Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген 16) теңсіздігі бойынша, егер
жүктеу/скачать 432,95 Kb.
|
| (а) ,
(б) , . Онда келесі теңсіздік орындалады . (5.2) Оң жағы максимум мәнге болағанда жететінін айта кетейік. Дәлелдеуі. Жоғарыдағы сияқты келесі функцияларды қарастырамыз , . Онда келесі теңсіздіктер орындалады , (5.3) мұндағы . Барлық интегралдар 0-ден 1-ге дейінгі аралықта алынады. Гельдер теңсіздігін қолданып, келесі теңсіздіктің орындалатынын көреміз . (5.4) Осыған ұқсас келесі теңсіздікті аламыз . (5.5) (5.4), (5.5) теңсіздіктері (5.3) теңсіздігімен бірігіп, келесі теңсіздіктің дұрыс екенін көрсетеді . Тағы да сол Гросс жүргізген тікелей есептеу (5.2)-нің оң жағындағы өрнекке әкеледі. Жоғарыдағыға ұқсас талқылаулар жасай отырып, келесі жалпы нәтижені алуға болады. 13-теорема. және функциялары, қандайбір облысында жататын нүктелері үшін анықталсын және келесі үш шартты қанағаттандырсын: (а) , (б) -дің шекарасы -да , (в) . - облысы үшін Грин функциясы болсын және . Онда келесі теңсіздік дұрыс . Параграфтың басындағы Франк-Питт нәтижесінің жалпыламасы Фавар және Бервальд дәлелдеген теңсіздіктердің дербес жағдайы болып шығады. Фавар келесі теореманы дәлелдеген. 14-теорема. функциясы кесіндісінде теріс емес үзіліссіз ойыс, нөлге пара-пар функциядан өзгеше функция болсын. Келесі белгілеуді еңгізейік . -шенелген үшін кемімейтін функция болсын және болсын. Онда келесі теңсіздік дұрыс . (5.6) Фавар сәйкес теоремаларды көп айнымалылы функциялар үшін дәлелдеді және (5.6) теңсіздігінде теңдіктің орындалу шартын да көрсетті. 14-теореманың жалпыламасын Бервальд дәлелдеген. 15-теорема. функциясы теріс емес үзіліссіз ойыс, кесіндісінде нөлге пара-пар емес функция болсын. функциясы үшін қатаң монотонды және үзіліссіз болсын, мұндағы -жеткілікті үлкен. Онда теңдігінің дәл бір оң түбірі бар болады. -шенелген үшін кемімейтін функция болсын және (Стильтьес интегралы) болсын. Онда, және бір ұғымда монотонды функциялар болса , (5.7) ал осы функциялар қарама-қарсы ұғымда монотонды болса теңсіздігі орындалады. Бервальд сонымен бірге теңдік орындалатын жағдайларды да анықтаған. 15-теореманың алғашқы қолданылуы ретінде келесі жағдайды қарастырайық . Онда
болады, мұндағы . Онда (5.7) теңсіздігінен мынаны аламыз . Бұдан болғанды Франк-Пик теңсіздігін, болғанда Фавар теңсіздігін аламыз: . Басқа да дербес жағдайлары сәйкесінше Фавар және Бервальд дәлелдеген және
теңсіздіктері болмақ. Соңғы екі теңсіздіктің екеуі де -ке қатысты жоғарыда тұжырымдалған ұйғарымдармен орындалады.[29] жүктеу/скачать 432,95 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|