Глоссарийлар
Екінші ретті сызық төмендегі теңдеу арқылы беріледі
жүктеу/скачать 4,79 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 (1) шеңбердің центрінің координаталары (a; b) болады.
Екінші ретті сызық төмендегі теңдеу арқылы беріледі:Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. Бұл теңдеу төменде келтірілген теңдеулердің біріне келтірілетіндей координаталар жүйесі (тік бұрышты болуы міндетті емес) болуы мүмкін. - эллипстің теңдеуі. - “жорамал” эллипстің теңдеуі. - гиперболаның теңдеуі. a2x2 – c2y2 = 0 – екі қиылысушы түзудің теңдеуі. y2 = 2px –параболаның теңдеуі. y2 – a2 = 0 –екі параллель түзудің теңдеуі. y2 + a2 = 0 –“жорамал” екі параллель түзулердің теңдеуі. y2 = 0 – беттесуші түзулер. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 –шеңбердің теңдеуі. Шеңбер. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) шеңбердің центрінің координаталары (a; b) болады.Мысал. 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0 теңдеуі арқылы берілген шеңбердің центрінің координаталары мен радиусын тап. . Шешу. Шеңбердің центрі мен радиусын табу үшін теңдеуді (1) теңдеу түріне келтіріп аламыз. Ол үшін теңдеудің сол жағындағы көпмүшенің толық квадратын бөлеміз. x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0 x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16
Анықтама. Эллипс деп фокустары деп аталатын нүктелерден қашықтықтарының қосындысы сол фокустары арақашықтығынан (F1F2 = 2c) артық болатын тұрақты 2а санына тең болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орнын айтады, оны былайша белгілейді: F1М + F2М = 2а (2) .
Мr1 r2 F1 O F2 F1, F2 – эллипстің фокустары. F1 = (-c; 0); F2(c; 0), F1F2 = 2c. с – фокустары ар қашықтығының жартысы; 2а - тұрақты шама. F1М және F2М қашықтықтарын r1= F1М, r2= F2М деп белгілесек, онда (2) теңдік мына түрде жазылады: r1 + r2 = 2а (21) Екі нүктені ара қашықтығының формуласы бойынша: . Бұл теңдеуді түрлендіріп, эллипстің жабайы (канондық) теңдеуін табайық: х 2+2сх+с2+ у2 = 4а2 – 4а а теңдіктің екі жағын а - ға бөліп, квадраттайық: х2 -2сх+с2+у2 = (а - х2 -2сх+с2+у2 = а2х2+а2у2+а2с2= а4 + с2х2, (а2- с2) х2+а2у2+ = а2 ( а2 - с2), а с болғандықтан, а2 - с2 0 болады, сондықтан а2 - с2 в2 (3) деп белгілейміз. Сонда в2 х2+а2у2+ = а2 в2 шығады, осыдан (4), мұндағы х пен у - эллипстің бойындағы кез келген нүктелердің координаталары, а – эллипстің үлкен жарты өсі, в – оның кіші жарты өсі. (4) теңдеу эллипстің жабайы (канондық) теңдеуі деп аталады. Теорема. Эллипстің фокустық ара қашықтығы мен жарты өстері мынадай қатынас бойынша байланысады: a2 = b2 + c2. Дэлелдеу: Егер М нүкте эллипстің вертикаль осьпен қиылысу нүктесінде болса, онда r1 + r2 = 2( Пифагор теоремасы бойынша). Егер М нүкте эллипстің горизонталь осьпен қиылысу нүктесінде болса, онда r1 + r2 = a – c + a + c. Эллипстің анықтамасы бойынша r1 + r2 – қосынды тұрақты шама, ендеше жоғарыдағы екі теңдікті теңестіріп, мынадай теңдік аламыз: a2 = b2 + c2 . Анықтама. = с/a қатынас эллипстің эксцентриситеті деп аталады. с < a болғандықтан, < 1 болады. Эллипстің түрін оның жабайы теңдеуі бойынша зерттеу. (4) теңдеу бойынша эллипстің бірнеше қасиеттерін анықтайық.. х=а х=-а у
у=в М М2 В2 х А1 А2 О 1). (4) теңдеудегі х пен у екінші дәрежелі болғандықтан, ол теңдеуді М(х;у) нүктесінің координаталарымен қоса М1(х;-у), М2(-х;у), М3(-х;-у) нүктелерінің де координаталары қанағаттандырады.
М1 М3 В1 Ендеше эллипс координат осьтеріне, Координата басына қарағанда симметриялы . 2) у=0 болса, болады, бұдан х = а. Сондықтан эллипс ох осін А1(-а; 0) және А2(а;0) нүктелерінде қияды. Ал х=0 болғанда шығады да, у= в. Демек, эллипс оу осін В1(0;-в), В2(0; в) нүктелерінде қияды. Эллипстің осьтермен қиылысу нүктелері (А1, А2, В1, В2 ) төбелері деп аталады. 3) (4) теңдеуден . Бұдан х а және у в. Бұдан – а х а және –в у в. Сөйтіп, эллипстің нүктелері жазықтықтың қабырғалары 2а және 2в болатын тік төртбұрышпен шектелген бөлігінде жатады. Теорема. Эллипстің кез келген М(х, у) нүктесі үшін төмендегі қатынас орындалады: r1 = a –x, r2 = a + x. Дәлелдеу. Жоғарыда r1 + r2 = 2a болатыны көрестілген. Сонымен қатар,геометьриялық кескіндеме бойынша: . Осы формулалардағы у2 –ты эллипстің канондық теңдеуінен тауып алып, алдыңғы формулаларға қойып түрлендірсек, төмендегі теңдік шығады: Дәл осылайша r2 = a + x. Анықтама. x = a/; x= -a/. теңдеулерімен анықталатын екі түзу эллипстің директрисалары деп аталады. Теорема. Нүкте эллипсте жату үшін оның фокусқа дейінгі қашықтығының сәйкес директрисаға дейінгі қашықтығына қатынасы эксцентриситетке тең болуы қажетті және жеткілікті. Мысал. теңдеуімен берілген эллипстің сол жақ фокусы мен төменгі төбесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін құр. Эллипстің төменгі төбесінің координаталары: x = 0; y2 = 16; y = -4. Сол жақ фокусының координаталары: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0). Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі: Мысал. F1(0; 0), F2(1; 1) фокустары мен үлкен осі 2 –ге тең болатын эллипстің теңдеуін жаз. Эллипстің теңдеуі мынадай: . Мұнда а мен b жарты өстерін табу керек. Фокустарының ара қашықтығы: 2c = , сондықтан a2 – b2 = c2 = ½ Есеп шарты бойынша 2а = 2, сонда а = 1, b = Сонымен эллипстің теңдеуі: . Гипербола және оның қасиеттері Анықтама. Гипербола деп фокустары деп аталатын нүктелерден қашықтықтары айырмасының модулі сол фокустары арақашықтығынан (F1F2 = 2c) кем болатын тұрақты 2а санына тең болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орнын айтады, оны былайша белгілейді: F1М - F2М = 2а (5) . F1, F2 – гиперболаның фокустары. F1 = (-c; 0); F2(c; 0), F1F2 = 2c. с – фокустары ара қашықтығының жартысы; 2а - тұрақты шама. F1М және F2М қашықтықтарын r1= F1М, r2= F2М деп белгілесек, онда (5) теңдік мына түрде жазылады: r1 – r2= 2a (51) Гиперболаның бойынан кез келген М(х, у) нүкте алайық. y M(x, y) b r1 r2 x a F1 А2(-а;0) А1(а;0) F2 c
с2 – а2 = b2 деген белгілеме енгіземіз (геометриялық түрдегі бұл шама – кіші жарты ось) Гиперболаның жабайы (канондық) теңдеуін алдық.. Гипербола фокустарын қосатын кесіндінің ортасына (О нүктеге), және координат осьтеріне қарағанда симметриялы. 2а гиперболаның нақты өсі деп аталады. 2b гиперболаның жорамал өсі деп аталады. Гиперболаның қасиеттерін студенттерге өз беттерімен қарастыруға тапсырылады. Гиперболаның екі асимптотасы болады және олар теңдеулері арқылы беріледі. Анықтама. қатынасы гиперболаның эксцентриситеті деп аталады, мұндағы с – фокустары қашықтығының жартысы, а –нақты жарты өсь. с2 – а2 = b2 екеніні ескерсек: Егер а = b, = болса, онда гипербола теңбүйірлі (тең қабырғалы) деп аталады. Анықтама. Гиперболаның нақты өсіне перпендикуляр, оның центріне қарағанда симметриялы және одан a/ қашықтықта болатын екі түзу гиперболаның директрисалары деп аталады.Олардың теңдеулері: . Теорема. Егер r – гиперболаның кез келген М нүктесінен қандай да бір фокусына дейінгі қашықтығы, ал d – осы фокусқа сәйкес директрисаға дейінгі қашықтығы болса,онда r/d қатынас – эксцентриситетке тең тұрақты шама. Мысал. Төбелері мен фокустары эллипсінің сәйкес төбелері мен фокустарында болатын гиперболаның теңдеуін жаз. Эллипс үшін : c2 = a2 – b2. Гипербола үшін: c2 = a2 + b2. Гиперболаның теңдеуі: . Мысал. Егер гиперболаның эксцентриситеті 2-ге тең, ал фокустары теңдеуімен берілген эллипстің фокустарымен беттессе, онда гиперболаның теңдеуін жаз. Шешу. Эллипстің фокустық ара қашықтығын табамыз: c2 = 25 – 9 = 16. Гипербола үшін: c2 = a2 + b2 = 16, = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4; b2 = 16 – 4 = 12. Сонда - гиперболаның теңдеуі болады. Парабола және оның қасиеттері Анықтама. Парабола деп фокусы деп аталатын нүктеден ара қашықтығы центрі арқылы өтпейтін директрисасы деп аталатын берілген түзуден бірдей ара қашықтықта болатын жазықтықтағы нүктелердің жиынын айтады. Координат басын фокус пен директрисаның ортасына орналастырамыз. у А М(х, у) О F x
p/2 p/2
р шама (фокустан директрисаға дейінгі қашықтық) параболаның параметрі деп аталады. Параболаның жабайы теңдеуін қорытып шығарайық. Геометриялық кескіндемеден: AM = MF; AM = x + p/2; MF2 = y2 + (x – p/2)2 (x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2 x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px (*) x = -p/2 - директрисаның теңдеуі. Параболаның қасиеттері: (*) теңдеудегі у жұп дәрежелі болғандықтан, парабола Ох өсіне қарағанда симметриялы, Ох өсі параболаның симметрия өсі болады. р0 болғандықтан, (*) теңдеуден х0. Сондықтан, парабола Оу өсінің оң жағында орналасады. х 0 болғанда, у 0. Демек, парабола координат басы арқылы өтеді. х шектеусіз өскен сайын у-тің модулі де шектеусіз өседі. О(0; 0) нүкте параболаның төбесі , ҒМ г М нүктесінің фокальдық радиусыболады. y2 = - 2px , х2 = 2pу, х2 = - 2pу (р0 ) теңдеулері де параболаларды анықтайды. Мысал. у2 = 8х параболаның бойынан директрисаға дейінгі қашықтығы 4 – ке тең болатын нүктені тап. Шешу. Параболаның теңдеуінен р = 4 табамыз. r = x + p/2 = 4; Сонда x = 2; y2 = 16; y = 4. Ізделінді нүктелер: M1(2; 4), M2(2; -4). жүктеу/скачать 4,79 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|