуданына кобейту арқылы  шыгарып аламыз:
Ф
 
-  2 я г І£ . 
(24)
Остроградский-Гаусс  теоремасы  бойынш а  осы  агын  түйық
іишиндрлік  беттің  ішіндегі  я  зарядты  —   (немесе  (4я))  көбейткенге
12-сурет
221

тең,  ал  бұл  я  заряд  цилиндрдің  Ь  ұзындыгына  келетін  зарядқа  тең 
<7
 -  ст
2
яШ. , демек О строф адский-Г аусс теоремасы бойынша
1
Іп гЬ Е   = — о 2 к К Ц 4 п < у 2 л К І).
Осьщан
АлаН
)•
(25)
Егер  Я = 
77
  = 
2 л К о  
цилиндрдің  ұзындык  бірлігіне  қатысты  заряд 
мөлшері деп белгілесек, онда
Е ~ - ^ ( - ^ - ) .  
(г 
К) 
(26)
2 л е 0  г
§7.  Электростатикалы қ өріс  күштерінін  жүмысы.  Кернеулік 
векторы нын 
цнркуляциясы. 
Электростатикалы қ 
өрістің 
потенциалды қ характері.
Қозгалмайтын  нүктелік ц  оң  зарядтың өрісіндегі  күштердің,  осы 
өрістің бір  нүктесіне  қойылган  ц
0
 сыншы  зарядты өрістің 
1
  нүктесінен 
2
  нүктесіне  орын  ауыстырган  кездегі  оріс  күштерінің  істейтін 
жүмысын табайық (13-сурет).
Ол  үшін  1  нүктесінен  2  нүктеге 
дейін орын  ауыстыру  жолын  сІЬ  элемен- 
тар  бөліктерге  бөліп,  солардың  біреу- 
індегі элементар жүмысты табайық.  Ол 
1
 
ЯЧо
<1А  =  /сИ  С05 а  
1
4ле„
- <ІЬ со5 а   ■
ЧЧ
 о
сіг.
4 л е 0  г '
Осыдан
А.,  -   4А  = —
•(27)
Г аусстық жүйеде
Г‘ йг
чч<,  —  ■
Ч 
0 
4ле„
(£ _ і )
. 
1
  болады.
1
4 л е 0
Осьщан,  нүктелік 
зарядтың  өрісінде,  өріс  күштерінің 
ц„ 
зарядты  көшіру  жүмысы,  ц0  зарядтың  орын  ауыстыратын  жолыни 
байланысты  емес,  тек  қана  осы  зарядтың  бастапқы  жэне  ақыргы 
орнына (гі  мен  г
2
-ге)  байланысты  екендігін  көреміз. Демек  ц„  зарядки 
әсер  ететін  қозгалмайтын 
заряд  өрісінің  тудыратын  күштері 
потенциалдық екендігін  көреміз.
222

Мынадай теңцікпен анықталатын  V  функциясын енгізейік
Ғ = ^ + С .  
(28)
Г
Сонда  1  жэне 2 нүктелер үшін  V,  -  — + С ,  У2  = — + С .
Г\ 
Г2
Осыдан  V,  - У2  айырмасы  —
айьфмасынатең.
Л 
Г2
(28)  тендікпен  анықталатын  V  функциясы  нүктелік  ц  зарядтың 
н іііп іц и а л ы   деп  атапады.  (27)  ернекке  потенциал  мэнін  енгізіп, 
мі.иіаны табамыз:
4 2 - у ^ ( К - Ү 2 ) ( -  яЛК-Уг))- 
(29)
4яв
0
Осыдан  мынадай  қортынды  шыгады:  өріс  күштерінің  заряд- 
іы  кошіру  жүмысы  сан  жағынан  апғанда  зарядтың  шамасын  жолдың 
Опішпқы жэне ақырғы  нүктелердегі  потенциалдар айырмасына көбей- 
ікгіис  тең  болады  да,  жолдың  формасына  байланысты  болмай,  тек 
Нйнп  чарядтың  алғашқы  жэне  соңғы  орнына  ғана  байпанысты  бола- 
іыидмгын көреміз.
Г.гер  жол  түйықталған  болса,  онда  Үі=У2,  жэне  (29)  формула 
ПоМыпша  жүмыс 
нольге  тең.  Яғни,  заряд түйық  жолмен  орын
йуі.ігп.ірганда  электростатикалық  күштер  жүмысы  нольге  тең.  ц
0 
Мрилгың  түйық контурды  айнала  қозғалғанда  өріс күштерінің
врымдайтын жүмысы  мынандай өрнек түрінде де жазылуы  мүмкін:
А = о чаЕ'<И, = 0.
Осыдан  А  = 0  бойынша
о 
д 0Е есИ
 = 0 
0.
Сондықган 
оЕ^сіІ = 
0
. 
(30)
0 Е,сіі  = 0  түріндегі  өрнек  берілген  контур  бойынш а  кернеулік
Икюрының 
циркуляциясы 
деп 
аталады. 
Сонда 
(30)  өрнек
і  ігн і росгатикалық  өрісіке  тән  нәрсе,  кез  келген  түйы қ  контур 
АнМынша  кернеулік  векторыныц  циркуляциясы  нольге  тең  бола- 
і ы м і і і
.
і г ы н
 
көрсетеді.  Осындай  (30)  шарт  орындалатын  өрісті,  потен- 
і і і і й і і
 
оріс деп атайды.
§8.  Потенциал  және  потенциал денгейінін беттері.
1 Іотенциал  орісте  түрған  күштердің  потенциалдық  энергиясы 
А
й
|
і
  сксндігін  жэне  өріс  күштерінің  есебінен  жүмыс  істелетіндігін  біз 
Мхиііикада  айтқанбыз.  Сонда  істелінген  жүмыс  потенциапдық 
Мііірі иннын  айырмасына  тең  болатындығын  да  көргенбіз.  Демек  (27)
223

өрнек  бойынша ц  заряд өрісіндегі  бірінші  және  екінші  нүктелердегі  ц
0 
зарядының  потенциапдык  энергиясының  айырмасы  түрінде  былай 
өрнектелуі  мүмкін,
А г
  -  _ 1 _ М ----
- I V
\пе0
  /; 
4 я е 0 
г
2
О сыдан  я  зарядының  өрісіндегі  я
0
  зарядының  потенциапдық 
энергиясы үшін  мынаны апамыз:
\Ү  = ——   М + п о с т
4 ле0 
г
г -»  , 
пост
= 0
(31>
4яе
0
  г
Өрісті  зертгеу  үш ін  осы  я
0
  зарядты  сыншы  заряд  ретінде 
пайдаланамыз. 
Сонда 
(31) 
өрнекке 
сәйкес 
сыншы 
зарядтың 
потенциалык  энергиясы  тек  қана  ц
0
  зарядының  шамасына  гана  емес, 
сонымен  бірге  өрісті  аныктайтын  я зарядқа  және  г  ара  қашықтыққа да 
тәуелді  екенін  көреміз.  Демек,  бүл  энергияны  да  сыншы  зарядқа  эсер 
еткен  күш  сияқты,  ягни  (4)  өрнекпен  анықтапатын  Е  кернеулік- 
векторы сиякты потенциялық өрісті  сипаттауга болады.
Ш ынында  да  ерістің  берілген  бір  нүктесіне  қойылган  эр  түрлі 
сыншы 
зарядтардың 
? 0, ? 0
..........  
энергиялары 
түрліше 
болады
...... бірақта (31) өрнектен  көрінетіндей
....
=ү.
Чо 
Яо
\Ү
осьщан 
V 
(32)
9о
Осы  (32)  өрнекпен  анықталатын  шама  берілген  нүктедегі 
өрістің  потенциалы  деп  аталады  да,  өріс  кернеулігі  мен  қатар  электр 
өрісін сипаттау үш ін қолданылады.
Потенциал  сан  жагынан  өрістін  берілген  бір  нүктесіндегі 
бірлік  оц  зарядтыц  потеициалдық  энергиясына  тең  болады.  Егер
(32)  өрнек  бойынш а  потенциалдық  энергияның  мэнің  (32)  өрнекке 
қойсақ нүктелік заряд өрісінің потенциапы  үшін мына өрнекті  аламыз:
4 я е 0
(33)
Егер  нүктелік  зарядтар  жүйесін  қарастырсақ  Яі,  Яг.-.-Чп  онда, 
сыншы  зарядты осы  нүктелер жүйесінің өрісінде істелетін жүмыс:
Лі  “  
А  ’
224

а
 
Я
і
Я
о
4*£0 
г„ 
гІ2
Сыншы  зарядтың  ерістің  бір  нүктесінен  екінші  нүктесіне 
көшкендегі жүмысы мынаган тең:
---- ! _  
М° 
А,2
 
(*)
4яе0 /.I  гп 
4ле0
 
Г,2
^ р і,  \Ү
р2
 - ( 3 1 )  өрнек арқылы аныкталған, яғни
(34)
4яе
0
 
г,
Сонымен  зарядтар  жүйесінің  тугызатын  өріс  потенциалы 
іарядтардың  әр  кайсысының  жеке-жеке  туғызатын  потенциапының 
плгебрапык  косындысына  тең.  Сөйтіп,  өрістің  кернеуліктері  бет- 
іескенде  векторлык  косылса,  ал  оның  потенциалдары  бет- 
гескенде алғебралык косылатындыгын  көреміз.
(32) ернек бойынша потенциалы V болатын өрістің нүктелеріне 
койылған  зарядтардың потенциапык энергиясы  мынаған тең:
* Р - У   Я- 
(35)
Демек,  зарядқа  істелген  өріс  күшінің  жүмысы  потенциалдар 
ийырмасы  ретінде  өрнектелетіндігін  (*)  өрнектен  аңгаруға  болады. 
Ягни,
4
»
- яі К- Уг ) -  
(36)
Егер  ц зарядты  бастапқы  потенциалы  У і=У  болатын  нүктелерде 
соңгы 
потенциалы 
болатын 
нүктеге 
дейін 
орын
иуыстырғанда істелетін жүмыс:
А  ш ЧҮ .  
(37)
Осыдан егер я=1  болса А „= У .
Потенциал  сан  жагынан  өріс  күшінін  бірлік  он  зарядты  бе- 
|іЫісн  нүктеден 
оо 
қаш ыкгатканда  орындайтын  жүмысқа  тен.
О
г і і і
 
(37)  өрнекті  потенциапдың  өлшем  бірлігін  тағайындау  үшін 
ішіідаланады. Яғни
К _ і - ;   і [ к ] - 1 — - 1 ^ - І В  
ч  
1  1 
ч  
Кл
Ій -  \ ^ ~  -  — 1®ЗР£—  _ ----- !--------СГСЭ потенциал бірлігі.
Кл
 
3'10’ СГСЭ, 
зо о с л с э
Физикада  жүмыс  пен  энергияның  Джоуль  жэне  Эрг-тен  басқа 
ілгкгроновольт  -   (эв)  деп  атапатын  өлшем  бірлігі  жиі  кездеседі. 
і  піі.ііі  1  эв  дегеніміз  -   электроннын  зарядына  ягни  е  элементар 
««рндка  тен  зарядтын  1  Вольтқа  тен  потенциалдар  айырымымен 
Шүріп өткенде өріс  күшінің істеген жүмысын айтады.
225

1эв = 1,6  1(Г15Дл  і г  = 1.6  Ю'І
9
Дэ(с = 1.6  10'
12
эрг.
Электростатикалык  өрістің  потенциапы  бір  нүктеден  екінші 
нүктеге  дейін  өзгеретін  функцияға  жатады.  Бірақта  эрбір  реал 
жағдайда  потенциалдары  бірдей  болып  келетін  нүктелер  жиынтыгын 
беліп  алуға болады.  Сонда потенциалдары түракты және бірдей болып 
келетін  нүктелердің  геометриалық  орны  потенциал  деңгейінің  беті 
немесе  эквипотенциал  бет  деп  аталады.  V  потенциал  түрақты 
болгандықтан  эквипотенциал  бетте  зарядты  кешіру  жүмысы  нольге 
тең  болады  (36  немесе  29  өрнектерді  қара).  Мысал  ретінде  нүктелік 
зарядтың  потенциал  децгейініц  бетін  қарастырайық.  Нүктелік 
зарядтың потенциалы
Ү - 1 .  
(38)
г
М үндағы  г  -   потенциапы  анықгалатын  нүктенің  ц  зарядтан 
кашықтығы.  Осыдан,  егер  ара  қашықтық  г=түрақгы  болса,  онда 
Ү=түрақты,  яғни  центрі  нүктелік  зарядта  болатын  сфера.  Кернеулік 
векторының 
потенциалдың 
деңгей 
бетіне 
перпендикуляр 
болатындығын  дәлелдейік.  Ол  үшін  потенциалдың  деңгей  бетін 
алайық  та,  сол  бетте  зарядты  кішкене  Д
8
  қашықтыққа  кешіргенде 
істелетін  жүмысты  табайық.  Сонда,  анықтама  бойынш а  еріс  күшінің 
/  = чЕ  берілген Д
8
  жолдағы  істелетін жүмысы  мынаған тең:
ДА=ЯЕ-Д
8
со
8
а
мүндағы -  а  = / л Д £.
Екінші  жағынан  ДА=0,  ейткені  қарастырылып  отырған  бет 
потенциалдың деңгей беті  немесе эквипотенциап бет.
Осьщан  кернеулік  сызықтары  эрқашанда  потенциалдың  деңгей 
бетінің,  яғни  эквипотенциал  бетгің  үйіріне  нормаль  болып  келетін 
сызықтарға жататынын  кереміз.
§9. 
Электростатикалык 
ерістіц 
кернеулігі 
мен 
потенциалы ны ц арасындагы байланыс.
Енді  кернеулік  пен  потенциал  арасындагы  байланысты  анық- 
тайық,  бүл  екеуі  де  электр  ерісін  сипаттайтын  шамалар,  сондықтан 
олардың арасындағы  байланысты табайық.
Егер  жоғарыда  айтқанымыздай  (4)  ернекке  сәйкес  кернеулік
векторы  Е  әсер  етуші  күшке  пропорционал,  ал  (32)  ернекке  сәйкес 
еріс  потенциалы  V  потенциалдық  энергияга  тура  пропорционап 
екендігін  ескерсек,  онда  бүл  байланыстың  потенциапдық  энергия  мен 
күш  арасындағы  байланысқа үқсас екендігін көреміз.
226

Ш ынында да  еріс  күшінің  ц  зарядқа сіС  жол  кесіндісінде  істеген 
жүмысын бір жагынан
<ІЛ  -
екінші  жагынан  зарядтың  потенциалдық  энергиясының  кемуі 
түрінде жазуға болады,
Сондықтан
<14  -   - < і( д У )  -   - я с І Г   . - д —
  д і
д(.
ц Е , М   .   - д —
  д (  
Е ,  -  
Е   .   - —
  . 
(39)
' 
д (  
'  
д (  
д (
М үндағы  С  кеңістікте  таңдап  алынған  бағытты  көрсетеді.  Осы
(39) өрнекті х, у, 
ъ
 осьтерінің бағытына проекцияласақ:
Е
д х
  ’
Б
у 
еу’
£‘ ~ Ғ -
д і
Вектор түрінде:
г   " г  
Г г  
~ дУ  ~ дУ
Е   .   і  Е х
 +  / 
Е„
 + 
к Е
.   -  
і
----------- + ; --------
+ к
— •  . (**)
'  
д х  
д у  
д г
 
'  
’
Осы (**) теңдеуді қысқаша түрде былай жазамыз:
Е   .   - £ г а с і Ү  
. 
(40)
Қандайда 
бір 
х,  у, 
г-тан 
тәуелді 
болатын 
V 
скаляр
функциясының  градиенті  мына  төмендегідей  касиеті  бар  векторлық 
міама болады.
1)  Градиенттің  бағыты  берілген  нүктеден  функцияның  ығысуы
ксіінде  шамасы  ар т а   отырып,  ең  көп  жылдамдықпен  өзгеретін 
п
дУ_
д  п
д У
мормальдың  бағытымен  дәл  келеді.  Бүл  бағыттағы  —   туындысының
імнмасы  градиент V  модуліне тең болуы  керек.
д У   д У   д У
 
.
.
.
2
) ------------- х,  у, 
2
  координат  осьтеріне  түсірілген  ф адиенттің
д х   д у   д і
проекциялары.
(40) 
өрнек  V  потенциалдың  сан  мэндері  бойынш а  эрбір  нүкте-
дсгі  Е  өріс  кернеулігін  табуға мүмкіндік  береді.  Кері  есепті  де  шыға-
руга  болады,  ягни  эрбір  нүктедегі 
Е
 кернеулігінін  берілген  мәндері 
ОоПынша 
өрістің 
кез 
келген 
еркін 
нүктелерінің 
арасындагы 
иогснциалдар  айырмасын  да табуға  болады.  Бүл  үшін  зарядты  өрістің
227

бір  нүктесінен  екінші  нүктесіне  дейін  орын  ауыстырғанда  істелетін 
жұмысты  ескеру керек.
А г - я ( У , - У 2)  
У , - У 2 - 2  Е , М .
 
(41)
1
Сонда тұйык контурды  айналып  шықса, яғни  V]  =У
2
о 
Е , М
 -  0
бұл (30) өрнектін дэлдігін көрсетеді.
М ысал 
ретінде 
шексіз 
әр 
атгас 
+ ег 
-  а
зарядталган  жазықгықгар  арсындағы  потен- 
циалдар  айырмасын есептейік (14-сурет). 
(
(
2 0
)  формула  бойынш а  жазықгықтар  ара- 
1
сындагы  кернеулік  барлық  жерде  бірдей  —
«0
жэне  жазықтықтарға  параллель  багытталган. 
1
Осы  жазықтықтардың  ішінен  бір  тұйық  контур 
^
.
бөліп алайық  11 ’2. Сонда (41) өрнекке сәйкес
14'СуреТ
2 
Г 
2
У , - У г -  
Е ,< и =  
Е , М +   Е , М .
1
 
I 
г
г
Мұндағы 
Е (М
 -  0  өйткені  бұнда  еріс  кернеулігі  контурға  1 , 1 ’ 
і
қабыргасына перпендикуляр.
Е{ =Е болғандықтан соңғы өрнекті
і
У , - У 2 = Е   М
 -  
Е<і
V, - V 2=и=Есі. 
(42)
—  4  —  
14-сурет
228

XVII. ТАРАУ.  ЭЛЕКТР ӨРІСІНДЕГІ  ӨТКІЗГІШ ТЕР.

жүктеу/скачать 8,69 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: