Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген 16) теңсіздігі бойынша, егер
жүктеу/скачать 432,95 Kb.
|
| теңсіздігі орындалады.
Дәлелдеуі. жағдайы үшін теңсіздік орындалады (тривиальды). Ал үшін параграфтың басында айтылғандай (4.5) теңдігін аламыз. Сондықтан да барлық үшін (4.6) орындалатынын көрсетсек жеткілікті. (4.5)-дегі - келесі қатынастармен анықталған облыс: (4.6) теңсіздікте кездесетін өрнектерді ықшамдау үшін деп ұйғарайық. Осыдан және қосындыларын тауып және осылардың барлығын ізделінді (4.6) теңсіздікке қойып, оның келесі эквивалентті формасын аламыз: (4.7) Осы (4.7) теңсіздіктің ақиқаттығын дәлелдеу үшін оның сол жағының алымына үшін Гёльдер теңсіздігін пайдалансақ, онда теңсіздігі орындалады. Осылайша, егер (4.8) теңсіздігі орындалса, онда (4.7) теңсіздік те орындалады. Бірақ бұл - яғни үшін орындалатын Минковский теңсіздігі. үшін (4.8) теңсіздік тривиальды. Ал үшін (4.4)-де теңсіздік таңбасын кері таңбаға өзгерту керек. Беккенбах теңсіздігін Дрешер жалпылаған және оны дәлелдеу үшін моменттер әдісін пайдаланған. 10-теорема. Егер болса, онда (4.9) Бұл нәтиже 23-параграфта көрсетілгендей квазилинеаризация арқылы да алынуы мүмкін. (4.9) теңсіздікті Данский де дәлелдеген, ол Гёльдер мен Минковский теңсіздіктерінің комбинациясын пайдаланған. Осы параграфтарда қорытып шығараған теңсіздіктер бір ғана Минковскийдің идеясына негізделген. Айталық, функциясының төмендегідей қасиеттері бар делік: тің жалпыланған арақашықтық (санақ басынан) немесе өлшемді векторының жалпыланған нормасы екені анық. Егер жоғарыда сипатталғандай қасиеттері бар функция берілген болса, онда біз полярлы функция деп аталатын және қатынасымен анықталатын жаңа функциясын енгізе аламыз. Дөңес денелер теориясында «тірек функциясы» деп аталады. Ол геометриялық тұрғыда сферасына қатысты кері поляр түрелендіруінің көмегімен анықталады. Осының негізінде қосарлас қатынас орындалу керек деп ұйғарым жасауға болады. Мұны Минковский шынында да дәлелдеген. Осыдан теңсіздігі шығады. Бұл теңсіздікті алғаш сандардың геометриялық теориясында Малер дәлелдеген көрінеді. Кері теңсіздіктер Біз алдыңғы параграфтарда Буняковский-Шварц және оның жалпыламасы- Гельдер теңсіздігін қарастырған едік. Келесі түрдегі теңсіздік -ден алынған барлық және үшін ешбір оң абсолютті тұрақты үшін орындалмайтыны түсінікті. Бірақ мұндай теңсіздік -нің қандайбір ішкі кеңістігінен алынған және үшін орындалады екен. Осындай есептерді Франк, Пик, Бляшке, Бюкнер, Фавар, Бервальд, Кнезер және Беллман сияқты ғалымдар қарастырған. Бұл есептер моменттер теориясының және дөңес жиындар теориясының әдістерімен жүйелі түрде қарастырылатын және Фавар, Бервальд әдістерімен елеулі түрде жалпыланатын болса да, біз Беллман ұсынған басқа бағыттағы жалпыламаларын алуға болатын талқылауына бағынамыз.[27] Біздің алғашқы нәтижеміз келесі болады. 11-теорема. және келесі шарттармен мөлшерленген -тен тәуелді, , ойыс функциялар болсын: (а) , (б) , (в) . Онда келесі теңсіздік орындалады . Минимальды мәнін клесі функциялар қабылдайды , . Дәлелдеуі. функциясы үшін анықталған және ойыс функциялар класына тиісті болсын. Оң емес екінші ретті туындысы бар функциялардан тұратын ішкі класты қарастырайық: , . (5.1) Кеңірек кластың барлық функциялары бойынша минимизациялау (5.1) шартын қанағаттандыратын функциялардың дәл төменгі шекарасының анықтамасына пара-пар болады. Шекаралық шарттары (5.1)-де көрсетілгендей болатын операторы үшін Грин функциясын қарастырайық, дәлірек айтқанда функциясын қарастырайық. Онда функциясын келесі түрде жазуға болады . Осы жазылуды пайдаланып, сызықтық функционалының барлық ойыс, жоғарыда көрсетілгендей мөлшерленген функциялары бойынша минимумын табайық, мұндағы берілген теріс емес функция. Мына теңдікті аламыз , және біз барлық бойынша шартын қанағаттандыратын дәл төменгі шекараны табумыз керек, мұндағы . Ақырлы өлшемді жағдайға ұқсас талқылай отырып, бойынша дәл төменгі шекара, яғни бойынша дәл төменгі шекара келесі формуламен берілетінін көруге болады . Біз тұжырымды кейінірек жалпы жағдайда үшін дәлелдейміз. 11-теорема осы нәтижеден тура шығады. Келесі теңсіздікті аламыз . Тағы да сол теңсіздікті, бірақ бұл жолы теріс емес және ойыс функциялары үшін пайдаланып, ақырында келесі теңсіздікті аламыз . Бұл теңсіздіктің тривиальды емес екенін көрсету қалады. Гросс жүргізген тікелей есептеу минимум мәннің және симметриялы нүктелерінде болатынын және оның -ге тең екенін көрсетеді.[28] Енді 11-теореманың кеңістігі үшін жалпыламасын дәлелдейік. Біз келтіретін дәлелдеме Вейнбергерге тиесілі. 12-теорема. және келесі шарттармен мөлшерленген ойыс функциялар болсын: жүктеу/скачать 432,95 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|