Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген 16) теңсіздігі бойынша, егер
жүктеу/скачать 432,95 Kb.
|
| мұндағы -мына қатынастармен анықталатын облыс
. Бұл теңдіктің маңыздылығы, (4.1)-дің сол жағында тұрған сызықтық емес функцияны сызықтық функциялардың майысуы дейміз. Сонымен, біз сызықтық емес функциялардың тривиальды емес қасиеттерін сызықтық функциясының тривиальды қасиетінің қарапайым салдары ретінде аламыз. Енді квазилинеаризация ұғымы туралы бірнеше алдын-ала түсініктерді берейік. Алдымен -екі, және айнымалыларынан тәуелді екі айнымалылы функция болсын, мұндағы және - сәйкесінше және мөлшерленген кеңістіктерінің элементтері. арқылы элементінің мөлшерін белгілейік; бір аргументінен тәуелді жаңа функциясын келесі қатнаспен анықтаймыз . Кез-келген үшін орындалатын функциясының -тен тәуелді функция ретіндегі қарапайым функционалдық қасиеттері, мысалы, оңдығы, сызықтылығы және дөңестігі функциясының сәйкес қасиеттерінің алғы шарты болады. Көптеген жағдайларда бұл қасиеттерді үшін тікелей дәлелдегеннен гөрі функциясының бойынан табу жеңілірек болып келеді.[24] Алғашқы және ең маңыздысы кез-келген үшін функциясының бойынша сызықтылығы, яғни теңдігінің орындалуы. Осыдан келесі теңдіктерді аламыз . Бұл- үшін «үшбұрыш теңсіздігі» немесе «субаддитивтілігі». Матрицаларға арналған келесі ерекше жағдай ретінде функциясын айтуға болады, мұндағы , интегралдау кеңістігінің қандайбір облысы бойынша алынады және функциясы -ке қатысты кез-келген және үшін сызықты. Онда үшін келесі теңдікті аламыз Көрсеткіштері болатын Гёльдер теңсіздігін пайдалана отырып, біз төмендегі қатынасты аламыз Логарифмдеу арқылы функциясы тің кез келген мәнінде тің дөңес функциясы болатынын көреміз. Риккати дифференциалдық теңдеуін дәлелдеуде квазилинеаризация әдісін қолданамыз; Беллман, Гликсберг және Гросстың еңбекткрінде формуласының вариациялық есептеудің классикалық емес еептеріне арналған кейбір қосымшалары берілген. Квазилинеаризация әдісін Фурье қатарлары теориясында Зигмунд кеңінен қолданған. Бұл типті талқылаудың алғашқы мысалы ретінде үшінші параграфта дәлелденген Минковский теңсіздігін қайта дәлелдейміз. 6-теорема. Біз үшін (4.2) қатынасын аламыз. Дәлелдеуі. Гёльдер теңсіздігі бойынша болғандықтан, мұндағы дегеніміз қатынасымен анықталған облыс, біз теңсіздіктерін табамыз. Дәлелдеуіміз керегі де осы. Гёльдер теңсіздігінде теңдік шартын пайдаланып, (4.2) теңсіздіктегі теңдік жағдайы тек болғанда немесе пен пропорционал болғанда ғана орындалатынын көрсету қиын емес.[25] Квазилинеаризация әдісін қолданып тағы маңызды теңсіздікті дәлелдейік. 7-теорема. үшін төмендегі теңсіздік орындалады Дәлелдеуі. Арифметикалық және геометриялық орталардың арасындағы теңсіздік бойынша (4.3) мұнда енді келесі қатынастармен анықталатын облыс Ізделінді теңсіздікті (4.3) теңдіктен келесі түрде аламыз: Қайтадан квазилинеаризацияны пайдаланып, үшін Минковский теңсіздігі болатын келесі нәтижені тұжырымдаймыз. 8-теорема. Егер болса, онда келесі теңсіздік орындалады Дәлелдеуі. Айталық, болсын. Бұл белгілеулер арқылы біз теңсіздігі орындалатынын дәлелдейміз. үшін болғандықтан (мұнда функциясы келесі қатынастармен анықталған ), келесі қатынас орындалады: . Дәлелдеуіміз керегі де осы болатын.[26] Енді келесі нәтижені дәлелдейік. 9-теорема (Беккенбах теңсіздігі). Айталық және үшін болсын. Онда (4.4) жүктеу/скачать 432,95 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|