Теорема. Бірдей өлшемді барлық евклид кеңістіктері өзара изоморфты.
Дәлелдеуі. Теормеманы дәлелдеу үшін барлық п-өлшемді евклид кеңістіктері арнаулы алынған бір n-өлшемді евклид кеңістігіне изоморфты болатынын дәлелдесек жеткілікті. Бұл арнаулы n-өлшемді евклид R' кеңістігі ретінде 4.1-тақырыптағы 2-мысалды қарастырайық, яғни онда х' вектор кез келген п нақты сандарының жиыны: ал векторларының скаляр көбейтіндісі (4.2) формуламен өрнектеледі, яғни
п-өлшемді евклид R кеңістігін қарастыралық, ал векторлар жүйесі оның ортонормалды базисі болсын деп ұйғаралық. векторға нақты сандар жиынын, яғни векторын сәйкестендірейік. Бұл келтірілген сәйкестік бір мәнді. Енді оның изоморфты екенін дәлелдейік. Ол үшін анықтамадағы үш шартты тексерсек жеткілікті. Бірінші мен екінші шарттар орындалады. Үшінші шартты тексерелік. мен векторларының скаляр көбейтіндісі 4.10-теорема бойынша мына формуламен өрнектеледі:
ал пен векторлардың скаляр көбейтіндісі 4.1-тақырыпташ 2-мысал бойынша (4.2) формуламен өрнектеледі:
Сонымен, Теорема дәлелденді.
Әдебиеті: [1], [3], [4].
