Жаратытыстану институты
Студенттің лекциялық сабақтағы жұмысын бағалау критерийлері
жүктеу/скачать 0,97 Mb.
|
Студенттің лекциялық сабақтағы жұмысын бағалау критерийлері:
Студенттің практикалық сабақтағы жұмысын бағалау критерийлері:
Студенттің зертханалық сабақтағы жұмысын бағалау критерийлері:
Студенттің БОӨЖ бағалау критерийлері :
Ескерту! № 1,2 критерийлер мен баллдар барлық білім алушыларға жүреді. Бағалау критерийлері мен соған сәйкес баллдарды оқылатын пәннің өзіндік ерекшеліктеріне қарай оқытушы әзірлейді. «Платонус»ААЖ-нде апта сайын, сабақ кестесіне сәйкес көрсетіліп отырады. VI. КУРСТЫҢ АКАДЕМИЯЛЫҚ САЯСАТЫ Жұмыстардың барлық түрлерін көрсетілген мерзімде орындап, қорғау қажет. Кезекті тапсырманы орындамаған немесе одан 50% баллдан кем алған білім алушылар көрсетілген тапсырманы қосымша кесте бойынша қайта тапсыра алады. Зертханалық сабақтарға дәлелді себептермен қатыспаған білім алушылар оқытушы рұқсат еткеннен кейін, лаборанттың қатысуымен қосымша уақыт ішінде өтейді. Жұмыстардың барлық түрлерін орындамаған білім алушылар емтиханға жіберілмейді. Білім алушылар Қорқыт Ата атындағы ҚМУ Академиялық адалдық кодексін орындауға міндетті. Толерантты, өзгелердің пікірімен санасатын болуы тиіс. Наразалығын әдепті түрде жеткізуі керек. Плагиат және басқа теріс жұмыс түрлеріне жол берілмейді. Аралық және шептік бақылаулар, midterm және қорытынды емтихан өткізу кезінде сыбырлап айтып жіберуге, көшіріп жазуға және шпаргалкалар пайдалануға, басқа біреулер шығарған есептерді көшіріп алуға, басқа біреудің орнына емтихан тапсыруға жол берілмейді. Курстың кез келген ақпаратын бұрмалаудан, интернетке рұқсатсыз кіруден, шпаргалкаларды пайдаланудан әшкереленген білім алушы «F» қорытынды бағасын алады. Өзіндік жұмыстарды орындау (БӨЖ), оларды тапсырып, қорғау жөнінде кеңестер алу, сондай-ақ өтілген материалдар бойынша қосымша ақпараттар алу және оқитын курс бойынша туындаған барлық басқа сұрақтар бойынша білім алушылар оқытушыға оның офис-сағаттары кезінде жүгінуге құқылы. Білім алушының оқудағы жетістіктерін бағалардың дәстүрлі шкаласына аудару арқылы баллдық-рейтингтік әріптік бағалау жүйесі
«Алгебраның, геометрияның және логиканың іргелі мәселелері» пәніне лекциялар жинағы Лекция 1 Тақырыбы: Сақина және олардың идеалдары Жоспары: 1. Сақина туралы түсінік. 2. Сақина мысалдары. 1. Сақина туралы түсінік 1-Анықтама. , – бос емес жиынындағы бинарлық амалдар болсын. Бас амалдары төмендегі шарттарды қанағаттандыратын алгебрасы сақина деп аталады: 10 алгебрасы абельдік группа; 20 кезкелген үшін теңдігі орындалады; 30 кезкелген үшін және теңдіктері орындалады. Группаға ұқсас сақинасын оның негізгі жиыны арқылы белгілеуге болады. Әдетте + бинарлық амалын қосу, ал · бинарлық амалын көбейту амалы дейді.
Егер -дегі көбейту амалы коммутативті болса, онда оны коммутативті сақина дейді. Сақинаның мынадай қарапайым қасиеттері бар: 1-Теорема. – сақина болсын. Кезкелген үшін: (1) ; (2) ; (3) (4) және ; (5) егер -дің бірлік элементі бар болса, онда ; (6) . -дің болатындай және элементтері -дегі нольдің бөлгіштері деп аталады. Бірлік элементі бар сақинасының мультипликативті кері элементі бар болатын элементі қайтымды элемент деп аталады. -дің барлық қайтымды элементтерінің жиыны арқылы белгіленеді. Ол мультипликативті группа болып табылады және сақинасының қайтымды элементтер группасы деп аталады. Нольдің бөлгіштері жоқ бірлік элементі бар коммутативті сақина бүтіндік облыс деп аталады. Әрбір нольден өзгеше элементінің мультипликативті кері элементі бар сақина бөлінгіш сақина деп аталады. Коммутативті бөлінгіш сақина өріс деп аталады. – бірлік элементі бар сақина болсын. сақинасының сипаттамасы деп болатындай ең кіші натурал санын айтады. Егер кезкелген натурал үшін болса, онда сақинасының сипаттамасы нольге тең деп аталады. сақинасының сипаттамасы арқылы белгіленеді. 2-Теорема. Бүтіндік облыстың сипаттамасы нольге немесе жай санға тең болады. 2-Анықтама. – сақина, – оның негізгі жиынының ішкі жиыны болсын. Егер -дегі көбейту және қосу амалдарына қатысты сақина болса, онда оны -дің ішкі сақинасы деп атайды. жиыны -дің ішкі сақинасы болуы үшін оның көбейту амалына қатысты тұйық болатындай -дің аддитивті ішкі группасы болуы қажетті және жеткілікті. 3-Теорема. Ақырлы бүтіндік облыс сақина болып табылады. 2. Сақина мысалдары 1) – бүтін сандар жиыны, – рационал сандар жиыны, – нақты сандар жиыны, – комплекс сандар жиыны әдеттегі қосу және көбейту амалдарына қатысты сақиналар болып табылады, яғни , , , алгебралары сақиналар болады. Бұлардың барлығы комбтмутативті сақиналар, әрі сақинасы бүтідік облыс, , , сақиналары өріс болады. 2) {жұп бүтін сандар} жиыны сақинасының ішкі сақинасы болып табылады. сақинасында бірлік элемент жоқ, сондықтан нольдің бөлгіштері жоқ болғанымен ол бүтіндік облыс бола алмайды. 3) – модулі бойынша қалындылар класстарының жиыны болсын. -де қосу және көбейту амалдарын келесі теңдіктер бойынша анықтайық: , , . Онда осы екі амалға қатысты бірлік элементі бар сақина құрайды. Егер құрама сан болса, онда -де нольдің бөлгіштері бар, ал жай сан болса, онда -де нольдің бөлгіштері болмайды. Соңғы жағдайда өріс болып табылады және жай саны үшін арқылы белгіленеді. 4) өрісінен басқа да ақырлы өрістер кездеседі. Мысалы :
5) комплекс сандар сақинасының ішкі сақинасы болады, оны Гаусс бүтін сандары деп атайды. Оның қайтымды элементтер группасы: . 6) квадратталмайтын (кезкелген үшін саны -қа бөлінбейді) және болсын. Онда комплекс сандар өрісінің ішкі өрісі болады, оны квадраттық өріс дейді. 7) – бос емес жиын, – оның ішкі жиындарының жиыны болсын. Онда алгебрасы коммутативті сақина болады. Мұндағы – симметриялық айырым (ол теңдігі арқылы анықталады), – жиындардың қиылысуы, – толықтауыш жиынға көшу амалы, – бос жиын. Бұл сақинада және . 8) – бірлік элементі бар сақина және – элементтері сақинасынан алынған өлшемді матрицалардың жиыны болсын. Егер болса, онда орнына деп жазамыз. матрицасының -ші жолы мен -ші бағанының қиылысында орналасқан элементті арқылы белгілейік, мұндағы . Қосу және көбейту амалдарын , ; . формулалары арқылы анықтайық. Дербес жағдайда, жиынында қосу амалы да, көбейту амалы да орындалады және осы қосу және көбейту амалдарына қатысты жиыны сақина құрайды, оны матрицалар сақинасы деп атайды. Оның бірлік элементі мына теңдік арқылы анықталады: мұндағы Кронекер символы деп аталады. матрицалар жиынынан матрицалық есептеулерде өте пайдалы матрицаларын қарастыруға болады. матрицасы формуласы арқылы анықталады, яғни оның -ші жолы мен -ші бағанының қиылысындағы элементі 1-ге, ал қалған элементтерінің барлығы нольге тең. Олай болса, кезкелген матрицасын (1) түрінде жазуға болады. матрицалары үшін көбейту келесі ереже бойынша анықталады: . (2) Егер болса, онда сақинасы коммутативті емес, себебі оған көз жеткізу үшін, (2) бойынша , ал екенін көрсету жеткілікті. матрицалары матрицалық бірліктер деп аталады. сақинасының қайтымды элементтері группа құрайды, оны -ге қатысты -ші дәрежелі жалпы сызықты группа дейді және немесе арқылы белгілейді. Лекция 2 Тақырыбы: Алгебралық теңдеулер. Жоспары: 1. Үшінші дәрежелі теңдеулер. 2. Төртінші дәрежелі теңдеулер. 1. Үшінші дәрежелі теңдеулер Үшінші дәрежелі (1) теңдеуін қарастырайық. Олардың коэффициенттері комплекс сандар деп ұйғарайық. ауыстыру арқылы , (2) мұндағы , . (2) теңдеудің түбірлерін табу үшін , мұндағы – көмекші белгісіздер, деп аламыз, және мұны (2)-ге қойып, мынаны аламыз: , немесе жақшаларды ашып, топтасақ, болады. Бір белгісіздің орнына екі белгісіз енгізгендігімізді пайдаланып, шарты немесе теңдігі орындалады деп есептейміз. Бұл шарт әрдайым орындалады, себебі Виет теоремасы бойынша, ол шартымен бірге және -ның квадрат теңдеуінің түбірлері екенін білдіреді. Осындай талаптардан соң (2) теңдеу мынадай теңдеулерге келтіріледі: . Бұдан, Виет теоремасы бойынша, пен -тың квадрат теңдеуінің түбірлері екенін көреміз. Бұл теңдеуді шешіп, мынаны аламыз: , бұдан
, . Сонымен, толық емес (1) теңдеудің радикал арқылы мынадай шешімін аламыз: . (3) Алынған формула Кардано формуласы деп аталады. Кардана формуласы екі кубтық радикалдың қосындысынан тұрады:
Бұл радикалдардың әрқайсысының үш мәні болады. -дың кезкелген мәнін -ның кезкелген мәнімен қосып, барлығы тоғыз қосындысын аламыз, бірақ олардың үшеуі ғана (2) теңдеудің түбірлері болады. Олар және (4) қатысын қанағаттандыратын қосындылары болады. және – (4) қатысты қанағаттандыратын және -ның қандай да бір жұбы, – 1-дін қандай да бір үшінші дәрежелі алғашқы түбірі болсын, мысалы, . Онда -дың қалған екі мәні , болады. -ның сәйкесті мәндері қандай болатынын табайық. және болғандықтан, және үшін мынаны аламыз: , бұдан , , бұдан . Сонымен, , , , бұдан , екенін ескеріп, мынадай нәтиже аламыз: , , . (5) Егер Кардано формуласындағы квадраттық радикал астындағы өрнегі нольден өзгеше болса, онда (2) теңдеудің үш әртүрлі түбірі болады. Егер де және болғанда болса, онда (2) теңдеудің екі бірдей түбірі болады. Оларды , (6) формулалары арқылы есептейді. Енді кубтық теңдеудің коэффициенттері нақты сандар болсын дейік. Толық емес теңдеуді қарастырайық:
Бұл арада өрнегі маңызды роль атқарады. Үш түрлі жағдайдың болуы мүмкін: 1) , 2) , 3) . 1) . болғандықтан (7) теңдеудің үш әртүрлі түбірі болу керек. Олардың нешеуі нақты болатынын анықтайық. өрнегін қарастырамыз. Кубтық түбір астындағы санның нақты сан екенін көреміз, себебі . Олай болса, -дың бір мәні нақты болу керек. Оны ретінде алайық, онда де нақты сан болады. Бұдан (5) формулалар негізінде, (7) теңдеудің бір ғана нақты түбірі болатындығын көреміз. Қалған екі түбірі комплекс түйіндес болады: , . 2) . Бұл жағдайда (6) бойынша үш түбір де нақты болады, әрі олардың екеуі бірдей. 3) . Бұл жағдай келтірілмейтін жағдай деп аталады және (7) теңдеудің үш әртүрлі түбірі болады: , , , (8) мұндағы , , . 2. Төртінші дәрежелі теңдеулер Алдымен төртінші дәрежелі алгебралық теңдеуді шешудің Феррари әдісіне тоқталайық. Төртінші дәрежелі алгебралық теңдеу мына түрде жазылады: , (1) мұндағы – кезкелген нақты сандар, әрі . Феррари әдісі екі бөліктен тұрады..
Феррари әдісінің бірінші бөлігі. Төртінші дәрежелі теңдеуді «толық емес» теңдеуге келтірейік. Ол үшін (1) теңдеуді бас мүшеге бөлеміз. Сонда ол мына түрге келеді: , (2) мұндағы – нақты сандар. (2) теңдеуде
мұндағы – жаға белгісіз, ауыстыруын жасаймыз. Сонда болғандықтан, (2) теңдеу мына түрге келеді: . (4) Егер белгілеулерін енгізсек, (4) теңдеуді мына түрде жаза аламыз: , (5) мұндағы – нақты сандар. Феррари әдісінің екінші бөлігі. (5) теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейік. Ол үшін (5) теңдеудің сол жақ бөлігіне мұндағы – кейінірек анықталатын қандай да бір сан, өрнегін қосып, алып тастаймыз. Сонда болады. Демек, (5) теңдеу мына түрге келеді: . (6) Егер санын (7) теңдеуін қанағаттандыратындай етіп таңдап алсақ, онда (6) теңдеуді мына түрде жаза аламыз: . (8) (7) теңдеуді бөлшектен құтылу арқылы мына түрде жазуға болады: . (9) Алынған кубтық теңдеу (7) теңдеуге эквивалентті және (5) теңдеудің кубтық резольвентасы деп аталады. Егер (9) теңдеудің қандай да бір шешімі табылған болса, онда (8) теңдеуді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешуге болады: . Сонымен, (8) теңдеуді шешу үшін төмендегі екі квадрат теңдеуді шешу қажет екен: , (10) . (11) Лекция 3 Тақырыбы: Көпмүшеліктер сақиналары. Жоспары: 1. Бір айнымалыдан көпмүшеліктер сақиналары. 2. Бірнеше айнымалыдан көпмүшеліктер сақиналары. 3. Көпмүшеліктердің бүтін рационал және нақты түбірлері. 4. Бүтін рационал және нақты коэффициентті жіктелмейтін көпмүшеліктер. 5. Бірнеше айнымалыдан көпмүшеліктерді реттеу. 1. Бір айнымалыдан көпмүшеліктер сақиналары – барлық теріс емес бүтін сандар жиыны болсын. бірлік элементі бар сақинасы үшін арқылы саны шекті натурал сандардан басқа барлық натурал -дер үшін болатындай барлық функцияларының жиынын белгілеп, қосу және көбейту амалдарын формуларары арқылы енгізейік. Осы екі амалға қатысты -тің сақина құрайтындығын оңай көрсетуге болады. коэффициенттері -дегі белгісізінен көпмүшеліктер сақинасы деп аталады. -ті жоғарыдағыдай анықтау бұрыннан таныс көпмүшеліктерді бүтін рационал фунция ретінде анықтауға қайшы келмейді. -ті формуласы арқылы -тегі функция ретінде анықтасақ, онда функциясы шартын қанағаттандырады. Олай болса, кезкелген функциясын түрінде бірмәнді жазуға болады, мұндағы қосынды шындығында ақырлы болады, себебі, тек саны ақырлы . -тің бірлік элементі болып табылады, , ол формуласы арқылы анықталады. 2. Бірнеше айнымалыдан көпмүшеліктер сақиналары бір белгісізден көпмүшеліктер сақинасына ұқсас бірнеше белгісізден көпмүшеліктер сақинасын да анықтауға болады. – -тің -ші декарттық дәрежесі, – бірлік элементі бар коммутативті сақина болсын. арқылы саны шекті кортедждерінен басқа барлық үшін болатындай барлық функциялар жиынын белгілеп, қосу және көбейту амалдарын теңдіктері арқылы анықтайық. белгісізін формуласы бойынша анықтаймыз. үшін функциясын түрінде және функциясын түрінде жазуға болады. Мұндағы қосынды ақырлы болады, себебі саны ақырлы коэффициенттері ғана нольден өзгеше болады. Жоғарыда анықталған екі амалға қатысты сақина құрайды, оны коэффициенттері -дегі белгісіздерінен көпмүшеліктер сақинасы деп атайды. сақинасы сақинасының ішкі сақинасы, жалпы жағдайда жиыны да сақинасының ішкі сақинасы болады. 3. Көпмүшеліктердің бүтін рационал және нақты түбірлері Коэффициенттері рационал болатын көпмүшелігі мен -тен оның коэффициенттерін осы коэффициенттердің ортақ еселігіне көбейту арқылы алынған коэффициенттері бүтін көпмүшелігінің түбірлері бірдей болады. Коэффициенттері бүтін (1) көпмүшелігін қарастырайық. , мұндағы – санының бөлгіші, – санының бөлгіші, түріндегі қысқартылмайтын бөлшектердің (1) көпмүшеліктің рационал түбірлері болуы мүмкін, дәлірек айтқанда, осы бөлшектердің кезкелген бүтін үшін -нің -ге бөлінетіндері болуы мүмкін. Егер болса, онда (1) теңдеудің барлық рационал түбірлері (бар болған жағдайда) бүтін болады. (1) көпмүшеліктің рационал түбірлерін табу үшін, алдымен оны көбейтіп, ауыстыруы арқылы коэффициенттері бүтін (2) көпмүшелігіне келтіру керек. Содан соң, -тың барлық рационал түбірлерін табу үшін -тің барлық бүтін түбірлерін тауып, олардың -ге қатынасын алу керек. Ал, -тің бүтін түбірлерін табу үшін, Горнер схемасы бойынша санының бөлгіштерінің қайсылары -тің түбірлері болатындығы тексеріледі, әрі мұнда санының -дің -ге бөлінбейтіндей немесе -дің -ге бөлінбейтіндей бөлгіштері қарастырылмайды. Сонымен бірге, -ге тең емес қандай да бір бүтін санын алып, санының -нің -ге бөлінбейтіндей немесе -нің -ге бөлінбейтіндей бөлгіштерін қарастырылмауғ болады. Мысалы. 1) көпмүшелігінің рационал түбірлерін табайық. Мұнда болады. -нің бөлгіштері мыналар: . , , санының саны -ге және саны -ге бөлінетін бөлгіштері мыналар ғана болады: 2, 3, -4 және 8. Есептейміз: , , және . Горнер схемасы бойынша -4 санының -тің екі еселі түбірі, ал 3-тің жай түбірі екенін көреміз. Онда -тың барлық рационал түбірлері мыналар болады: , . (1) көпмүшеліктен (2) көпмүшелікке көшпей-ақ, бірден -нің бөлгіштерін тексеру арқылы көпмүшелігінің барлық бүтін түбірлерін тауып, сосын жоғарыдағы әдіспен -тің көпмүшелігіне бөліндісінің рационал түбірлерін табуға да болады. Мысалы. 2) көпмүшелігінің рационал түбірлерін табайық. саны -тің жай түбірі, оның басқа бүтін түбірі жоқ. -ті -ге бөлгендегі бөлінді . Мұны көбейту және алмастыруын жасау арқылы көпмүшелігіне келеміз. 81 санының ешбір бөлгіші үшін саны санына бөлінбейді (және саны санына бөлінбейді),яғни -тің бүтін түбірлері болмайды. Олай болса, көпмүшелігінің рационал түбірлері болмайды. Сонымен көпмүшелігінің бір ғана рационал түбірі болады екен. Егер (1) көпмүшелікте сандары және ең болмағанда , сандарының бірі тақ немесе сандары және , сандарының екеуі де 3-ке бөлінбесе, онда көпмүшелігінің рационал түбірлері болмайды. Мысалы. 3) . Мұнда , , және сандарының ешқайсысы 3-ке бөлінбейді, демек, көпмүшелігінің рационал түбірлері болмайды. 4. Бүтін рационал және нақты коэффициентті жіктелмейтін көпмүшеліктер Коэффициенттері рационал болатын көпмүшелігі мен -тен оның коэффициенттерін осы коэффициенттердің ең кіші ортақ еселігіне көбейту арқылы алынған коэффициенттері бүтін көпмүшелігінің түбірлері бірдей болғандықтан рационал сандар өрісіне қатысты көпмүшелігі келтірілмейтін көпмүшелік болу үшін коэффициенттері бүтін көпмүшелігінің келтірілмейтін көпмүшелік болуы қажетті және жеткілікті. Коэффициенттері бүтін көпмүшелік келтірілмейтін болу үшін оның өзінен дәрежесі кем бүтін коэффициентті көпмүшеліктердің көбейтіндісіне жіктелмеуі қажетті және жеткілікті. Коэффициенттері бүтін (1) көпмүшелігінің келтірілмейтін болу критерийлерін қарастырайық. Эйзенштейн критерийі. Егер (1) көпмүшелігінде саны -ға бөлінбей, қалған коэффициенттердің бәрі оған бөлінетіндей, бірақ саны -ға бөліне отырып, -қа бөлінбейтіндей жай саны табылатын болса, онда бұл көпмүшелік рационал сандар өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшелік болады. Мысал. 1) . саны Эйзенштейн критерийін қанағаттандырады. Сондықтан, көпмүшелігі рационал сандар өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшелік болады. 2) . Бұл көпмүшелікке тікелей Эйзенштейн критерийін қолдануға болмайды, бірақ ауыстыру арқылы алынған көпмүшелігі Эйзенштейн критерийі бойынша келтірілмейтін көпмүшелік болады, себебі саны осы критерийді қанағаттандырады. Полиа критерийі. (1) көпмүшелігі үшін – сандарының ең үлкені және – теңсіздігін қанағаттандыратын бүтін сан болсын. Егер және – жай сан болса, онда көпмүшелігі рационал сандар өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшелік болады. Мысал. 3) . Мұнда және саны теңсіздігін қанағаттандыратын ең кіші сан. – құрама сан, бірақ, – жай сан. Онда, Полиа критерийі бойынша көпмүшелігі рационал сандар өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшелік болады. Кон критерийі. Егер (1) көпмүшеліктің коэффициенттері , шартын қанағаттандырса және саны жай сан болсан онда көпмүшелігі рационал сандар өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшелік болады. Мысал. 4) . – жай сан, сондықтан Кон критерийі бойынша, көпмүшелігі рационал сандар өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшелік болады. 5. Бірнеше айнымалыдан көпмүшеліктерді реттеу Көпмүшеліктің екі және мүшесін қарастырайық. Егер айырымдарының бірінші нольден өзгешесі оң болса онда мүшесі үлкен, ал керісінше болғанда мүшесі үлкен деп аталады. көпмүшелігінің барлық мүшелері осы ретпен орналасса, онда оның әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінен кіші болады. Бұл жағдайда көпмүшелігінің мүшелері лексикографикалық ретпен жазылған, ал бірінші орналасқан мүше бас мүше деп аталады. Мысалы. көпмүшелігі лексикографикалық ретпен жазылған және оның бас мүшесі . Лекция 4 Тақырыбы: Сақиналар идеалдары және сақина факторы. Жоспары: 1. Бір және бірнеше айнымалыдан көпмүшеліктердің сақиналарында фаторизациялау туралы теорема. 2. Сақина идеалы. 3. Максимум және жай идеалдар, олардың қатынасы. 4. Сақина факторы. 5. Идеалдар базистері, идеал қуаттылығы. 6. Нетер сақиналары. 1. Бір және бірнеше айнымалыдан көпмүшеліктердің сақиналарында фаторизациялау туралы теорема Көпүшелікті факторизациялау деп оны дәрежесі кіші көпмүшеліктердің көбейтіндісі түрінде жіктеуді айтады. Келтірілмейтін көпмүшелік ұғымына тоқталайық. 1-Анықтама. – өріс болсын. сақинасының өзінен дәрежелері кіші екі көпмүшелігінің көбейтіндісіне жіктелетін сақинасының көпмүшелігі өрісіне қатысты келтірілетін көпмүшелік деп аталады. сақинасының өзінен дәрежелері кіші екі көпмүшелігінің көбейтіндісіне жіктелмейтін сақинасының көпмүшелігі өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшелік деп аталады. Бұл анықтамадан нөлінші дәрежелі көпмүшелікті келтірілетін көпмүшелікке де, келтірілмейтін көпмүшелікке де жатқызуға болмайтынын көреміз. Мысалы. 1) көпмүшелігін көбейткіштерге жіктеуге болады: , себебі . Олай болса, рационал сандар өрісіне қатысты келтірілетін көпмүшелік. 2) көпмүшелігі кезкелген өріске қатысты келтірілмейтін көпмүшелік. 3) көпмүшелігі рационал сандар өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшелік, бірақ бұл көпмүшелік нақты сандар және комплекс сандар өрістеріне қатысты келтірілетін көпмүшелік болады: . Келтірілмейтін көпмүшеліктердің мынадай қасиеттері бар: 10 Егер және өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшеліктер және көпмүшелігі көпмүшелігіне бөлінсе, онда және – ассоциацияланған көпмүшеліктер. 20 сақинасының көпмүшелігі өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшелігіне бөлінбеуі үшін және көпмүшеліктерінің өзара жай болуы қажетті және жеткілікті. 30 сақинасының және екі көпмүшелігінің көбейтіндісі өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшелігіне бөлінсе, онда және көбейткіштерінің бірі көпмүшелігіне бөлінеді. 1-Теорема. – өріс болсын. сақинасының дәрежесі нөлден үлкен кезкелген көпмүшелігі келтірілмейтін көпмүшеліктердің көбейтіндісіне жіктеледі: , мұндағы – өрісіне қатысты келтірілмейтін көпмүшеліктер, және бұл жіктелу көбейткіштердің орналасу ретіне және нөлінші дәрежелі көпмүшелікке дейінгі дәлдікпен біреу ғана болады. Көпмүшелікті келтірілмейтін көпмүшеліктердің көбейтіндісіне жіктеуде ассоциацияланған көпмүшеліктерді біріктіріп, канондық жіктелу деп аталатын келесі жіктелу түрін аламыз: , (1) мұндағы – бүтін оң сан, . Мысалы. . Егер келтірілмейтін көпмүшелігі канондық жіктелуде 1-ге тең еселікпен кездессе, онда жай көбейткіш, ал 1-ден үлкен еселікпен кездессе еселі көбейткіш деп аталады. 2-Анықтама. – өріс болсын. Егер сақинасының әрбір көпмүшелігі сызықты көбейткіштердің көбейтіндісіне жіктелсе, онда өрісі алгебралық тұйық өріс деп аталады. Басқаша айтқанда, тек бірінші дәрежелі (сызықты) көпмүшеліктер ғана -ке қатысты келтірілмейтін көпмүшелік болатын өрісі алгебралық тұйық өріс болады. Себебі, келтірілмейтін көпмүшеліктің дәрежесі 1-ден кем емес, яғни, дәрежесі ең төмен келтірілмейтін көпмүшелік сызықты (дәрежесі 1-ге тең) болады. 2-Теорема. Егер кезкелген көпмүшелігінің -те ең болмағанда бір түбірі болса, онда өрісі алгебралық тұйық өріс болады. Дәлелдеуі. көпмүшелігінің -те бір түбірі бар болсын. Онда болады. Теорема шарты бойынша көпмүшелігінің де ең болмағанда бір түбірі бар болады, яғни . Осы процесті жалғастыра отырып, соңында көпмүшелігінің сызықты көпмүшеліктердің көбейтіндісіне толық жіктелуін аламыз. -тегі кезкелген көпмүшелік болғандықтан өрісі алгебралық тұйық өріс анықтамасын қанағаттандырады. Теорема дәлелденді. 3-Теорема. (Алгебраның негізгі теоремасы) комплекс сандар өрісі алгебралық тұйық өріс болады. Бұл теоремадан мынадай салдарлар шығады: 1-Салдар. Комплекс сандар өрісіне қатысты тек сызықты көпмүшеліктер ғана келтірілмейтін көпмүшелік болады. 2-Салдар. -ші дәрежелі кезкелген көпмүшелігінің еселіктерін қосып есептегенде дәл түбірі бар болады, әрі егер және -тің еселіктері сәйкесінше -ке тең әртүрлі түбірлері болса, онда (2) және бұл жіктелу көбейткіштердің орналасу ретіне дейінгі дәлдікпен біреу ғана болады. 2. Сақина идеалы 3-Анықтама. – сақиналар болсын. және , мұндағы , шарттарын қанағаттандыратын функциясы сақиналар гомоморфизмі деп аталады. Қайтымды гомоморфизмі ( және шарттарын қанағаттандыратын гомоморфизмі бар) сақиналар изоморфизмі деп аталады. Группаларға ұқсас биективті функция сақиналар гомоморфизмі ретінде қайтымды болады. Егер сақиналар гомомомрфизмі болса, онда , . Бұлардың алғашқысы гомоморфизмінің ядросы, екіншісі гомоморфизмінің образы деп аталады. және жиындары сәйкесінше және сақиналарының абельдік ішкі группалары болып табылады. Сонымен бірге, гомоморфизмі көбейту амалын сақтайтын болғандықтан және жиындары сәйкесінше және сақиналарының ішкі сақиналары болады. 4-Анықтама. – сақина және болсын. Төмендегі және тек сол шарттарды қанағаттандыратын жиыны -дің идеалы деп аталады: (1) ішкі жиыны-дің аддитивті ішкі группасы; (2) барлық үшін ; (3) барлық үшін . (1) және (2) шарттарды қанағаттандыратын ішкі жиыны -дің сол жақ идеалы, ал (1) және (3) шарттарды қанағаттандыратын ішкі жиыны -дің оң жақ идеалы деп аталады.
Кезкелген сақинасының екі идеалы болады, және . 5-Теорема. Егер бөлінгіш сақина болса, онда оның тек екі идеалы бар, және -дің өзі. Салдар. Егер бөлінгіш сақина және сақиналар гомоморфизмі болса, онда инъективті немесе . Мысалдар: бүтін сандар сақинасы үшін жиыны идеал болады. факторсақинасы модулі бойынша қалындылар сақинасы болады. Біз жай саны үшін сақинасының өріс екенін білеміз. 2) функциясын теңдігі арқылы анықтайық. Бұл сюръективті сақиналар гомоморфизмі болып табылады. Онда -тің идеалы болады. Сонымен бірге . 3) өріс болса, онда -тің идеалы болады және . 3. Максимум және жай идеалдар, олардың қатынасы 4-Анықтама. сақинасының барлық идеалдарының ішіндегі қамту бойынша ең үлкен идеалы сақинасының максимал идеалы деп аталады. 6-Теорема. Бірлік элементі бар кезкелген ассоциативті сақинасының максималь идеалы бар болады. Дәлелдеуі. Теореманы дәлелдеу үшін дұрыстығы оңай аңғарылатын келесі тұжырымды пайдаланамыз: Идаел меншікті болу үшін ода бірлік элементтің болмауы қажетті және жеткілікті. сақинасының барлық меншікті идеалдарының жиынын және ондағы қамту бойынша қатысты қарастырайық. 4. Сақина факторы Егер – сақина және оның идеалы болсын. Оның аддитивті факторгруппасы теңдігімен анықталған қосу және теңдігімен анықталған көбейту амалдарына қатысты сақина құрайды. Оны сақинасының идеалы бойынша факторсақинасы деп аталады. Мысалдар. 1) бүтін сандар сақинасының идеалы бойынша факторсақинасы болады. 2) көпмүшеліктер сақинасының идеалы боынша факторсақинасы комплекс сандар өрісіне изоморфты болады. 6-Теорема. – өріс болсын. көпмүшеліктер сақинасының факторсақинасының өріс болуы үшін сәйкесті идеалдың келтірілмейтін көпмүшелік арқылы жасалуы қажетті және жеткілікті. Алынған өріс өрісінің жәй кеңеюі деп аталады. Бұл тұжырым бізге жаңа өрістер құруға мүмкіндік береді. Мысалы, 9 элементтен тұратын өрісті факторсақинасы ретінде, ал 8 элементтен тұратын өрісті факторсақинасы ретінде құруға болады. Лекция 5 Тақырыбы: Алгебралық теңдеулер жүйелері. 1. Алгебралық теңдеулер жүйелері туралы түсінік. 2. Базис туралы Гильберт теоремасы. 3. Алгебралық теңдеулер жүйесінің идеалы туралы түсінік. 4. Гребнер идеалының базисі. 5. Гребнер базисін құрудың Бухбергер алгоритмі. 1. Алгебралық теңдеулер жүйелері туралы түсінік 2. Базис туралы Гильберт теоремасы 3. Алгебралық теңдеулер жүйесінің идеалы туралы түсінік 4. Гребнер идеалының базисі 5. Гребнер базисін құрудың Бухбергер алгоритмі Лекция 6 Тақырыбы: Өрістер теориясы. Мақсаты: Өрістің кеңейімі, өрістің жай кеңейімі, өрістің алгебралық элементі, өрістің трансцендент элементі, алгебралық сан, трансценден сан бүтін алгебралық сан ұғымдарымен танысу. Негізгі сөздер: алгебралық және трансцендент сандар. Жоспары: 1. Өрістің жай кеңейімі. 2. Алгебралық және трандендент сандар. 3. Бүтін алгебралық сандар. 1. Өрістің жай кеңейімі Егер өрісі өрісінің ішкі өрісі болса, онда өрісі өрісінің кеңейімі деп аталады және бұл факт қысқаша арқылы жазылады. Егер өрісі өрісінен тек бір элементін қосу арқылы алынған болса, онда өрісінің кеңейімі жай кеңейім, ал элементі қарапайым (примитивті) элемент деп аталады. өрісінің элементін қосу арқылы алынған жай кеңейімі арқылы белгіленеді. болсын. Қосу амалына және өрісі элементіне көбейту амалына қатысты өрісі векторлық кеңістік құрайды. өрісінің -ға қатысты кеңею дәрежесі деп өрісінің -ға қатысты вкеторлық кеңістік ретіндегі өлшемін айтады және арқылы белгіленеді. Егер болса, онда саны қарапайым элементінің дәрежесі деп те аталады. Мынадай ұғымдар енгізейік. 1-Анықтама. болсын. Егер элементі түбірі болатын коэффициенттері -ға тиісті нольдік емес көпмүшелік бар болса, онда элементі -ға қатысты алгебралық элемент деп аталады. 2-Анықтама. болсын. Егер элементі түбірі болатын коэффициенттері -ға тиісті нольдік емес көпмүшелік жоқ болса, онда элементі -ға қатысты трансцендент элемент деп аталады. Егер трансцендент элемент болса, онда оның дәрежелері -ға қатысты сызықты тәуелсіз болады. Бұл жағдайда деп жазады. Егер болса, онда өрісінің кеңейімі ақырлы кеңейім, керісінше болған жағдайда ақырсыз кеңейім деп аталады. Мысалы: 1) . Шынында да, сандары нақты сандар өрісіне қатысты сызықты тәуелсіз, себебі жне . Осын сандар арқылы барлық комплекс сандар сызықты өрнектеледі, сондықтан сандары -ның -ге қатыты базисі болады. 2) болғандықтан кеңейімі ақырлы кеңейім. 3) кеңейімі ақырсыз кеңейім, себебі, мысалы, трансцендент санының дәрежелері, яғни сандары сызықты тәуелсіз, яғни . Барлық элементтері -ға қатысты алгебралық элемент болатын кеңейімі -ға қатысты алгебралық кеңейім деп аталады. Алгебралық кеңейімнің әрбір элементі -ға тәуелді қандай да бір нольден өзгеше унитар көпмүшелігінің түбірі болады. Егер және болатындай кезкелген көпмүшелігі үшін болса, онда көпмүшелігі элементінің минималь көпмүшелігі деп аталады. Минималь көпмүшелік -ға қатысты келтірілмейтін көпмүшелік болып табылады және ол бірмәнді анықталады. Оның дәрежесі элементінің дәрежесімен сәйкес келеді. көпмүшелігінің барлық әртүрлі түбірлері -ға түйіндес деп есептеледі. Енді өрісінің -ға тиісті элементтерінің қалай жазылатындығын анықтайық. Алдымен – алгебралық элемент болсын дейік. Онда , мұндағы – элементінің минималь көпмүшелігі, ал – осы көпмүшелік арқылы жасалған сақинасының идеалы. – -ші дәрежелі () көпмүшелік болсын. Онда , , (1) түріндегі элементтерден тұрады. Шынында да, кезкелген көпмүшелігін көпмүшелігіне бөліп, орнына қоюды жүзеге асырамыз. (1) түріндегі элементтерді қосу және көбейту амалдары көпмүшеліктерді қосу және көбейту ретінде орындалады. көпмүшелігіне сәйкес келетін элементіне кері элементтің бар болатынын көрсетейік. көпмүшелігі келтірілмейтін көпмүшелік болғандықтан, ЕҮОБ()=1 болады және бұдан теңдігі орындалатындай дәрежелері -нен кіші көпмүшеліктерінің табылатындығы шығады. Онда , ал бұдан . Сонымен, егер – алгебралық элемент болса, онда , мұндағы – элементінің -ға қатысты дәрежесі. Егер – трансцендент болса, онда өрісі сақинасының (ол бүтіндік облыс болады) қатынастар өрісіне изоморфты болады, демек барлық , , бөлшектері -ға тиісті болады. Мұндай бөлшектер өрісінің ішкі өрісін құрайды, себебі, мұндай бөлшектердің қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және қатынасы осындай бөлшектер болады. Олай болса, . Мысалы. 1) Егер болса, онда ,. 2) . 3) , себебі болғандықтан, жиынының кезкелген көпмүшелігінің дәрежесі 1-ден артық емес, яғни , және , әрі кезкелген үшін . Сонымен, өрісі бүтіндік облысының қатынастар өрісі, ал дербес жағдайда, -ға қатысты алгебралық элементі үшін болады екен. Жоғарыда айтылғандардан мынадай теореманың орындалатындығы шығады:
Бұл анықтамалар сәйкесінше 1- және 2-Анықтамалардың дербес жағдайы болып табылады. Дәлірек айтқанда, және болса, онда алгебралық элемент алгебралық сан, ал трансцендент элемент трансцендент сан деп аталады. Трансцендент сандардың бар болуын 1844 жылы Лиувилль дәлелдеді. Кейіннен трансцендент сандар жиыны қуатының алгебралық сандар қуатынан үлкен екені анықталды (Георг Кантор).
Кезкелген рационал саны көпмүшелігінің түбірі болады, сондықтан ол- алгебралық сан. Кезкелген радикал , мұндағы – бүтін оң сан, – рационал сан, – алгебралық сан, себебі, ол – көпмүшелігінің түбірі. Рационал сандар мен радикалдардан төрт арифметикалық амал алу арқылы алынған кезкелген сан алгебралық сан болады. Трансцендент сандарға бірден сеніммен мысал айту қиындау. және сандарының трансцендент екені белгілі.
Мысалы, бүтін рационал сандар бүтін алгебралық сандар болады, себебі бүтін рационал саны көпмүшелігінің түбірі болады. Керісінше, әрбір рационал бүтін алгебралық сан бүтін рационал сан болады. Шынында да,бүтін коэффициентті унитар көпмүшеліктің рационал түбірлері бүтін рационал сан болады. Бұдан бүтін емес рационал сандардың бүтін алгебралық сан болмайтындығы шығады. Кезкелген алгебралық сан коэффициенттері бүтінкөпмүшеліктің түбірі болады. Егер – көпмүшелігінің түбірі болса, онда оны санына көбейтіп, санының коэффициенттері бүтін унитар көпмүшелігінің түбірі екенін көреміз. Олай болса, т – бүтін алгебралық сан және о. Демек, кезкелген алгебралық сан бүтін алгебралық сан мен бүтін рационал санның қатынасына тең болады екен. Теорема. Бүтін алгебралық сандар сақина құрайды. Дәлелдеуі. және – нольге тең емес алгебралық сандар және – , , сандарының бірі болсын. -ның бүтін алгебралық сан екенін дәлелдеу керек. түбірі болатын коэффициенттері бүтін унитар көпмүшелік құрамыз. Шарт бойынша және – сәйкесінше қандай да бір коэффициенттері бүтін және көпмүшеліктерінің түбірлері. және түбір болғандықтан , , бұл мен -ді олардың кіші дәрежелері арқылы өрнектеуге мүмкіндік береді: , . (1) , , сандарын қарастырайық. (1) пайдаланып сандарын сандары арқылы сызықты өрнектейміз: . индекстері қосарланған, алгашқы жұп , екінші жұп . және бір-біріне тәуелсіз мәндерін, ал және индекстері мәндерін қабылдайды. Теңдіктің оң жағын сол жағына көшірсек, , , (2) теңдіктерін аламыз. Бұл теңдіктерден сандарының белгісізді () теңдеулерден тұратын келесі сызықты теңдеулер жүйесінің шешімін құрайтынын көреміз : , , . Бұл шешім тривиаль емес болғандықтан, теңдеулер жүйесінің анықтауышы нольге тең болады. Бұл анықтауыш , мұндағы – ретті бүтін сандарынан құралған матрица, сипаттамалық көпмүшелігінің болғандағы мәніне тең. Бұл көпмүшеліктің коэффициенттері бүтін және бас коэффициенті 1-ге тең болады. саны оның түбірі, сондықтан бүтін алгебралық сан болады. Теорема дәлелденді. 4. Өрістер мұнарасы кеңейімін екі қабатты кеңейімдер мұнарасы деп атайды. Мұнда үш векторлық кеңістікті қарастыруға болады: -ға қатысты кеңістігі, -ке қатысты кеңістігі, -ға қатысты кеңістігі. Бұл кеңістіктерді сәйкесінше , және арқылы белгілейік. Олардың өлшемдері үшін мынадай теорема орынды: 2-Теорема. екі қабатты кеңейімдер мұнарасында кеңейім дәрежесі ақырлы болу үшін және кеңейім дәрежелерінің ақырлы болуы қажетті және жеткілікті. Ақырлы болған ьжағдайда . Дәлелдеуі. және кеңейім дәрежелері ақырлы деп есептеп, кеңістігінің -базисін, кеңістігінің -базисін таңдап алайық. Онда кезкелген элементін түрінде жазуға болады. Өз кезегінде, түрінде жазылады. Онда, , және барлығы элементтері -ға қатысты кеңістігін тудырады. Олар сызықты тәуелді болсын дейік: . Онда кезкелген ; үшін , себебі -ке қатысты, ал -ға қатысты сызықты тәуелсіз болады. Олай болса, элементтері векторлық кеңістігінің базисын құрайды және . Керісінше, теңсіздігінен теңсіздігі шығады, себебі, – -ның ішкі кеңістігі. Егер – -ның -базисі болса, онда элементі коэффициенттері -ға тиісті, демек,-ке де тиісті элементтерінің сызықты комбинациясы болады. -ке қатысты элементтерінің арасындағы сызықты тәуелсіздері тек азаюы мүмкін. Олай болса, . Теорема дәлелденді. Лекция 7 Тақырыбы: Алгебралық сандар өрісі. Мақсаты: Алгебралық сандар өрісі және оның тұйықтығы туралы теоремамен, өрістің қарапайым элемент туралы теоремамен, өрістің нормаль кеңейімінің автоморфизмдер группасымен танысу. Негізгі сөздер: алгебралықсандар өрісі, қарапайым элемент, сеперабельді элемент, өрістің қалыпты кеңейімі, Галуа өрістері, Галуа группасы. Жоспары: 1. Алгебралық сандар өрісі және оның тұйықтығы. 2. Өрістің қалыпты кеңейімінің автоморфизмдер группасы. 3. Қарапайым элемент туралы теорема. 1. Алгебралық сандар өрісі және оның тұйықтығы 2-Теореманы пайдаланып мынадай теореманы оңай дәлелдеуге болады: 3-Теорема. – өрісінің кеңейімі, – -тің барлық алгебралық элементтерінің жиыны болсын. Онда – -тің -ны қамтитын ішкі өрісі болады. Дәлелдеуі. Әрбір элементі сызықты көпмүшелігінің түбір болады, демек, . Енді болсын. Онда 1-Теорема бойынша . -ға қатысты алгебралық элементі -ға қатысты да алгебралық болады, яғни . 2-Теорема бойынша, . болғандықтан, 1-Теорема бойынша, , демек – -тің ішкі сақинасы. Ол өріс те болады, өйткені, . Теорема дәлелденді. -дан саны ақырлы алгебралық элементтерді қосу арқылы алынған кеңейімі ақырлы алгебралық кеңейім деп аталады. Дербес жағдайда, болса, ақырлы алгебралық кеңейімі жай алгебралық кеңейім деп аталады. Жоғарыда алынған нәтижелерден мынадай теореманың орындалатыны шығады: 4-Теорема. Ақырлы дәрежелі кеңейімі ақырлы алгебралық кеңейім болады. Керісінше, кезкелген ақырлы алгебралық кеңейімінің кеңею дәрежесі ақырлы болады. Дәлелдеуі. және болсын. Онда элементтері -ға қатысты сызықты тәуелді болады, себебі олардың саны . Олай болса, барлығы бірдей нольге тең емес элементтері табылып, теңдігі орындалады. көпмүшелігі нольдік емес және – оның түбірі. Демек -тің әрбір эленеті – алгебралық элемент. Онда 1- және 2-Теоремалардан -тің ақырлы алгебралық кеңейім екені шығады. Керісінше, – ақырлы алгебралық кеңейім болсын. Онда болатындай нольдік емес көпмүшеліктері табылады. -ға қатысты алгебралық элементі, өге қатысты да алгебралық болады. Демек, және 2-Теоремаға сәйкес, . Теорема дәлелденді. Көпшілік жағдайда ақырлы алгебралық кеңейім (дербес жағдайда, болса) жай алгебралық кеңейім болады. Бұл алдағы уақытта қарапайым элемент туралы теоремада дәлелденеді. 1-Анықтама. – -ның кеңейімі болсын. -ның -тегі алгебралық тұйықталымы деп -тің -ға қатысты барлық алгебралық элементтерінің жиынын айтады. 5-Теорема. -ның -тегі алгебралық тұйықталымы -тің ішкі өрісі және өрісі -ның -тегі алгебралық тұйықталымының таза трансценденттік кеңейімі болады. Дәлелдеуі. 3-Теоремадан шығады. Дербес жағдайда бұл теоремадан мынадай салдар шығады: Салдар. Алгебралық сандар өрісі – алгебралық тұйық өріс. Дәлелдеуі. 5-Теоремада және деп аламыз. Алгебралық тұйық алгебралық сандар өрісін арқылы белгілесек, онда – таза трансцендент сандар жиыны. Алгебралық сандар теориясында алгебралық сандар өрістері деп -ның ішкі өрістерін айтады. 2. Өрістің қалыпты кеңейімінің автоморфизмдер группасы алгебралық кеңейімінің сеперабельді элементі деп -ға қатысты минималь көпмүшелігінің еселі түбірі болмайтын элементті айтады. Сеперабельді элементтерден тұратын алгебралық кеңейімі сепарабельді кеңейім деп аталады. Анықтама бойынша сипаттамасы нольге тең барлық өрістер сеперабельді, сондықтан сеперабельділік тек сипаттамасы нольге тең емес өрістер үшін маңызды болады. Ақырлы кеңейімдер үшін мынадай теорема орындалады: 6-Теорема. Егер , мұндағы – өрісінің алгебралық тұйықталымы, болса, онда сеперабельді болу үшін -тен алгебралық тұйықталымына -ға қатысты әртүрлі автоморфизмдер санының кеңейім дәрежесіне тең болуы қажетті және жеткілікті. 2-Анықтама. -ға қатысты келтірілмейтін, -те ең болмағанда бір түбірі бар әрбір көпмүшелігі -ке қатысты сызықты көбейткіштерге жіктелетін өрістің алгебралық кеңейімі қалыпты кеңейім деп аталады. Эквивалентті анықтама. , мұндағы – өрісінің алгебралық тұйықталымы, болсын. Егер -тен алгебралық тұйықталымына кезкелген изоморфизм өрісінің автоморфизмі болса, онда қалыпты кеңейім деп аталады. 7-Теорема. Кезкелген кеңейімі қалыпты кеңейім болу үшін -тің -тің қандай да бір көпмүшеліктер жиынының жіктелу өрісі болуы қажетті және жеткілікті. 3-Анықтама. Қалыпты және сеперабельді болатын өріс кеңейімі Галуа кеңейімі деп аталады. Галуа кеңейімі -ға қатысты ең көп автоморфизмге ие болады. -тің -ға қатысты автоморфизмдер группасы Галуа группасы деп аталады және арқылы белгіленеді. Егер группасы абельдік, циклдік және т.с. болса, онда Галуа кеңейімі де сәйкесінше абельдік, циклдік және т.с. аталады. Кейбір жағдайларды Галуа кеңейімі ретінде сеперабельді, бірақ міндетті түрде қалыпты емес кеңейімін де қарастырады. Бұл жағдайда Галуа группасы ретінде , мұндағы – -ның -ті қамтитын ең кіші қалыпты кеңейімі, группасын алады. Егер F – өрісінің Галуа кеңейімі, ал – қандай да бір аралық ішкі өріс, яғни болса, онда анықтама бойынша Галуа группасы элементтерін қозғалыссыз қалдыратын -тің барлық автоморфизмдерінен тұрады. Егер – толық Галуа группасының қандай да бір автоморфизмі болса, онда . Сондықтан да мынадай теорема орындалады: 8-Теорема. кеңейімі қалыпты болу үшін ішкі группасының группасының қалыпты ішкі группасы болуы қажетті және жеткілікті. Эвари́ст Галуа́ (фр. Évariste Galois; 25 қараша 1811ж., Бур-ля-Рен, О-де-Сен, Франция — 31 мамыр 1832ж., Париж, Франция) — француздың атақты математигі, қазіргі жоғары алгебраның негізін қалаушы. Радикалды революционер-республикашы, жиырма жасында белгісіз жағдайда дуэльден қайтыс болған. Бар болғаны 20 жыл өмірінде Галуа оны XIX ғасырдың ең атақты математигі қатарына қосатындай жаңалық ашып үлгерді. Алгебралық теңдеулер теориясы есептерін шешу барысында ол қазіргі алгебра негізін қалады, ең іргелі ұғымдарға жататын группа (бұл терминді алғаш рет Галуа симметриялы группаларды зерттеу барысында қолданды), өріс ұғымдарына келді. Қазіргі кезде ақырлы өріс Галуа өрісі деп аталады. Галуа XVI ғасырдың үздік математиктері шеше алмаған ескі есеп – дәрежесі кезкелген теңдеудің жалпы шешімін табу, яғни оның түбірлерін коэффициенттеріне арифметикалық амалдар мен радикалдарды пайдалану арқылы табу есебін зерттеді. Бұдан бірнеше жыл бұрын Нильс Абель дәрежесі 5-ке тең және одан жоғары болатын теңдеулердің «радикалдар арқылы» шешілмейтінін дәлелдеген болатын. Ал, Галуа бұдан анағұрлым алға ілгерілеп, теңдеудің түбірлерінің радикал арқылы өрнектелуінің қажетті және жеткілікті шарттарын тапты. Алайда бұл арада ең маңыздысы алынған нәтиже ғана емес, Галуаның оны қандай әдіспен алғанында болса керек. 3. Қарапайым элемент туралы теорема 9-Теорема. – өрістің ақырлы алгебралық кеңейімі және – сеперабельді элементтер болсын. Онда – жай алгебралық кеғейім. Дәлелдеуі. Алдымен теореманы ең болмағанда біреуі сепарабельді болатын және элементтері үшін дәлелдейік. – элементі үшін минималь көпмүшелік, ал – элементі үшін минималь көпмүшелік болсын. және көпмүшеліктері толық жіктелетін өріске көшеміз. – -тің әртүрлі түбірлері, – -тің әртүрлі түбірлері және , болсын. өрісі ақырлы өріс болса, онда оның нольдік емес элементтері циклдік Галуа группасын құрайды. Сондықтан ол жай алгебралық кеңейім болады. өрісі ақырсыз өріс деп ұйғарайық. үшін теңсіздігі орынды, олай болса теңдеуінің әрбір үшін және әрбір үшін -да ең көп болғанда бір түбірі болады. Осы сызықты теңдеулердің түбірлерініне өзгеше элементін таңдап алайық. Онда кезкелген және үшін . деп алайық. Онда элементі өрісінің элементі болады. элементінің ізделінді элемент қасиеттеріне ие, яғни болатынын көрсетейік. элементі коэффициенттері -да жататын , теңдеулерін қанағаттандырады. және көпмүшеліктерінің ортақ түбірі тек болады. Олай болса, бірінші теңдеудің басқа () түбірлері үшін теңдіктерін аламыз, бұдан . – -тің жай түбірі болғандықтан, және көпмүшеліктерінің тек бір ғана сызықты ортақ көбейткіші болады. Осы ең үлкен ортақ бөлгіштің коэффициенттері -ға тиісті болуы қажет. Онда . теңдігінен, осыған ұқсас, екенін көреміз. Демек, . Сонымен, теорема үшін дәлелденді. Индукциялық ұйғарым жасап, теорема үшін дәлелденді десек, болады, бұдан теореманың дәлелденген бөлігі бойынша, . Онда теорема кезкелген үшін орындалады. Теорема дәлелденді. Салдар. Кезкелген сеперабельді кеңейім жай кеңейім болады. жүктеу/скачать 0,97 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||